弹性力学平面应力问题和平面应变问题优秀PPT.ppt

弹性力学平面应力问题和平面应弹性力学平面应力问题和平面应变问题变问题你现在浏览的是第一页，共171页第一节第一节 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题第二节第二节 平衡微分方程平衡微分方程第三节第三节 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移第五节第五节 物理方程物理方程第六节第六节 边界条件边界条件你现在浏览的是第二页，共171页第七节第七节 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用第八节第八节 按位移求解平面问题按位移求解平面问题第九节第九节 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第十节第十节 常应力情况下的简化常应力情况下的简化 应力函数应力函数你现在浏览的是第三页，共171页 弹性力学平面问题共有应力、应变和位弹性力学平面问题共有应力、应变和位移移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。2-12-1平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题 弹性力学空间问题共有应力、应变和位移弹性力学空间问题共有应力、应变和位移1515个未知函数，且均为个未知函数，且均为 ；平面应力你现在浏览的是第四页，共171页=你现在浏览的是第五页，共171页=你现在浏览的是第六页，共171页两类特殊问题两类特殊问题1、平面应力问题、平面应力问题yxyzt/2t/2你现在浏览的是第七页，共171页 （4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。沿板厚不变。（3 3）面力面力作用于板边，平行于板的中面，作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；沿板厚不变；（2 2）体力体力作用于体内，平行于板的中面，作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；沿板厚不变；条件是：条件是：第一种：平面应力问题第一种：平面应力问题 平面应力 （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板；你现在浏览的是第八页，共171页 坐标系如图选择。平面应力你现在浏览的是第九页，共171页简化为平面应力问题：简化为平面应力问题：故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无又无z向外力，可认为：向外力，可认为：平面应力（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故你现在浏览的是第十页，共171页 所以归纳为平面应力问题：所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为 。平面应力（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向向不变，故应力不变，故应力 仅为仅为 。你现在浏览的是第十一页，共171页如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：F你现在浏览的是第十二页，共171页因表面无任何面力，因表面无任何面力，平面应力AB例题例题1 1：试分析：试分析ABAB薄层中的应力状态。薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一层内：在近表面很薄一层内：你现在浏览的是第十三页，共171页第二种：平面应变问题第二种：平面应变问题纵向轴纵向轴压力管道压力管道纵向轴纵向轴水坝水坝你现在浏览的是第十四页，共171页 （2 2）体力体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题第二种：平面应变问题条件是：条件是：（1 1）很长的）很长的常截面柱体常截面柱体；（3 3）面力面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；度方向不变；（4 4）约束约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。度方向不变。你现在浏览的是第十五页，共171页坐标系选择如图：平面应变对称面你现在浏览的是第十六页，共171页 故任何故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）均为对称面。平面应变（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束向不变，外力、约束 平行平行xyxy面，柱体非常长；面，柱体非常长；简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：你现在浏览的是第十七页，共171页（2 2）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不变，故应力、应变和位移均为向均不变，故应力、应变和位移均为 。平面应变你现在浏览的是第十八页，共171页 所以归纳为平面应变问题：所以归纳为平面应变问题：a.a.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存存在；在；b.b.且仅为且仅为 。平面应变你现在浏览的是第十九页，共171页例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox你现在浏览的是第二十页，共171页且仅为且仅为 。故只有故只有 ，本题中：本题中：平面应变oxyz例题例题2 2：试分析薄板中的应变状态。：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。你现在浏览的是第二十一页，共171页222 2平衡微分方程平衡微分方程定义 平衡微分方程平衡微分方程-表示物体内任一点的微分体的平衡条件。你现在浏览的是第二十二页，共171页 在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：体力：体力：。定义应力：作用于各边上，应力：作用于各边上，并表示出正面上并表示出正面上 由坐标增量引起由坐标增量引起 的的应力增量应力增量。你现在浏览的是第二十三页，共171页应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定应力用连续函数来表示。小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。你现在浏览的是第二十四页，共171页列出平衡条件列出平衡条件：合力=应力面积，体力体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件平衡条件你现在浏览的是第二十五页，共171页其中一阶微量抵消，并除以 得：，同理可得：平衡条件平衡条件你现在浏览的是第二十六页，共171页 当 时，得切应力互等定理,得平衡条件平衡条件你现在浏览的是第二十七页，共171页 适用的条件-连续性，小变形；说明说明对平衡微分方程的说明：对平衡微分方程的说明：代表A中所有点的平衡条件，因位（，）A；应力不能直接求出；对两类平面问题的方程相同。你现在浏览的是第二十八页，共171页理论力学考虑整体 的平衡（只决定整体的运动状态）。说明说明比较:材料力学考虑有限体 的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。你现在浏览的是第二十九页，共171页 当 均平衡时，保证 ，平衡；反之则不然。说明说明 所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。你现在浏览的是第三十页，共171页理力（V）材力（）弹力（）hV dxdy dx你现在浏览的是第三十一页，共171页思考题思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？你现在浏览的是第三十二页，共171页 已知坐标面上应力 ，求斜面上的应力。问题的提出：223 3平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态问题问题你现在浏览的是第三十三页，共171页求解：取出一个三角形微分体（包含 面，面，面），边长问题问题斜面应力表示：斜面应力表示：你现在浏览的是第三十四页，共171页yxPAPBppxpyNNn2 2、平面问题中一点的应力状态、平面问题中一点的应力状态 几何参数：几何参数：设设AB面面积面面积=ds，PB面积面积=lds，PA面积面积=mds。斜面上应力分解为：斜面上应力分解为：由由Y=0得：得：（2-3）你现在浏览的是第三十五页，共171页由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求求（,）(a a)斜面应力斜面应力其中：其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。你现在浏览的是第三十六页，共171页2 2、平面问题中一点的应力状态、平面问题中一点的应力状态 yxPAPBppxpy斜面上应力分解为：斜面上应力分解为：NN（2-4）（2-5）已知P点应力xyxy可求出过P点任意斜面上的正应力和剪应力（正应力和剪应力（NN）利用（利用（2-4）（）（2-5）应力在应力在x，y轴上的投影（轴上的投影（px，py）利用（利用（2-3）n你现在浏览的是第三十七页，共171页(2)求求（）将 向法向，切向投影，得斜面应力斜面应力你现在浏览的是第三十八页，共171页主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平 主平面上的应力叫主应力。主平面上的应力叫主应力。pxpyyxAPBn2(x+y)+(xy2xy)=0你现在浏览的是第三十九页，共171页 设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:(3)求主应力求主应力斜面应力斜面应力(c c)你现在浏览的是第四十页，共171页主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，主平面上的应力叫主应力。主平面上的应力叫主应力。pxpyyxAPBn注意注意:平面应力状态下平面应力状态下,任一点一般都存在任一点一般都存在 两个主应力。二者方向互相垂直。两个主应力。二者方向互相垂直。1+2=x+y任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。最大剪应力所在平面与主最大剪应力所在平面与主平面相交平面相交45，其值为，其值为主平面上剪应力等于零，但主平面上剪应力等于零，但max 作用面上正应力一般不为零。而是：作用面上正应力一般不为零。而是：你现在浏览的是第四十一页，共171页将x，y放在 方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）(4)求最大，最小应力求最大，最小应力最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)你现在浏览的是第四十二页，共171页几何方程几何方程表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。224 4几何方程刚体位移几何方程刚体位移定义定义你现在浏览的是第四十三页，共171页变形前位置：变形后位置：各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的正坐标向的微分线段定义定义你现在浏览的是第四十四页，共171页 应用基本假定：连续性；小变形。当很小时，假定假定你现在浏览的是第四十五页，共171页几何方程几何方程 刚体位移刚体位移yxPABPABuvPA=dx,PB=dyPA正应变正应变:PB正应变正应变:（2-8）几何方程：几何方程：对两种平面问题都适用。对两种平面问题都适用。你现在浏览的是第四十六页，共171页假定假定由位移求形变：PA 线应变PA 转角PB 线应变PB 转角同理，你现在浏览的是第四十七页，共171页 适用于区域内任何点，因为（x,y）A；对几何方程的说明：所以平面问题的几何方程平面问题的几何方程为：说明说明 适用条件：a.连续性；b.小变形。应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；你现在浏览的是第四十八页，共171页 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。形变和位移之间的关系：位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。说明说明 从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。你现在浏览的是第四十九页，共171页 从物理概念看，确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定：形变与位移的关系形变与位移的关系你现在浏览的是第五十页，共171页由 ,两边对y积分，由 ,两边对x积分，例：若例：若 ,求位移：求位移：形变与位移的关系形变与位移的关系代入第三式你现在浏览的是第五十一页，共171页分开变量，因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得形变与位移的关系形变与位移的关系你现在浏览的是第五十二页，共171页物理意义：形变与位移的关系形变与位移的关系表示物体绕原点的刚体转动。表示x，y向的刚体平移，你现在浏览的是第五十三页，共171页结论结论 形变确定，则与形变有关的位移可以确形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移定，而与形变无关的刚体位移则未定。则未定。须通过边界上的约束条件来确定 。你现在浏览的是第五十四页，共171页思考题思考题1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是2.当应变为常量时，试求出对应的位移分量。你现在浏览的是第五十五页，共171页物理方程表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。定义即为广义胡克定律：225 5物理方程物理方程你现在浏览的是第五十六页，共171页物理方程的说明物理方程的说明：说明说明 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。是线性的代数方程；是总结实验规律得出的；适用条件理想弹性体；你现在浏览的是第五十七页，共171页 物理方程的两种形式：物理方程的两种形式：应变用应力表示，用于 按应力求解；应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。说明说明你现在浏览的是第五十八页，共171页平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程：代入 ，得：在z方向平面应力你现在浏览的是第五十九页，共171页 代入 得平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，你现在浏览的是第六十页，共171页平面应力物理方程平面应变物理方程：变换关系变换关系：平面应变物理方程平面应力物理方程：你现在浏览的是第六十一页，共171页思考题 1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：3个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。你现在浏览的是第六十二页，共171页 位移边界条件位移边界条件 设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有（在 上)。（a）定义 边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件26边界条件你现在浏览的是第六十三页，共171页 若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在 上）。（b）它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。它是函数方程，要求在 上每一点，位移与对应的约束位移相等。你现在浏览的是第六十四页，共171页在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在 上给定了面力分 量 （在A中）。（c）应力边界条件你现在浏览的是第六十五页，共171页将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:你现在浏览的是第六十六页，共171页 它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；你现在浏览的是第六十七页，共171页 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）也必须满足。式（d）中，按应力符号规定，按面力符号规定；位移,应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 ，向的条件；说明你现在浏览的是第六十八页，共171页若x=a为正x 面，l=1,m=0,则式(d)成为当边界面为坐标面时当边界面为坐标面时，坐标面你现在浏览的是第六十九页，共171页若x=-b为负x 面，l=-1,m=0,则式(d)成为你现在浏览的是第七十页，共171页应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式：两种表达式 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f）；你现在浏览的是第七十一页，共171页 在斜面上，在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f）有区别。例如：两种表达式你现在浏览的是第七十二页，共171页例1列出边界条件：你现在浏览的是第七十三页，共171页你现在浏览的是第七十四页，共171页例2列出边界条件：你现在浏览的是第七十五页，共171页显然，边界条件要求在 上，也成抛物线分布。你现在浏览的是第七十六页，共171页 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件：混合边界条件：同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。你现在浏览的是第七十七页，共171页例3列出 的边界条件：你现在浏览的是第七十八页，共171页 弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。27圣维南原理及其应用 圣维南原理圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。你现在浏览的是第七十九页，共171页 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：圣维南原理：你现在浏览的是第八十页，共171页圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：圣维南原理的说明：4.远处 指“近处”之外。3.近处 指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；2.静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；你现在浏览的是第八十一页，共171页圣维南原理 圣维南原理表明，在小边界小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。你现在浏览的是第八十二页，共171页例1比较下列问题的应力解答：b你现在浏览的是第八十三页，共171页例2比较下列问题的应力解答：推广你现在浏览的是第八十四页，共171页 圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。应用你现在浏览的是第八十五页，共171页圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：精确的应力边界条件如图，考虑 小边界，你现在浏览的是第八十六页，共171页 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。(a)在边界 上，你现在浏览的是第八十七页，共171页 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界在同一边界 x=l 上，上，应力的主矢量 =面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）.数值相等,方向一致.(b)圣维南原理圣维南原理的应用的应用积分的应力边界条件积分的应力边界条件你现在浏览的是第八十八页，共171页 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。你现在浏览的是第八十九页，共171页具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：你现在浏览的是第九十页，共171页即：应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值；应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。式中应力主矢量，主矩的正方向应力主矢量，主矩的正方向,正负号正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）（正的矩臂）的方向。你现在浏览的是第九十一页，共171页讨论：讨论：1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负 x 面，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。你现在浏览的是第九十二页，共171页 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数方程个数 2 3方程性质方程性质 函数方程（难满足）函数方程（难满足）代数方程（易满足）代数方程（易满足）精确性精确性 精确精确 近似近似适用边界适用边界 大，小边界大，小边界 小边界小边界比较：比较：你现在浏览的是第九十三页，共171页思考题思考题1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用圣维南原理？2、试列出负 面上积分的应力边界条件，设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。你现在浏览的是第九十四页，共171页 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题的基本方程及边界条件平面问题228 8按位移求解平面问题按位移求解平面问题你现在浏览的是第九十五页，共171页 平面应力问题 平面域平面域A内的基本方程内的基本方程:平衡微分方程（在（在A内）内）你现在浏览的是第九十六页，共171页几何方程物理方程（在（在A内）内）（在（在A内）内）你现在浏览的是第九十七页，共171页应力边界条件 位移边界条件 （在 上）（在 上）S上边界条件上边界条件:8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。你现在浏览的是第九十八页，共171页 按位移求解按位移求解（位移法）取 ，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ，的方程和边界条件，从而求出 ，；再求形变和应力。2.2.解法解法消元法消元法 解法你现在浏览的是第九十九页，共171页 按应力求解按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。你现在浏览的是第一百页，共171页3.按位移求解按位移求解 将其他未知函数用 ，表示：形变用 ，表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用 ，表示:取 ，为基本未知函数；按位移求解你现在浏览的是第一百零一页，共171页你现在浏览的是第一百零二页，共171页 在A中导出求 ，的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，上式是用 ，表示的平衡微分方程。你现在浏览的是第一百零三页，共171页位移边界条件 （在 上）(d)（在 上）(c)应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，在在S S上的边界条件上的边界条件你现在浏览的是第一百零四页，共171页 按位移求解时，按位移求解时，必须满足必须满足A A内的方程内的方程(b)(b)和边界条件和边界条件(c)(c)，(d)(d)。归纳：式(b)，(c)，(d)是求解 ，的条件;也是校核 ，是否正确的全部条件。你现在浏览的是第一百零五页，共171页 按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点：求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。适用性广可适用于任何边界条件。你现在浏览的是第一百零六页，共171页例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。(a)(b)你现在浏览的是第一百零七页，共171页解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为(a)(b)你现在浏览的是第一百零八页，共171页 均属于位移边界条件，代入 ，得得解出你现在浏览的是第一百零九页，共171页在 处，代入 ，并求出形变和应力，你现在浏览的是第一百一十页，共171页思考题试用位移法求解图(b)的位移和应力。你现在浏览的是第一百一十一页，共171页（1）取 为基本未知函数；基本方程29 按应力求解平面问题按应力求解平面问题相容方程相容方程1.按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:你现在浏览的是第一百一十二页，共171页 位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只只考虑全部为应力边界条件的问题考虑全部为应力边界条件的问题,即 。形变用应力表示（物理方程）。按应力求解你现在浏览的是第一百一十三页，共171页 在A内求解应力的方程(b)从几何方程中消去位移 ，得相容方程相容方程（形变协调条件）（形变协调条件）：补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)你现在浏览的是第一百一十四页，共171页 代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：其中(4)应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。你现在浏览的是第一百一十五页，共171页（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。归纳归纳：（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件：你现在浏览的是第一百一十六页，共171页2.形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。你现在浏览的是第一百一十七页，共171页点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例1三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D你现在浏览的是第一百一十八页，共171页1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。2.若 是否可能 成为弹性体中的形变？3.若 是否 可能为弹性体中的应力？思考题思考题你现在浏览的是第一百一十九页，共171页 相容方程 (A)(a)1.常体力情况下按应力求解的条件常体力情况下按应力求解的条件(A)(b)平衡微分方程 按应力函数求解221010常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数你现在浏览的是第一百二十页，共171页 应力边界条件 (S)(c)多连体中的位移单值条件。(d)你现在浏览的是第一百二十一页，共171页 在-条件下求解 的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故 与弹性常数无关。2.在在常体力常体力,单连体单连体,全部为应力边界全部为应力边界条件（条件（）下的应力）下的应力 特征：特征：你现在浏览的是第一百二十二页，共171页结论：结论：不同材料的应力()的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不 同的材料来代替。两类平面问题的应力解 相同，试 验时可用平面应力的模型代替平面应变的 模型。你现在浏览的是第一百二十三页，共171页 3.常体力下按应力求解的简化常体力下按应力求解的简化 对应的齐次微分方程的通解通解，艾里已求出为 非齐次微分方程(b)的任一特解特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的通解通解是：非齐次特解非齐次特解+齐次通解。齐次通解。你现在浏览的是第一百二十四页，共171页所以满足平衡微分方程的通解为平衡微分方程的通解为:(g)为艾里应力函数。你现在浏览的是第一百二十五页，共171页如果，则A，B均可用一个函数表示，即说明：说明：a.导出艾里（Airy）应力函数 ，是应用偏导数的相容性，即你现在浏览的是第一百二十六页，共171页d.由 再去求应力（式（g）,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。c.仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数 求解，从3个未知函数减少至1个未知函数 。b.导出应力函数 的过程，也就证明了 的存在性，故可以用各种方法去求解 。你现在浏览的是第一百二十七页，共171页（2）应力应满足相容方程（a），将式 （g）代入（a），得 （3）若全部为应力边界条件（），则应力边界条件也可用 表示。你现在浏览的是第一百二十八页，共171页归纳：归纳：（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；（3）多连体中的位移单值条件连体。求出 后，可由式（g）求得应力。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数按应力函数 求解求解，应满足:你现在浏览的是第一百二十九页，共171页1，在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面问题的，和均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？思考题你现在浏览的是第一百三十页，共171页2，对于按位移(u,v)求解，按应力（，）求解和按应力函数 求解的方法，试比较其未知函数，应满足的方程和条件，求解的难易程度及局限性。你现在浏览的是第一百三十一页，共171页 1例题2例题3例题4例题7例题5例题6例题你现在浏览的是第一百三十二页，共171页例1 试列出图中的边界条件。MFyxl h/2 h/2q(a)你现在浏览的是第一百三十三页，共171页解:(a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：你现在浏览的是第一百三十四页，共171页在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，你现在浏览的是第一百三十五页，共171页在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。你现在浏览的是第一百三十六页，共171页(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：FOxyqh(b)b/2 b/2你现在浏览的是第一百三十七页，共171页 在小边界y=0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，你现在浏览的是第一百三十八页，共171页 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。你现在浏览的是第一百三十九页，共171页例例2 2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。你现在浏览的是第一百四十页，共171页 h/2 h/2AxylFO你现在浏览的是第一百四十一页，共171页解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式218）;你现在浏览的是第一百四十二页，共171页（2）应力边界条件（书中式219），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用3个积 分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式214）。本 题在x=l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。你现在浏览的是第一百四十三页，共171页 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。你现在浏览的是第一百四十四页，共171页例例3 3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在你现在浏览的是第一百四十五页，共171页解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容；（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容。只有C=0，则你现在浏览的是第一百四十六页，共171页例例4 4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：你现在浏览的是第一百四十七页，共171页解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当 ）。你现在浏览的是第一百四十八页，共171页（a）此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须A=-F,D=-E.此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。你现在浏览的是第一百四十九页，共171页例例5 5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。你现在浏览的是第一百五十页，共171页解：上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），你现在浏览的是第一百五十一页，共171页(a)例例6 6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，你现在浏览的是第一百五十二页，共171页xyloqql h/2 h/2你现在浏览的是第一百五十三页，共171页解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）应力边界条件（在 上）。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。你现在浏览的是第一百五十四页，共171页再校核边界条件，在主要边界上，你现在浏览的是第一百五十五页，共171页你现在浏览的是第一百五十六页，共171页再将式（b）表达式代入次要边界条件，其主矢量为而主矩为你现在浏览的是第一百五十七页，共171页其主矢量为其主矢量为0，而主矩为你现在浏览的是第一百五十八页，共171页 由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。你现在浏览的是第一百五十九页，共171页 q(x)xylo h/2 h/2例7 在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为你现在浏览的是第一百六十页，共171页（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）你现在浏览的是第一百六十一页，共171页（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。你现在浏览的是第一百六十二页，共171页解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（在 上）。你现在浏览的是第一百六十三页，共171页（a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式，得:两边对y积分，得你现在浏览的是第一百六十四页，共171页再由上下的边界条件将 代入平衡微分方程的第二式,你现在浏览的是第一百六十五页，共171页对y积分，得 得由上下的边界条件，你现在浏览的是第一百六十六页，共171页 上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。由此得你现在浏览的是第一百六十七页，共171页（b）若q为常数，则 ，得 代入相容方程，为了满足相容方程，你现在浏览的是第一百六十八页，共171页 此式 和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得你现在浏览的是第一百六十九页，共171页由次要边界条件由此得你现在浏览的是第一百七十页，共171页 读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x=0,l小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。你现在浏览的是第一百七十一页，共171页