大学大学应用概率与统计.ppt
随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 P44 P44 n背景背景一般地，设一般地，设y=g(x)是是一元实一元实函数，函数，X是一个随机变量，是一个随机变量，若若X的取值在函数的取值在函数y=g(x)的定义域内，则的定义域内，则Y=g(X)也为也为一随机变量。一随机变量。成绩50以下50-6060-7070-80人数56107概率0.1670.20.3330.233设某班有设某班有30人，一次期末考试成绩分布如下人，一次期末考试成绩分布如下80-9020.067成绩60以下60-7070-8080-9090-100若若X为离散型为离散型 随机变量随机变量,其分布律为其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn则随机变量则随机变量X的函数的函数 Y=g(X)的分布律为的分布律为Y g(x1)g(x2)g(x3)g(xn)pk p1 p2 p3 pn如果如果g(x i)与与g(x j)相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，此时将两项合并，对应概率相加 离散随机变量的函数的分布离散随机变量的函数的分布P44P44设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为P45解解例例由题设可得如下表格由题设可得如下表格 X-1012Y=2X2+13139概率0.20.30.40.1所以，所以，Y=2X2+1的分布律为的分布律为 求求 的分布律的分布律X1 0 1 2 0.2 0.3 0.4 0.1Y 1 3 9 0.3 0.6 0.1解解由题设可得如下表格由题设可得如下表格 设圆半径设圆半径X的分布律为的分布律为求周长及面积的分布律求周长及面积的分布律例例X 9.5 10 10.5 11 0.06 0.5 0.4 0.04X9.51010.511周长19202122面积90.25100110.25121概率0.060.50.40.04解解周长19202122概率0.060.50.40.04所以，周长的分布律为所以，周长的分布律为 面积90.25100110.25121概率0.060.50.40.04面积的分布律为面积的分布律为 随机变量的函数随机变量的函数随机变量随机变量密度函数密度函数分布函数分布函数设设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度的概率密度函数函数(1)求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)根据分布函数的定义(2)把把FY(y)两边对两边对y求导，得到求导，得到 fY(y)连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布P45P45n一般方法一般方法特别地特别地一般地一般地设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 P47 例例5求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。先求先求Y=2X+8的分布函数的分布函数 FY(y).解解（1 1）（2）求求Y=2X+8的概率密度的概率密度P46定理定理 若随机变量若随机变量X和和随机变量随机变量Y=g(X)的密度函数分别为的密度函数分别为 f X(x)和和 fY(y),当当 g(x)是是严格单调严格单调函数函数，则，则即即 Y 服从服从1919，2121上的均匀分布上的均匀分布Y=0.1=0.1X+10+10的密度函数的密度函数为为X的密度函数的密度函数为为 设随机变量设随机变量服从服从90，110上的均匀分布上的均匀分布,求求 Y=0.1=0.1X+10+10的密度函数。的密度函数。P47P47例例3 3解解练习：练习：P49 25解解设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 求求的概率密度的概率密度。P46所以，所以，n推论推论 n定理定理正态分布的线性函数仍服从正态分布正态分布的线性函数仍服从正态分布P4 6 正态分布的标准化正态分布的标准化 练习练习 设圆的半径设圆的半径X X服从区间服从区间1,21,2上的均匀分布，上的均匀分布，求圆周长的分布密度函数。求圆周长的分布密度函数。设设X N（0，1），其概率密度为：），其概率密度为：P47则则概率密度函数为概率密度函数为：此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为1的的 分布分布,记作记作 结论：若结论：若 则则解解 体积体积 的分布函数为的分布函数为例例4 4 设球的半径设球的半径X X的概率密度为的概率密度为 试求体积的概率密度。试求体积的概率密度。所以体积的所以体积的概率密度为概率密度为 所以体积的所以体积的概率密度为概率密度为 即即
