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工程制图第三章投影基础你现在浏览的是第一页，共74页v投影学是投影学是1795年法国学者年法国学者蒙日蒙日创立的，至今已创立的，至今已有有200多年的历史，可以说它是一门古老而成熟的多年的历史，可以说它是一门古老而成熟的学科。学科。v机械制图、建筑制图、水利工程制图等都是机械制图、建筑制图、水利工程制图等都是建立在建立在投影学投影学的基础上的基础上。v学习工程制图，学习工程制图，重点重点就是要学好投影基础理论。就是要学好投影基础理论。投影学投影学投影学投影学序言序言序言序言你现在浏览的是第二页，共74页投影基本知识投影基本知识投影基本知识投影基本知识你现在浏览的是第三页，共74页物体的三视图物体的三视图物体的三视图物体的三视图你现在浏览的是第四页，共74页v将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定或垂直，进而确定主视图的投影方向。主视图的投影方向。v整体和局部都要符合整体和局部都要符合三视图的投影规律三视图的投影规律。v可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制，当线绘制，当虚线与实线重合时只画实线。虚线与实线重合时只画实线。v特别应注意俯、左视图特别应注意俯、左视图宽相等宽相等和和前、后方位关系。前、后方位关系。三、三视图的画法三、三视图的画法三、三视图的画法三、三视图的画法你现在浏览的是第五页，共74页虚线虚线要画要画作图举例：作图举例：画画出立体的出立体的三视图。三视图。123不能有线不能有线宽相等宽相等你现在浏览的是第六页，共74页(1)投影方法分类：投影方法分类：中心投影中心投影 平行投影平行投影 工程制图采用工程制图采用平行正投影平行正投影方法方法和第一角投影和第一角投影。(3)三视图投影规律三视图投影规律:主俯视图主俯视图长对正长对正主左视图主左视图高平齐高平齐俯左视图俯左视图宽相等宽相等(2)平行正投影特性平行正投影特性：平行性、从属性、平行性、从属性、定比性、实形性、定比性、实形性、积聚性、类似性。积聚性、类似性。小小小小 结结结结你现在浏览的是第七页，共74页3-3 点的投影点的投影一、点的投影规律一、点的投影规律点的正面投影与水平投影的点的正面投影与水平投影的连线连线垂直于垂直于OXOX轴轴，即，即 OX；点的正面投影与点的正面投影与侧侧面投影的面投影的连线连线垂直于垂直于OZOZ轴轴，即，即 OZ；水平投影到水平投影到X X轴轴的距离等于的距离等于侧侧面投影到面投影到Z Z轴轴的距离，即的距离，即=将空间点将空间点A放置在放置在第第分角分角内内，分别向，分别向H、V、W面进行投影得面进行投影得a、a、a，分别称为，分别称为点点A的的水平投影、正面投影、侧面投影水平投影、正面投影、侧面投影。沿沿OY轴分开轴分开H面和面和W面，面，V面保持正立面保持正立，H面面向下转向下转90，W面面右转右转90，使三个投影面处在一个平面内，即得，使三个投影面处在一个平面内，即得点的三面投影图点的三面投影图。你现在浏览的是第八页，共74页例例3-3 根据点根据点A和和B的两个投影求第三个投影。的两个投影求第三个投影。（二求三）（二求三）求法：求法：长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐宽相等宽相等注意注意：特殊位置的点的投影：特殊位置的点的投影（1）投影面上投影面上的点：两个投影在投影轴上，另一投影在的点：两个投影在投影轴上，另一投影在 该投影面上。该投影面上。（2）投影轴上投影轴上的点：两个投影在投影轴上，另一投影在原点处。的点：两个投影在投影轴上，另一投影在原点处。你现在浏览的是第九页，共74页二、点的投影与空间直角坐标的关系二、点的投影与空间直角坐标的关系空间点空间点A到到V面的距离，等于点面的距离，等于点A的的y坐标；即：坐标；即：空间点空间点A到到H面的距离，等于点面的距离，等于点A的的z坐标；即：坐标；即：空间点空间点A到到W面的距离，等于点面的距离，等于点A的的x坐标；即：坐标；即：结论结论：空间一点空间一点A（x,y,z）在三投影面体系中有唯一的一组投影）在三投影面体系中有唯一的一组投影(a、a、a)与之对与之对应；反之，已知应；反之，已知A点的一组投影点的一组投影(a、a、a)即可确定该点的空间坐标值（即可确定该点的空间坐标值（x,y,z）。你现在浏览的是第十页，共74页例例3-4 已知点已知点A(15,10,12)，求作点，求作点A的三面投影图。的三面投影图。作图步骤如下：作图步骤如下：3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。1.自原点自原点O沿沿OX轴向左量取轴向左量取x=15,得点得点 ax；2.过过ax作作OX轴轴的垂的垂线线，在垂，在垂线线上自上自ax向下量取向下量取y=10,得点得点A的水平投影的水平投影a 向上量取向上量取z=12,得点得点A的正面投影的正面投影a;你现在浏览的是第十一页，共74页三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。你现在浏览的是第十二页，共74页 例例3-5 3-5 已知点已知点A A的三面投影，又知另一点的三面投影，又知另一点B B对点对点A A的的相对坐标相对坐标X=X=-10-10，Y=Y=5 5，Z=Z=-5-5，求点，求点B B的三面投影。的三面投影。无轴投影无轴投影注意：注意：在无轴投影图中，投影轴虽省略不画，但在无轴投影图中，投影轴虽省略不画，但 各投影各投影 之间的之间的投影关系依然存在投影关系依然存在。你现在浏览的是第十三页，共74页四、重影点的投影四、重影点的投影 如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时,就有就有两个坐两个坐标相等，一个坐标不相等标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投影面上的投影就重合为一，则两点在一个投影面上的投影就重合为一点，此两点称为点，此两点称为对该投影面对该投影面的的重影点重影点。判别可见性方法：判别可见性方法：比较两点不相同的那个坐标，其中坐标大的可见。对正立投影面、比较两点不相同的那个坐标，其中坐标大的可见。对正立投影面、水平投影面、侧立投影面的重影点，它们的可见性应分别是水平投影面、侧立投影面的重影点，它们的可见性应分别是前遮后、上遮下、左遮右前遮后、上遮下、左遮右。标记时，应将不可见的点的投影加括号。标记时，应将不可见的点的投影加括号。你现在浏览的是第十四页，共74页3-4 直线的投影直线的投影 直线的投影一般仍为直线，直线的投影一般仍为直线，特殊情况特殊情况下积聚为点。下积聚为点。求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接同面投影同面投影即可。即可。直线对投影面的倾角直线对投影面的倾角：直线与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的夹角，：直线与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的夹角，分别称为该直线对该投影面的倾角，分别用分别称为该直线对该投影面的倾角，分别用、表示表示。你现在浏览的是第十五页，共74页一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面你现在浏览的是第十六页，共74页1 1投影面平行线投影面平行线 正平正平线线水平水平线线侧侧平平线线立立体体及及其其三三视视图图轴轴测测投投影影图图直直线线投投影影图图投影特投影特性：性：在在与线段与线段平行的平行的投影面投影面上，该上，该线段的线段的投影为投影为倾斜的倾斜的线段，线段，且反映且反映实长，实长，其余两其余两个投影个投影分别平分别平行于相行于相应的投应的投影轴，影轴，且都小且都小于实长。于实长。你现在浏览的是第十七页，共74页2 投影面垂直线投影面垂直线 正垂正垂线线铅铅垂垂线线侧侧垂垂线线立立体体及及其其三三视视图图轴轴测测投投影影图图直直线线投投影影图图投影特性：投影特性：直线在与其所直线在与其所垂直的投影面垂直的投影面上的投影积聚上的投影积聚成一点，在另成一点，在另两个投影面上两个投影面上的投影分别垂的投影分别垂直于相应的投直于相应的投影轴，且反映影轴，且反映该线段的实长。该线段的实长。你现在浏览的是第十八页，共74页3一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线。一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线。投影长度和倾角之间的关系为：投影长度和倾角之间的关系为：ab=ABcos；ab=ABcos；ab=ABcos。投影特性投影特性三个投影都与投影轴倾斜，长度都三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于小于实长；实长；与投影轴的夹角与投影轴的夹角都不反映都不反映直线对投影面的倾角。直线对投影面的倾角。（略）用略）用直角三角形法直角三角形法求直线的实长及对投影面的倾角求直线的实长及对投影面的倾角你现在浏览的是第十九页，共74页二、直线上的点二、直线上的点 从属性从属性 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点影上；反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。一定在直线上。已知直线已知直线AB上的点上的点C的水平投影的水平投影c，求另两投影，求另两投影。你现在浏览的是第二十页，共74页例例36 已知侧平线已知侧平线AB的两投影和直线上点的两投影和直线上点S 的正面投影，的正面投影，求水平投影求水平投影。方法一方法一 方法二方法二 定比性定比性 点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其线段之比。比等于其线段之比。返回返回你现在浏览的是第二十一页，共74页三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 平行两直线平行两直线 相交两直线相交两直线 交叉两直线（异面）交叉两直线（异面）你现在浏览的是第二十二页，共74页1.两直线平行两直线平行 若空间两直线相互平行，它们的若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相平行各同面投影也一定互相平行。反之，。反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行互相平行 。平行性平行性:同面投影都相互平行同面投影都相互平行 平行平行 定比性（长度比、定比性（长度比、方向性方向性）同面投影之比相等，同面投影之比相等，并都等于空间线段之比并都等于空间线段之比注：注：如果两直线是同一投影面的平行线，只有当它们如果两直线是同一投影面的平行线，只有当它们 在平行的投影面上的投影平行在平行的投影面上的投影平行时，才可判断其相时，才可判断其相 互平行；同一投影面的两垂直线平行，其积聚投互平行；同一投影面的两垂直线平行，其积聚投 影的连线即为两者距离的影的连线即为两者距离的实长实长。你现在浏览的是第二十三页，共74页2.两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点交点符符合点的投影规律合点的投影规律；反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间也一定相交影规律，则该两直线在空间也一定相交 。你现在浏览的是第二十四页，共74页3两直线交叉两直线交叉交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，两组平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即即不符合点的投影规律不符合点的投影规律。反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。叉两直线。重影点重影点你现在浏览的是第二十五页，共74页重影点重影点重影点重影点投影相交处即为投影相交处即为重影点重影点的投影处的投影处继续继续返回返回你现在浏览的是第二十六页，共74页4两直线垂直两直线垂直一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，但一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，但当直线处于当直线处于特殊位置特殊位置时可以时可以直接从投影图直接从投影图中判断：中判断：ABBCABBC(垂直相交垂直相交)o ox xa aa ab bc cb bc c ABCDABCD(垂直交叉垂直交叉)o ox xaabcdbcd你现在浏览的是第二十七页，共74页四、直角投影定理四、直角投影定理 空间垂直（空间垂直（相交相交或或交叉交叉）的两直线，若其中）的两直线，若其中一直线为投影面平一直线为投影面平行线行线，则两直线在，则两直线在该投影面上的投影该投影面上的投影互相互相垂直垂直。此投影特性称。此投影特性称为为直角投影定理直角投影定理。反之，如两直线在某一投影面上的投影互相。反之，如两直线在某一投影面上的投影互相垂直，其中有一直线为该投影面的平行线，则空间两直线互相垂直，其中有一直线为该投影面的平行线，则空间两直线互相垂直。垂直。如图所示，如图所示，ABCDABCD，其中，其中AB/HAB/H面，面，CDCD倾斜于倾斜于H H面，则面，则abcdabcd。因因ABBbABBb，ABCDABCD，则，则ABAB平面平面CcdDCcdD。又因又因ab/ABab/AB，所以，所以abab平面平面CcdDCcdD，因此，因此，abbcabbc，即，即abcabcABCABC9090。你现在浏览的是第二十八页，共74页【例题例题】求作已知铅垂线求作已知铅垂线AB与一般位置直线与一般位置直线CD的公垂线的公垂线EF。eff(e)实长实长你现在浏览的是第二十九页，共74页一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直线两平行直线abca b c 两相交直两相交直线线abca b c 平面平面图形图形3-5 平面的投影平面的投影你现在浏览的是第三十页，共74页二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面对投影面的倾角平面对投影面的倾角：平面与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的两面角，分别：平面与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的两面角，分别称为该平面对该投影面的倾角，分别用称为该平面对该投影面的倾角，分别用、表示。表示。你现在浏览的是第三十一页，共74页1投影面垂直面投影面垂直面 正垂面正垂面铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面轴轴测测投投影影图图平平面面投投影影图图应应用用举举例例投影特性：投影特性：平面在与其所垂直的投影面上平面在与其所垂直的投影面上积聚积聚成与投影轴倾斜的直线，成与投影轴倾斜的直线，并并反映反映该平面与其他两个投影面的倾角。该平面与其他两个投影面的倾角。平面的其他两个投影面都是面积平面的其他两个投影面都是面积小于小于原平面图形的类似形。原平面图形的类似形。你现在浏览的是第三十二页，共74页2 投影面平行面投影面平行面 正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面轴轴测测投投影影图图平平面面投投影影图图应应用用举举例例投影特性：投影特性：平面在与其平行的投影面上的投影平面在与其平行的投影面上的投影反映反映平面图形的实形。平面图形的实形。平面在其他两个投影面上的投影均平面在其他两个投影面上的投影均积聚积聚成平行于相应投影轴成平行于相应投影轴 的直线。的直线。你现在浏览的是第三十三页，共74页3一般位置平面一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面与三个投影面都倾斜的平面。投影特性：投影特性：它的三个投影它的三个投影均为类似形均为类似形，而且面积比原平面图形，而且面积比原平面图形小小；投影图上投影图上不直接反映不直接反映平面对投影面的倾角。平面对投影面的倾角。你现在浏览的是第三十四页，共74页例例3-8 分析图所示立体各平面的位置。分析图所示立体各平面的位置。(a)立体图立体图 (b)三视图三视图(1)ABC是是水平面水平面。(2)DEF是是侧垂面侧垂面。(3)侧面侧面ACDE是是一般位置平面一般位置平面。你现在浏览的是第三十五页，共74页三、平面上的点和直线的投影三、平面上的点和直线的投影 1.平面上的点平面上的点 点在平面内的条件是：点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。点在该平面内的一条线上。你现在浏览的是第三十六页，共74页2平面上的直线平面上的直线直线在平面内的条件是：直线在平面内的条件是：通过平面内的两点通过平面内的两点或或通过平通过平面内一点并平行于平面内的面内一点并平行于平面内的另一直线。另一直线。(a)通过平面内的两点通过平面内的两点 (b)过平面内一点且平行过平面内一点且平行于平面内的一直线于平面内的一直线你现在浏览的是第三十七页，共74页例例3-9 如图如图3-39a所示，已知平面所示，已知平面ABC上点上点M的正面投影的正面投影m ，求点，求点M的水平投影的水平投影m。（引入反求引入反求）分析：分析：作图：作图：利用点、线从属关系求出利用点、线从属关系求出M的水平投影的水平投影m。结论：结论：判断点是否在平面内，不能只看点的投影是否在判断点是否在平面内，不能只看点的投影是否在 平面的投影轮廓线内，一定要用平面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影几何条件和投影 特性特性来判断。来判断。你现在浏览的是第三十八页，共74页例例3-10 已知平面五边形已知平面五边形ABCDE的正面投影和的正面投影和AB、AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。边的水平投影，试完成五边形的水平投影。分析：分析：作图作图 利用在利用在上取点的方法完成水平投影上取点的方法完成水平投影。返回返回你现在浏览的是第三十九页，共74页一、概述一、概述 直线在平面上（直线在平面上（3.5判定几何条件）判定几何条件）1.直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置 直线直线平面平面 直线不在平面上直线不在平面上 倾斜倾斜 直线与平面相交直线与平面相交 垂直垂直 平行（包括重合）：距离相等平行（包括重合）：距离相等2.平面与平面间的相对位置平面与平面间的相对位置 斜交斜交 相交相交 正交正交3.几个重要的几何定理几个重要的几何定理 直线直线平面内任意一条直线平面内任意一条直线 直线直线这个平面这个平面两个平面上有两对相互平行的相交直线两个平面上有两对相互平行的相交直线 两个平面相互两个平面相互直线直线平面平面 直线直线此平面上所有直线此平面上所有直线直线直线平面内两条相交直线平面内两条相交直线 此直线此直线此平面此平面一平面通过另一平面的一条垂线一平面通过另一平面的一条垂线 这两个平面相互这两个平面相互3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置你现在浏览的是第四十页，共74页二、相对位置包括二、相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直三种情况三种情况:（一）平行问题（一）平行问题 直线直线与与平面平面平行平行 平面平面与与平面平面平行平行 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行的直线与平面平行的几何条件是：几何条件是：直线平直线平行于平面内的任意行于平面内的任意一条直线一条直线。包包 括括 线面平行问题就归结为线面平行问题就归结为:面上取线面上取线和和线线平行线线平行的两问题的两问题.你现在浏览的是第四十一页，共74页2.平面与平面平行平面与平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交直两相交直线线对应平行于另一平面对应平行于另一平面上的上的两相交直线两相交直线，则这两，则这两平面相互平行。平面相互平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相互平行，则它们互平行，则它们具有积聚具有积聚性性的那组投影必相互平行。的那组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef你现在浏览的是第四十二页，共74页（二）相交问题（二）相交问题(重点重点)直线直线与与平面平面相交相交 平面平面与与平面平面相交相交 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求直线与平面的求直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。包包 括括 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。你现在浏览的是第四十三页，共74页分析：分析：作图：作图：判可见性：判可见性：例例3-11 求一般位置直线求一般位置直线MN与铅垂面与铅垂面ABC的交点的交点 你现在浏览的是第四十四页，共74页例例3-12 求铅垂线求铅垂线MN与一般位置平面与一般位置平面ABC的交点的交点 分析：分析：作图：作图：判可见性：判可见性：解决问题的方法：解决问题的方法：当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性积聚性，交，交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的一个投影，点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外的投影。再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外的投影。轮廓线可见性判别方法轮廓线可见性判别方法：利用投影图中的重影点，看它在哪：利用投影图中的重影点，看它在哪几条轮廓线上，由几条轮廓线上，由“前遮后，上遮下，左遮右前遮后，上遮下，左遮右”的规律，判断这几的规律，判断这几条轮廓线上的点可见与否，从而确定相应图形轮廓线的虚实性。条轮廓线上的点可见与否，从而确定相应图形轮廓线的虚实性。你现在浏览的是第四十五页，共74页 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，交线是两平面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求两平面的求两平面的交线交线。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性判别可见性。我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。你现在浏览的是第四十六页，共74页例例3-13 求铅垂面和一般位置平面的交线求铅垂面和一般位置平面的交线 分析：分析：作图：作图：判可见性：判可见性：你现在浏览的是第四十七页，共74页例例3-14 求两正垂面求两正垂面ABC和和DEF的交线的交线 分析：分析：作图：作图：判可见性：判可见性：交线应在交线应在两三角形的公两三角形的公共部分。共部分。解决问题的方法解决问题的方法:若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性的投影则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共有线，图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共有线，求出另外的投影。求出另外的投影。你现在浏览的是第四十八页，共74页（三）垂直问题（三）垂直问题 1.直线与平面垂直直线与平面垂直一直线如果垂直于一平面上一直线如果垂直于一平面上任意两相交任意两相交直线，则直线垂直于直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于平面上的该平面，且直线垂直于平面上的所有所有直线。直线。对于垂直于对于垂直于特殊位置平面的特殊位置平面的直线一定为特殊直线一定为特殊位置直线。位置直线。当直当直线线垂直垂直于投影面垂于投影面垂直面时，该直线直面时，该直线平平行行于平面所垂直的于平面所垂直的投影面投影面。我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。你现在浏览的是第四十九页，共74页2.平面与平面垂直平面与平面垂直 如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面必垂直如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面必垂直于该平面。于该平面。当两个互当两个互相垂直的平面同相垂直的平面同垂直于一个投影垂直于一个投影面面时时，两平面有，两平面有积积聚性的聚性的同面投同面投影垂直，交影垂直，交线线是是该该投影面的垂直投影面的垂直线线。我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。返回返回你现在浏览的是第五十页，共74页当空间几何元素相对投影面处于当空间几何元素相对投影面处于特殊位置特殊位置时，可在时，可在投影图中直接反映出投影图中直接反映出实形实形、距离距离、交点交点、位置位置等关系。等关系。3-7 变换投影面法变换投影面法 一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置如何求一般位置解决方法：解决方法：更换投影面更换投影面。换面法：换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。你现在浏览的是第五十一页，共74页二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则VHAB a b ab1.新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。最有利的解题位置。平行平行于新的投影面于新的投影面 垂直垂直于新的投影面于新的投影面2.新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，以构一保留的原投影面，以构 成成一个相互垂直的两投影面的新体系。一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a1b1你现在浏览的是第五十二页，共74页（一）换面法的基本投影规律（一）换面法的基本投影规律1点的一次变换点的一次变换 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系X 1 V1H A点的两个投影：点的两个投影：a，a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立你现在浏览的是第五十三页，共74页 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1 ax1=a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。离。一般规律：一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。影轴。你现在浏览的是第五十四页，共74页 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 XVHaa ax更换H面 VHXV1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。影到原投影轴的距离。aa X1H1V a1axax1ax1更换V面a1 作图规律：作图规律：.你现在浏览的是第五十五页，共74页2点的二次变换点的二次变换H先把先把V面换成平面面换成平面V1，V1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:V1X1 再把再把H面换成平面面换成平面H2，H2 V1，得到新投影体系，得到新投影体系:X2 V1 H2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1V1a1 ax1H2X2ax2a2 你现在浏览的是第五十六页，共74页 求新投影的作图方法求新投影的作图方法ax2aXVHa2X1HV1X2V1H2 作图规律：作图规律：依次序更换依次序更换a1 axax1 .a 你现在浏览的是第五十七页，共74页二、换面法的四个基本问题二、换面法的四个基本问题1将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线例：求一般位置直线例：求一般位置直线AB 的实长的实长用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，AB/V1。空间分析空间分析：新投影轴的位置？新投影轴的位置？X1轴轴/ab求求，换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图方法：作图方法：你现在浏览的是第五十八页，共74页2将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面平行线变换成投影面垂直线X1轴轴ab 例：将水平线例：将水平线AB变换为投影面垂直线变换为投影面垂直线 空间分析空间分析：用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，ABV1。.换换H面行吗？面行吗？不行！不行！新投影轴的位置？新投影轴的位置？作图方法：作图方法：你现在浏览的是第五十九页，共74页3将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。则变换成新投影面的垂直面。空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条投取一条投影面平行线影面平行线，经一次换，经一次换面后变换成新投影面面后变换成新投影面的垂直线，则该平面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直变成新投影面的垂直面。面。两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？一般位置直线变换成投影一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？面垂直线，需经几次变换？两次！两次！你现在浏览的是第六十页，共74页作图方法：作图方法：思考：思考：若变换若变换H面，需在面面，需在面内取什么位置直线？内取什么位置直线？正平线！正平线！新投影轴的位置？新投影轴的位置？X1轴轴 cd例例:将一般位置面将一般位置面ABC变为投影面垂直面变为投影面垂直面 你现在浏览的是第六十一页，共74页4将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面垂直面变换成投影面平行面例例:将铅垂面将铅垂面ABC变为投影面平行面变为投影面平行面 换换V面面,使新投影面使新投影面V1 ABC。X1轴轴abc 空间分析：空间分析：作图方法：作图方法：新投影轴的位置？新投影轴的位置？你现在浏览的是第六十二页，共74页三、换面法的应用举例三、换面法的应用举例例例3-15 试求所示立体上的正垂面试求所示立体上的正垂面P的实形的实形。空间分析：空间分析：作图步骤：作图步骤：（1）建立投影轴。）建立投影轴。（2）画出新投影。）画出新投影。pp你现在浏览的是第六十三页，共74页例例3-16 求点求点C到正平线到正平线AB的距离，并作出其垂线的的距离，并作出其垂线的投影。投影。空间分析：空间分析：作图步骤：作图步骤：d 如何定？如何定？c d X12.2.在新投影面在新投影面H H上直接求作距离的投影即反上直接求作距离的投影即反映实长。映实长。1.1.将直线变换为投影面垂直线。将直线变换为投影面垂直线。你现在浏览的是第六十四页，共74页例例3-17 已知交叉二直线已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位，求其最短连线的位置及其最短连线的长度。置及其最短连线的长度。解题思路：解题思路：2.2.在新投影面在新投影面H H2 2上直接求上直接求作距离的投影即反映实作距离的投影即反映实长。长。1.1.将两直线之一变换为投将两直线之一变换为投影面垂直线。影面垂直线。空间分析：空间分析：你现在浏览的是第六十五页，共74页作图步骤：作图步骤：4.4.将返回原体系。将返回原体系。ST ST 的投影的投影s s2 2t t2 2。2.2.在投影面在投影面H H2 2 中作公垂线中作公垂线1.1.将两已知直线之一将两已知直线之一CD CD 变变换为投影面垂直线换为投影面垂直线,直线直线 AB AB 随之变换随之变换。距离实长ST ST 的投影的投影s s1 1 t t1 1。3.3.在投影面在投影面V V1 1 中作公垂线中作公垂线(s1 t1 2 )你现在浏览的是第六十六页，共74页例例3-18 求一般位置平面求一般位置平面ABC的真实大小。的真实大小。空间分析：空间分析：作图步骤：作图步骤：只有当投影面只有当投影面平行于平行于ABC时，时，ABC在其上的投影在其上的投影才反映真形。才反映真形。两次变换两次变换!你现在浏览的是第六十七页，共74页abca b c 直线为一般位置时直线为一般位置时 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka k 小小 结结点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线特殊位置直线 与平面的投影特性与平面的投影特性。重点掌握：重点掌握：点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点一、直线上的点 点的投影必在直线的同面投影上点的投影必在直线的同面投影上从属性。从属性。点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比定比定理。定比定理。判断方法判断方法:你现在浏览的是第六十八页，共74页二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置 平行平行同面投影互相平行。同面投影互相平行。对于对于一般一般位置直线，只位置直线，只要有两个同面投影互相平行，要有两个同面投影互相平行，空间两直线空间两直线就平行就平行。abcdc a b d 对于对于特殊特殊位置直线，位置直线，只有两个同面投影互相只有两个同面投影互相平行，空间直线平行，空间直线不一定不一定平平行。行。cbdd b a c a 平行性平行性:同面投影都相互平行同面投影都相互平行 平行平行 定比性（长度比、定比性（长度比、方向性）方向性）:同面投影之比相等，同面投影之比相等，并都等于空间线段之并都等于空间线段之 比比你现在浏览的是第六十九页，共74页 相交相交 交叉（异面）交叉（异面）同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。空间一个点的投影规律。同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交点交点”不符合空间一不符合空间一个点的投影规律。个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一对重影点是两直线上一对重影点的投影。的投影。cabb a c d k kdc abdabcd你现在浏览的是第七十页，共74页三、点与平面的相对位置三、点与平面的相对位置面上取点的方法面上取点的方法:baca k b c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解abca b k c 你现在浏览的是第七十一页，共74页四、直线与平面的相对位置四、直线与平面的相对位置 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于直线平行于平面内平面内的的任意任意一条直线。一条直线。直线与平面相交直线与平面相交 投影面垂直线与一般位置投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求采取平面上取点的方法求 解解。一般位置直线与特殊