直线与椭圆位置关系-高中数学选修2-1资源课件.ppt

教学重点教学重点 掌握椭圆与直线的位置关系的判定方掌握椭圆与直线的位置关系的判定方法以及弦长问题、中点弦问题的求法法以及弦长问题、中点弦问题的求法 教学重难点教学重难点弦长问题、中点弦问题的求法弦长问题、中点弦问题的求法 1.1.1.1.点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系例例1.点点P（0，m）在椭圆）在椭圆x2+2y2=2内部，则内部，则m的的取值范围是取值范围是_变式练习：变式练习：点点P（u，v）在椭圆）在椭圆x2+2y2=2内部，内部，则则u，v应满足的关系式是应满足的关系式是_思维升华：思维升华：对任意的实数对任意的实数k，直线，直线y=kx+b与椭圆与椭圆4x2+y2=16 恒有公共点恒有公共点,则则b的取值范围是的取值范围是_答：答：-4，4答：答：1、（、（-1，1）变式、）变式、u2+2v22问题问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题问题2：椭圆与直线的位置关系？：椭圆与直线的位置关系？不能！不能！所以只能用所以只能用代数法代数法-求解直线与二次曲线有关问题的通法。求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。因为他们不像圆一样有统一的半径。相离相离相切相切相交相交方程组无解方程组无解方程组有一组解方程组有一组解方程组有两组解方程组有两组解设椭圆的方程为：设椭圆的方程为：直线的方程为：直线的方程为：（1）联立椭圆与直线的方程得：0椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法（2）消去一个未知数，得）消去一个未知数，得0（3）看）看例例2、已知直线已知直线y=x-与椭圆与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系判断它们的位置关系 求交点坐标求交点坐标 求弦长求弦长x2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)练习练习2、直线直线l：y=2x+m与椭圆与椭圆 有公有公共点，求实数共点，求实数m的取值范围的取值范围。练习练习3.3.过椭圆过椭圆 的右焦点与的右焦点与x x轴垂直的轴垂直的直线与椭圆交于直线与椭圆交于A,BA,B两点，求弦长两点，求弦长|AB|AB|例例3.3.已知椭圆已知椭圆5x5x2 2+9y+9y2 2=45=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F F，求过点求过点F F且斜率为且斜率为1 1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.例例4：在椭圆：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于即直线垂直于x轴，轴，则点则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得代入椭圆方程得x2+4k(x-2)+12=16即得即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0直线与椭圆有两个交点直线与椭圆有两个交点,故故 =16(k2+4k+3)0又又 两式两式联联立解得立解得k=直直线线方程方程为为x+2y-4=0.4.4.4.4.中点弦问题中点弦问题中点弦问题中点弦问题解二解二解二解二：设弦的两个端点分别为：设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)则则 x1+x2=4,y1+y2=2在在P(x1,y1),Q(x2,y2)椭圆上椭圆上,故有故有x12+4y12=16 ，x22+4y22=16两式相减得两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0点点M（2，1）是）是PQ的中点的中点,故故x1x2，两边同除两边同除(x1-x2)得得 即4+8k=0 k=弦所在的直线方程为弦所在的直线方程为y-1=(x-2)即即x+2y-4=0评：评：.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了从而揭示了弦所在的直线斜率从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方之间在椭圆标准方程的前提下的关系：程的前提下的关系：mx0+ny0k=0.显得很简便显得很简便.但在解但在解题过题过程中程中应应注意考注意考虑虑x1x2的条件！如果有的条件！如果有这这种可能性，可采种可能性，可采用用讨论讨论的方法，先的方法，先给给以解决以解决.如果不可能有如果不可能有这这种情况，种情况，则应则应先先说说明明 例例4：在椭圆：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0达标练习达标练习C3.椭圆椭圆 的两个焦点为的两个焦点为F1、F2，过左焦点作，过左焦点作直线与椭圆交于直线与椭圆交于A，B 两点，若两点，若 AB F2 的面积为的面积为30，求直线的方程。求直线的方程。x xy yB（x1,y1）F1F2o（x2,y2）A3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：（1）垂径定理：）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（只适用于圆）（2）弦长公式：）弦长公式：|AB|=（适用于任何曲线）（适用于任何曲线）课堂小课堂小 结结1、y=kx+1与椭圆与椭圆 恒有公共点，则恒有公共点，则m的范围（的范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）C课后作业课后作业：2.直线直线y=2x+1被椭圆被椭圆x2+2y2=2所截得的弦的中点坐标是所截得的弦的中点坐标是_（-4/9，1/9)3、已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.