大学高等数学ppt课件第一章4求导运算.ppt

求导运算 第四节学习重点学习重点导数的四则运算法则导数的四则运算法则复合函数，隐函数，参数方程函数的求导复合函数，隐函数，参数方程函数的求导函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别特别推广推广例例1 设设解解例例2解解 例例3 设设解解例例4解解导数公式导数公式求下列函数的导数求下列函数的导数反函数的求导法则反函数的求导法则推广：推广：例例5 设设 ，求，求 解解 由于由于 的反函数为的反函数为 所以所以（因为（因为 ）同理，可求得同理，可求得即即解解 因为因为 的反函数是的反函数是所以所以特别特别基本导数公式基本导数公式复合函数的求导法则复合函数的求导法则推广推广链式法则链式法则Chain Rule证明关键式子证明关键式子 也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量例例6 设设例例7 设设解解解解 因为因为所以所以可分解为可分解为所以所以代入代入也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量环环环环相扣相扣例例8 设设解解求下列函数的导数求下列函数的导数例例9例例10解解解解求下列函数的导数求下列函数的导数高阶导数高阶导数 相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三阶导数相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，的导数称为四阶导数，（n-1)阶导数的导数称为函数的阶导数的导数称为函数的n阶导阶导数数，分别记作，分别记作三阶导数三阶导数四阶导数四阶导数n阶导数阶导数导函数的导数导函数的导数引例引例 规律：规律：每四阶导数每四阶导数重复一次；重复一次；正弦、余弦正弦、余弦交替出现。交替出现。例例11解解所以所以即即同理可得同理可得常用的高阶导函数常用的高阶导函数隐函数的导数隐函数的导数隐函数的求导方法隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量将方程两边同时对自变量x求导。求导。例例12将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：解解所以所以注意：注意：y是是x的函数，的函数，则则y的函数的函数f(y)视为视为x的复合函数。的复合函数。解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：因为当因为当 x=0时，从原方程可以解得时，从原方程可以解得 y=0所以所以解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：将上式两边再对将上式两边再对 x 求导得：求导得：注意注意 y 是是 x 的函数的函数例例13 幂指函数的导数幂指函数的导数两边取对数，得两边取对数，得将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：解法解法2解法解法1转化为初等转化为初等函数，直接函数，直接求导法求导法转化为隐函转化为隐函数，对数求数，对数求导法导法例例14一般地，幂指函数一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法，的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：如如练习练习 设设解答解答对数求导法对数求导法两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。为主的函数的求导。例例15解解解解解解所以所以由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导注意一阶导数也是数也是 t t 的函数的函数Y是是x的复合函数的复合函数t是中间变量是中间变量求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。所确定的函数的二阶导数。解解例例16是是t的函数，的函数，是是x的复合的复合函数函数解解 解解相关变化率相关变化率例例1 1 一个一个飞飞机机观观察察员观员观察到一架察到一架飞飞机正在机正在的的1143米的高度米的高度向他飞来，仰角为向他飞来，仰角为 ，并以，并以 /s的速度增加，问：飞机的地的速度增加，问：飞机的地面速度是多少？面速度是多少？建立变量间的关系式建立变量间的关系式解解将上式两边同时对将上式两边同时对 t 求导，得求导，得1143m例例2 2 设圆设圆的面的面积为积为A A，半径，半径为为 ，如果半径，如果半径 以以3mm/s的速度的速度增加，求面积增加，求面积A的增加速度。的增加速度。解解因为因为所以所以而而所以所以