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工程力学例题你现在浏览的是第一页，共47页21 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 21.1 21.1 惯性力的概念惯性力的概念动力学问题动力学问题动能定理动能定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理运动学关系运动学关系两点速度、两点速度、加速度关系加速度关系复合运动复合运动联联立立求求解解静力学问题静力学问题平衡方程平衡方程达朗贝尔原理达朗贝尔原理（动静法）（动静法）惯性力惯性力人为引入的假想力，人为引入的假想力，无施力者，与观察者有关，与真实力同样无施力者，与观察者有关，与真实力同样有运动、变形效应。有运动、变形效应。你现在浏览的是第二页，共47页1.第一类惯性力第一类惯性力在非惯性系中引入在非惯性系中引入，使牛顿第二定律形式上仍成立，使牛顿第二定律形式上仍成立:2.第二类惯性力第二类惯性力在惯性系中引入在惯性系中引入在惯性系中引入在惯性系中引入，使动力学形式上转化，使动力学形式上转化为静力学问题为静力学问题:其中：牵连惯性力、科氏惯性力其中：牵连惯性力、科氏惯性力xyzxyzmxyzm在非惯性系中在非惯性系中(21.1)(21.2)(21.3)达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力（21.4）你现在浏览的是第三页，共47页(21.3)达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力（21.4）(21.5)共点力系共点力系平衡方程平衡方程质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力组成一个形式上的平衡共点力系。组成一个形式上的平衡共点力系。21.2 21.2 达朗贝尔原理达朗贝尔原理xyzm1.质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理你现在浏览的是第四页，共47页达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力（21.7）(21.8)n个平衡的个平衡的共点力系共点力系质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外力系和质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。2.2.质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理(21.6)对质点系中对质点系中任意质点任意质点达朗贝尔原达朗贝尔原理平衡方程理平衡方程（21.9)其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。你现在浏览的是第五页，共47页达朗贝尔原达朗贝尔原理平衡方程理平衡方程（21.9)达朗贝尔原达朗贝尔原理平衡方程理平衡方程（21.9)记：记：达朗贝尔原理的平衡方程中，矩方达朗贝尔原理的平衡方程中，矩方程的矩心程的矩心A点可以任意选取。点可以任意选取。你现在浏览的是第六页，共47页21.3 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化质点系的达朗贝尔惯性力系的简化简化为一等效力系（主矢简化为一等效力系（主矢+主矩）主矩）1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化质点系达朗贝尔惯性力系的简化(1)达朗贝尔惯性力系的达朗贝尔惯性力系的主矢主矢 代入代入即质心运动定理即质心运动定理m-质点系（刚体）的总质量质点系（刚体）的总质量 -质点系（刚体）质心质点系（刚体）质心C的加速度的加速度（21.10）达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系主矢主矢你现在浏览的是第七页，共47页（21.10）达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系主矢主矢(2)达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系对任意一固定的对任意一固定的O点的主矩：点的主矩：根据根据 达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系对固定的对固定的O点主矩：点主矩：(21.11)由由(21.9)第第2式，令式，令A点为点为O点：点：对固定点对固定点O的的动量矩定理动量矩定理你现在浏览的是第八页，共47页(3)达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系对质点系质心对质点系质心C（可为（可为动点）的主矩：动点）的主矩：利用对不同点的动量矩之关系：利用对不同点的动量矩之关系：求导，并利用求导，并利用xyzCO你现在浏览的是第九页，共47页由于由于根据力系对不同点主矩之关系，有：根据力系对不同点主矩之关系，有：由定义由定义由由(21.9)第第2式，令式，令A点为质心点为质心C点：点：xyzCO对质心对质心C的的动量矩定理动量矩定理(21.12)达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系对对质点系质心质点系质心C的主矩：的主矩：你现在浏览的是第十页，共47页（21.10）达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系主矢主矢达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系对固定点对固定点O的主矩的主矩（21.11）达朗贝尔惯性力系达朗贝尔惯性力系对对质心质心C的主矩的主矩（21.12）等效于对质点系质心等效于对质点系质心C的动量矩定理的动量矩定理等效于质点系对固定点等效于质点系对固定点O的动量矩定理的动量矩定理等效于质点系的质心运动定理等效于质点系的质心运动定理质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果你现在浏览的是第十一页，共47页2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自身所在平面运动，此时身所在平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称的方向恒垂直于其质量对称面，且面，且可用代数量表示：可用代数量表示：（转向与转向与 相同）相同）C由质点系达朗贝尔惯性力系向质心由质点系达朗贝尔惯性力系向质心C的简化结果：的简化结果：得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心C简化的结果：简化的结果：（21.13）你现在浏览的是第十二页，共47页（21.13）或：或：（21.13）（转向与转向与 转向相反）转向相反）C平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心C简化的结果：简化的结果：你现在浏览的是第十三页，共47页对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：（1）刚体平面平移）刚体平面平移C由于由于 ，（21.14）仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢，此结果也适用于刚体作空间平移运动。此结果也适用于刚体作空间平移运动。你现在浏览的是第十四页，共47页（2）刚体定轴转动）刚体定轴转动OCa.a.达朗贝尔惯性力系向质心达朗贝尔惯性力系向质心C简化简化的结果为：的结果为：(21.15)你现在浏览的是第十五页，共47页b.b.b.b.达朗贝尔惯性力系向转轴达朗贝尔惯性力系向转轴达朗贝尔惯性力系向转轴达朗贝尔惯性力系向转轴O简化的结果为：简化的结果为：简化的结果为：简化的结果为：(21.15)OC惯性力系向转轴惯性力系向转轴O简化简化惯性力系向质心惯性力系向质心C简化简化OC你现在浏览的是第十六页，共47页（1 1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系的这两种简化方法是等价的，最容易犯的这两种简化方法是等价的，最容易犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质心的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质心上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴O，即式即式 写出。写出。注意注意（2 2）以上图示表示达朗贝尔惯）以上图示表示达朗贝尔惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，其大小不要再将对应矢量式前的其大小不要再将对应矢量式前的“负号负号”带入，因为带入，因为“负号负号”所所表示的方向（或转向）已在图中表示的方向（或转向）已在图中标出。以后在列写平衡方程时，标出。以后在列写平衡方程时，就是按图示方向（或转向）来列就是按图示方向（或转向）来列写的。写的。惯性力系向质心惯性力系向质心C简化简化OC你现在浏览的是第十七页，共47页例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题均质轮均质轮C，半径，半径r，质量，质量m，在半径为，在半径为 R 的固定圆轮的固定圆轮上纯滚动，上纯滚动，已知，均已知，均质杆质杆OC长长R+r，质量，质量M ，均质杆均质杆CA长长l，质量，质量m，若，若l=3r，R=4r，给出该，给出该刚体系统达朗贝尔惯刚体系统达朗贝尔惯性力系的简化结果。性力系的简化结果。RrCOA你现在浏览的是第十八页，共47页RrCOA例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题解：解：设杆设杆OC的质心为的质心为B杆杆AC的质心为的质心为DBD轮轮C一般平面运动，杆一般平面运动，杆OC定轴定轴转动，杆转动，杆AC定轴转动。定轴转动。1.运动学关系运动学关系轮轮C：杆杆OC：()()你现在浏览的是第十九页，共47页例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题杆杆OC：()()RrCOABD你现在浏览的是第二十页，共47页RrCOA例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题BD杆杆AC：()()你现在浏览的是第二十一页，共47页例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题2.惯性力系简化结果惯性力系简化结果RrCOABD（1）轮）轮C，向其质心，向其质心C简化：简化：（方向（方向如图）如图）（2）杆）杆OC，向其质心，向其质心B简化：简化：方方向向如如图图你现在浏览的是第二十二页，共47页例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题（3）杆）杆AC，向其质心，向其质心D简化：简化：方方向向如如图图RrCOABD你现在浏览的是第二十三页，共47页例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题此题易错处之一：此题易错处之一：将定轴转动杆（如杆将定轴转动杆（如杆OC）的）的达朗达朗贝尔贝尔惯性力作用点画在杆的质心惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：处，而将惯性力偶矩写为：或将惯性力画在或将惯性力画在O点，点，惯性力偶矩写为：惯性力偶矩写为：RrCOABD你现在浏览的是第二十四页，共47页例例 题题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题此题易错处之二：此题易错处之二：将纯滚动轮的将纯滚动轮的达朗达朗贝尔贝尔惯性力作惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：力偶矩写为：RrCOABD正确做法是：将惯性正确做法是：将惯性力画在轮的速度瞬心力画在轮的速度瞬心P点，惯性力偶矩才点，惯性力偶矩才可写为：可写为：你现在浏览的是第二十五页，共47页21.4 动静法及应用动静法及应用（1）明确研究对象；）明确研究对象；（2）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力和外约束力；和外约束力；（3）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；（4）根据刚化公理，把研究对象刚化在该瞬时位置上；）根据刚化公理，把研究对象刚化在该瞬时位置上；（5）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上的动态的动态“平衡平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实方程（动态的含义是因为这些方程实质上是含运动学特征量的动力学方程）；质上是含运动学特征量的动力学方程）；（6）解）解“平衡平衡”方程。方程。用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：利用利用达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法求解达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法求解动力学问题动力学问题动静法。动静法。你现在浏览的是第二十六页，共47页例例 题题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题如图所示一半径为如图所示一半径为 ，质量为，质量为 的均质圆盘通过光滑销的均质圆盘通过光滑销钉钉A，B连接一长度为连接一长度为 ，质量为，质量为 均质细杆均质细杆AD，已知，已知系统在力偶矩为系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的的主动力偶的作用下绕圆盘中心的光滑轴光滑轴O以匀角速度以匀角速度 转动。若转动。若 ，。当系统转至图示位置（点当系统转至图示位置（点O，A和和D在同一水平线上）时，在同一水平线上）时，突然拔去销钉突然拔去销钉B，试求该瞬时杆，试求该瞬时杆AD的角加速度和的角加速度和O处约束处约束力。力。ABODC你现在浏览的是第二十七页，共47页例例 题题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题ABODC解：解：分析：分析：系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩必定随系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩必定随时间变化。时间变化。当销钉当销钉B突然突然拔去后的瞬间，拔去后的瞬间，主动力偶主动力偶主动力偶主动力偶和两刚体的和两刚体的角速度角速度角速度角速度都与拔去前的瞬间相同，但两刚体均都与拔去前的瞬间相同，但两刚体均有有角加速度角加速度角加速度角加速度。（1 1）在未拔销钉）在未拔销钉B时求时求M(t)在突然在突然拔去销钉拔去销钉B B前的瞬间前的瞬间，取整体为研究对象，画出受力图。取整体为研究对象，画出受力图。由达朗贝尔原理知：由达朗贝尔原理知：（1 1）以以O为原点建立坐标系为原点建立坐标系Oxy，此时，系统的此时，系统的达朗达朗贝尔惯性力系向贝尔惯性力系向O点简化结果点简化结果为过为过O点的一个力。点的一个力。你现在浏览的是第二十八页，共47页例例 题题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题（2）当拔去销钉当拔去销钉B后的瞬间后的瞬间:设圆盘和杆的角加速度分别为设圆盘和杆的角加速度分别为 ，转向均为顺，转向均为顺时针。时针。先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。ABODC为求杆质心为求杆质心C的加速度，由的加速度，由A，C两点加速度关系：两点加速度关系：？你现在浏览的是第二十九页，共47页例例 题题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题ABODC达朗贝尔惯性力的简化结果为：达朗贝尔惯性力的简化结果为：你现在浏览的是第三十页，共47页例例 题题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题由达朗贝尔原理列出平衡方程：由达朗贝尔原理列出平衡方程：(2)(3)ABODC(4)你现在浏览的是第三十一页，共47页例例 题题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题ABODC(2)(3)(4)（1 1）ADC再取杆再取杆AD为研究对象，画受力图，为研究对象，画受力图，由达朗贝尔原理知：由达朗贝尔原理知：(5)联立（联立（1）（5），得：），得：你现在浏览的是第三十二页，共47页例例 题题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题OABOA杆长杆长 l，质量为，质量为 m，AB为一为一刚度系数为刚度系数为 k 的弹簧，系统从图的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为初始位置弹簧的伸长量为 l，不，不计弹簧的质量和各处的摩擦，求计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆杆OA转至水平位置的瞬时，杆转至水平位置的瞬时，杆OA的角速度、角加速度及的角速度、角加速度及O处的处的约束力。约束力。你现在浏览的是第三十三页，共47页OAB例例 题题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题解：解：系统仅重力、弹性力作功，系统仅重力、弹性力作功，机械能守恒：机械能守恒：初始：初始：取取O点为重力势能零点，弹簧原点为重力势能零点，弹簧原始长度为弹性势能零点。始长度为弹性势能零点。杆杆OA定轴转动，设杆水平时角速度为定轴转动，设杆水平时角速度为 ，则：，则：A你现在浏览的是第三十四页，共47页例例 题题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题OBA代入机械能守恒式中，得：代入机械能守恒式中，得：（）设杆水平时的角加速度为设杆水平时的角加速度为杆杆OA此瞬时的此瞬时的达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力向质心向质心C简化：简化：C你现在浏览的是第三十五页，共47页例例 题题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题OBAC取杆取杆OA为分离体，画出受力图为分离体，画出受力图OAC对杆对杆OA其中弹簧力其中弹簧力你现在浏览的是第三十六页，共47页例例 题题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题OBACOAC其中弹簧力其中弹簧力()你现在浏览的是第三十七页，共47页例例 题题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题OAC其中弹簧力其中弹簧力负号表示（负号表示（）()对对OA列列x，y方向的平衡方程：方向的平衡方程：你现在浏览的是第三十八页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题AB杆杆AB长长 l，质量为，质量为m，圆轮半径为，圆轮半径为r，质量为，质量为m，地面，地面光滑，杆光滑，杆AB从水平位置无初速释放，求杆从水平位置无初速释放，求杆AB运动运动到铅垂位置时，（到铅垂位置时，（1）A点的速度和点的速度和AB杆的角速度。杆的角速度。（2）A点的加速度和点的加速度和AB杆的角加速度。（杆的角加速度。（3）地面）地面对圆轮的支持力。对圆轮的支持力。你现在浏览的是第三十九页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题解：解：画出整体受力图和圆轮的受力图画出整体受力图和圆轮的受力图 分析圆轮的受力，圆轮外力均过质分析圆轮的受力，圆轮外力均过质心心A，故对质心动量矩守恒：，故对质心动量矩守恒：圆轮为平动圆轮为平动ABC（2）当）当AB杆运动到铅垂时，杆运动到铅垂时，设杆的角速度为设杆的角速度为 ，圆轮，圆轮A点的速度为点的速度为 ，由由C，A两点速度关系两点速度关系ABCA你现在浏览的是第四十页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题由由C，A两点速度关系两点速度关系投影：投影：()系统整体仅受铅垂方向外力，故系统整体仅受铅垂方向外力，故水平方向动量守恒：水平方向动量守恒：()ABCABCA你现在浏览的是第四十一页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题()(3)系统仅受重力，机械能守恒系统仅受重力，机械能守恒设点设点A处为势能零点，则：处为势能零点，则：初始位置：初始位置：杆铅垂位置：杆铅垂位置：ABCABCA你现在浏览的是第四十二页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题初始位置：初始位置：杆铅垂位置：杆铅垂位置：()()ABCABCA你现在浏览的是第四十三页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题ABC(4)取杆取杆AB为分离体，设杆为分离体，设杆AB的角加速度的角加速度ABC画出受力图：画出受力图：由由A，C两点的加速度关系：两点的加速度关系：投影：投影：A你现在浏览的是第四十四页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题(5)对杆对杆AB:()(1)对杆对杆ABC()你现在浏览的是第四十五页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题AABCABC(1)(2)对杆：对杆：(3)(4)对轮：对轮：达朗贝尔达朗贝尔惯性力惯性力你现在浏览的是第四十六页，共47页例例 题题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题例题ABCABCA(1)(2)(3)(4)()()联立，可求得：联立，可求得：你现在浏览的是第四十七页，共47页