应力应变分析强理论11.pptx

7-1 应力状态概述应力状态概述 请看下面几段动画请看下面几段动画请看下面几段动画请看下面几段动画 1.1.1.1.低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 2.2.2.2.低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 一、应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念 第1页/共128页 低碳钢低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁铸铁 低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸 7-1 应力状态概述应力状态概述第2页/共128页为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转 低碳钢低碳钢（low-carbon steellow-carbon steel）铸铁铸铁（cast-ironcast-iron）第3页/共128页（1 1 1 1）拉中有剪）拉中有剪,剪中有拉剪中有拉;（2 2 2 2）不不 仅仅 横横 截截 面面 上上 存存 在在 应应 力力,斜斜 截截 面面 上上 也也 存存 在在 应应 力力;（3 3 3 3）同一面上不同点的应力各不相同）同一面上不同点的应力各不相同;（4 4 4 4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同 3.3.3.3.重要结论重要结论哪一点？哪一点？哪个方向面？哪个方向面？应应 力力哪一个面上？哪一个面上？哪一点？哪一点？4.4.4.4.一点的应力状态一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状称之为这一点的应力状态态,亦指该点的应力全貌亦指该点的应力全貌.第4页/共128页二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法 1.1.单元体单元体 （2 2）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等 2.2.单元体特征单元体特征 3 3.主单元体主单元体主单元体主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体 （1 1）单元体的尺寸无限小）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1A第5页/共128页 4 4.主平面主平面主平面主平面 单元体的三个相互垂直的面都单元体的三个相互垂直的面都 无切应力，无切应力，即切应力为零的截面。即切应力为零的截面。5 5.主应力主应力主应力主应力 主平面上的正应力主平面上的正应力 说明说明:一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面三个相互垂直的面均为主平面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为 1 1,2 2,3 3 且规定按且规定按代数代数值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列,即即 1 1 2 2 3 3第6页/共128页 三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类 1.1.空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态 三个主应力三个主应力 1 1,2 2,3 3 均不等于零均不等于零2.2.平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态 三个主应力三个主应力 1 1,2 2,3 3 中有两个不等于零中有两个不等于零3.3.单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态 三个主应力三个主应力 1 1,2 2,3 3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1第7页/共128页例题例题 1 1 画出如图所示梁画出如图所示梁S S截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体.5 54 43 32 21 1Fl/2l/2Fl/2l/2S平面平面第8页/共128页S S平面平面25 54 43 32 21 15 54 43 32 21 11 x x1 1 x x1 1 x x2 2 x x2 2 2 2 2 23 3 3 3 3第9页/共128页（1 1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F F 7-2 二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例1 二向应力状态的实例mmmmn nn nABCDp第10页/共128页Dyz pD D n nn n 薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积 7-2 二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例1 二向应力状态的实例第11页/共128页直径平面直径平面（2 2）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象p yFNFNd 第12页/共128页2 三向应力状态的实例l 滚珠轴承第13页/共128页例题例题2 2 圆球形容器的壁厚为圆球形容器的壁厚为 ，内径为，内径为D,D,D,D,内压强为内压强为p p p p。试求容器壁内某单元体的应力。试求容器壁内某单元体的应力。F容器截面上的内力为解:用包含直径的平面把容器分成两个半球,如图半球上内压力的合力为F，等于半球在直径平面上的投影面积 与 的乘积，即第14页/共128页平衡方程求得对于球形容器受力具有对称性分布特点，所以包含直径的任意截面上都无切应力，正应力都应为 。省略半径方向的应力，则有二向应力状态第15页/共128页平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有单元体上有 x x,xyxy 和和 y y,yxyx7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-解析法解析法x x xyz y y xyxy yxyx x x y y xyxy yxyx二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确定通过这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。定通过这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。第16页/共128页7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-解析法解析法x x xyz y y xyxy yxyx x x y y xyxy yxyx符号规定：正应力以拉应力为正，压应力为负；符号规定：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内任意的的矩顺时针为正，逆时针为负。切应力对单元体内任意的的矩顺时针为正，逆时针为负。第17页/共128页一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力1.1.1.1.截面法截面法截面法截面法 假想地沿斜截面假想地沿斜截面 e e-f f 将单元体截开将单元体截开,留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元 eaf eaf 作为研究对象作为研究对象xya x x x x yxyx xyxye ef fef fa x x xyxy yxyx y y n n 第18页/共128页xya x x x x yxyx xyxye ef f n n （1 1 1 1）由）由x x轴转到外法线轴转到外法线n n,逆时针转向时逆时针转向时 为正为正 （2 2 2 2）正应力）正应力仍规定仍规定拉应力拉应力 为正为正 （3 3 3 3）切应力）切应力对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩,顺时针转顺时针转 为正为正2.2.2.2.符号的确定符号的确定符号的确定符号的确定ef fa x x xyxy yxyx y y n n t t第19页/共128页 设斜截面的面积为设斜截面的面积为d dA A,a a-e e的的面积为面积为d dA Acoscos ,a a-f f 的的面积为面积为d dA Asinsin ef fa x x xyxy yxyx y y n n ef fa d dA Ad dA Asinsin d dA Acoscos 3.3.3.3.任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力 对研究对象列对研究对象列 n n和和 t t 方向的方向的平衡方程得平衡方程得t t第20页/共128页化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得不难看出：不难看出：1 1、斜截面上的正应力和切应力都随、斜截面上的正应力和切应力都随角变化角变化即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数2、第21页/共128页二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位1.1.1.1.最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位令令 0 0 0 0 和和 0 0 0 0+90+90+90+90确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力一个是最大正应力所在的平面所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面.第22页/共128页2.2.2.2.最大正应力最大正应力最大正应力最大正应力 将将 0 0 0 0和和 0 0+90+90代入公式代入公式 得到得到 maxmax和和 minmin (主应力）主应力）下面还必须进一步判断下面还必须进一步判断 0 0是是 x x与哪一个主应力间的夹角与哪一个主应力间的夹角第23页/共128页 （1 1 1 1）当）当 x x y y 时时,0 0 是是 x x与与 maxmax之间的夹角之间的夹角 （2 2）当当 x x y y 时时,0 0 是是 x x与与 minmin之间的夹角之间的夹角 （3 3）当当 x x=y y 时时,0 0 =45,=45,=45,=45,主应力的方向可由单元体上切应主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下 若约定若约定|0 0|45 45即即 0 0 取值在取值在4545范围内范围内第24页/共128页二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位1.1.1.1.最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位 令令 1 1 1 1 和和 1 1 1 1+9090确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力一个是最大切应力所在的平面所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面.第25页/共128页2.2.2.2.最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力 将将 1 1 1 1和和 1 1+90+90代入公式代入公式 得到得到 maxmax和和 minmin 比较比较和和可见可见第26页/共128页例题例题4 4 4 4 简支梁如图所示简支梁如图所示.已知已知 mm-mm 截面上截面上A A点的弯曲正应力和点的弯曲正应力和切应力分别为切应力分别为 =-70=-70=-70=-70MPaMPa,=50=50=50=50MPa.MPa.确定确定A A点的主应力及主平面点的主应力及主平面的方位的方位.A mmmmal A 解：解：把从把从A A点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图第27页/共128页因为因为 x x y y ，所以，所以 0 0 0 0=27.527.5与与 minmin对应对应xA A 0 0 0 0 1 1 3 3 1 1 3 3第28页/共128页 x x y y xyxy例题例题5 5 图示单元体图示单元体,已知已知 x x =-40=-40=-40=-40MPaMPa,y y =60=60=60=60MPaMPa,xyxy=-=-=-=-50MPa50MPa.试求试求e e-f f截面上的应力情截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位况及主应力和主单元体的方位.n3030ef解解:（1 1 1 1）求求 e e-f f 截面上的应力截面上的应力第29页/共128页（2 2 2 2）求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位因为因为 x x 0 0例题例题6 6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xyxy所以所以 0 0 0 0=-=-=-=-45454545与与 maxmax 对应对应45 （2 2）求主应力）求主应力 1 1=,2 2=0,=0,3 3=-=-1 3 3第31页/共128页 7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-图解法图解法一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆 将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去然后相加便可消去 ,得得第32页/共128页 因为因为 x x,y y,xy xy 皆为已知量皆为已知量,所以上式是一个以所以上式是一个以 ,为变量的为变量的圆周方程圆周方程.当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时,其上的应力其上的应力 ,在在 -直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.1.圆心的坐标圆心的坐标 2.2.圆的半径圆的半径 此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆应力圆应力圆,或称为或称为莫尔圆莫尔圆莫尔圆莫尔圆第33页/共128页 （1 1）建）建 -坐标系坐标系,选定比例尺选定比例尺 二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法（The method for drawing a stress circleThe method for drawing a stress circle）1.1.1.1.步骤步骤步骤步骤（StepsSteps）xy x x x x yxyx xyxy y y y y第34页/共128页D xyO （2 2）量取）量取OA=OA=x xADAD =xyxy得得D D点点xy x x x x yxyx xyxy xAOB=OB=y y （3 3）量取）量取BD=BD=yxyx得得DD点点 yB B yxD （4 4）连接）连接 DDDD两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于C C 点点 （5 5）以）以C C为圆心为圆心,CDCD 为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的应力圆应力圆C C第35页/共128页 （1 1）该圆的圆心）该圆的圆心C C点到点到 坐坐标原点的标原点的 距离为距离为 （2 2）该圆半径为）该圆半径为D xyO xA yB B yxDC C2.2.2.2.证明证明证明证明(Prove)(Prove)第36页/共128页三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用 1.1.1.1.求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力 从应力圆的半径从应力圆的半径 CD CD 按方位角按方位角 的转向转动的转向转动2 2 得到半径得到半径CE.CE.圆周上圆周上 E E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力 .D xyO xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n第37页/共128页 证明：证明：第38页/共128页 （1 1）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力,必对应于必对应于应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标.说说 明明AB （2 2）夹角关系）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致两者的转向一致.2 2 O OC CB BA第39页/共128页2.2.2.2.求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置 （1 1 1 1）主应力数值）主应力数值 A A1 1 和和 B B1 1 两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点,其横坐标其横坐标 为主应力为主应力 1 1,2 2 1 1 2D xyO xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 B1A1第40页/共128页2 2 0 0D xyO xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1（2 2）主平面方位）主平面方位）主平面方位）主平面方位 由由 CDCD顺时针转顺时针转 2 2 0 0 到到CACA1 1 所以单元体上从所以单元体上从 x x 轴顺时轴顺时针转针转 0 0（负值）即负值）即到到 1 1对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线 0 0 确定后确定后,1 1 对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定第41页/共128页3.3.3.3.求最大切应力求最大切应力求最大切应力求最大切应力 G G1 1和和G G两点的纵坐标分别代两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力表最大和最小切应力 2 2 0 0D xyO xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1G1G2 因为因为最大、最小切应力等于应力圆的半径最大、最小切应力等于应力圆的半径第42页/共128页 O O例题例题7 7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x x =-1MPa,=-1MPa,y y =-0.4MPa,=-0.4MPa,xyxy=-0.2MPa,=-0.2MPa,yxyx =0.2MPa,=0.2MPa,（1 1）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆 （2 2）确定此单元体在）确定此单元体在 =30=30和和 =-40=-40两斜面上的应力两斜面上的应力.x x y y xyxy解解:（1 1）画应力圆画应力圆 量取量取OAOA=x x=-1,=-1,ADAD =xyxy=-0.2,=-0.2,定出定出 D D点点;ACB OB OB =y y=-0.4=-0.4和，和，BDBD =yxyx=0.2,=0.2,定出定出 D D 点点.(-1,-0.2)DD(-0.4,0.2)以以DDDD 为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆.第43页/共128页 将半径将半径 CDCD 逆时针转动逆时针转动 2 2 =60=60到半径到半径 CE,ECE,E 点的坐标就代点的坐标就代表表 =30=30斜截面上的应力。斜截面上的应力。（2 2）确定）确定 =30=30斜截面上的应力斜截面上的应力E E6060（3 3）确定）确定 =-40=-40斜截面上的应力斜截面上的应力 将半径将半径 CDCD顺时针转顺时针转 2 2 =80=80到半径到半径 CF,FCF,F 点的坐标就代表点的坐标就代表 =-40=-40斜截面上的应力斜截面上的应力.F F8080ADC BO OD 3030 4040 4040 3030 3030=-0.36MPa=-0.36MPa 3030=-0.68MPa-0.68MPa 4040=-0.26MPa=-0.26MPa -40-40=-0.95MPa-0.95MPa第44页/共128页例题例题8 8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面梁的横截面尺寸示于图中尺寸示于图中.试绘出截面试绘出截面C C上上a,ba,b两点处的应力圆两点处的应力圆,并用应力圆求并用应力圆求出这两点处的主应力出这两点处的主应力.12015152709za ab b250kN1.6m2mABC第45页/共128页+200kN50kN+80kNm解解:（1 1）首先计算支反力）首先计算支反力,并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图 M Mmax max=MMC C =80 kN=80 kN mm F FSmax Smax=F FC C左左 =200 kN=200 kN250KN1.6m2mABC第46页/共128页12015152709za ab b（2 2）横截面）横截面 C C上上a a 点的应力为点的应力为 a a点的单元体如图所示点的单元体如图所示a x x x x xyxy yxyx第47页/共128页 由由 x x,xyxy 定出定出D D 点点由由 y y,yxyx 定出定出DD点点 以以DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆O O C（3 3）做应力圆）做应力圆 x x=122.5MPa122.5MPa,xyxy =64.6MPa64.6MPa y y=0,0,xyxy =-=-64.6MPa64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)DDA1 1 1 3 3A2 A A1 1,A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表表 a a 点的两个主应力点的两个主应力 1 1 和和 3 3 A A1 1 点对应于单元体上点对应于单元体上 1 1所所在的主平面在的主平面第48页/共128页 a x x x x xyxy yxyx 0 0 1 1 3 312015152709za ab b（4 4）横截面）横截面 C C上上b b点的应力点的应力 b b点的单元体如图所示点的单元体如图所示b x x x x第49页/共128页 b b 点的三个主应力为点的三个主应力为 1 1所在的主平面就是所在的主平面就是 x x 平面平面,即梁即梁的横截面的横截面C Cb x x x x(136.5,0)D(0,0)DD 1 1第50页/共128页 已知已知受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主应力应力 1 1,2 2,3 3 利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力力和最大切应力.一、一、一、一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力7-4 三向应力状态分析三向应力状态分析 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1第51页/共128页 1 3 首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平面面 （例如主应力（例如主应力 3 3 所在的平所在的平面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法用截面法,沿求应力的沿求应力的截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象 2 1第52页/共128页 主应力主应力 3 3 所在的两平面上是一所在的两平面上是一对自相平衡的力对自相平衡的力,因而该斜面上的应因而该斜面上的应力力 ,与与 3 3 无关无关,只由主应力只由主应力 1 1,2 2 决定决定 与与 3 3 垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可由由 1 1 ,2 2 作出的应力圆上的点来表作出的应力圆上的点来表示示 1 2 3 3 2 1第53页/共128页 该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于与与 3 3 垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上的应力的应力 A 1 O 2B 与主应力与主应力 2 2 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 ,可用由可用由 1 1,3 3作出的应力圆作出的应力圆上的点来表示上的点来表示C 3 与主应力与主应力 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 ,可用由可用由 2 2,3 3作出的应作出的应力圆上的点来表示力圆上的点来表示第54页/共128页 该截面上应力该截面上应力 和和 对应的对应的D D点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内围成的阴影内 abc abc 截面表示与三个主平截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面a ab bc c 1 2 1 2 3第55页/共128页 A 1 O 2BC 3结论结论结论结论 三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上的应力的应力 该点处的最大正应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大应力圆上应力圆上A A点的横坐标点的横坐标 1 1第56页/共128页 A 1 O 2BC 3 最大切应力则等于最最大切应力则等于最大的应力圆的半径大的应力圆的半径 最大切应力所在的最大切应力所在的截面与截面与 2 2 所在的主平面所在的主平面垂直垂直,并与并与 1 1和和 3 3所在的所在的主平面成主平面成4545角角.第57页/共128页例题例题9 9 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示,作应力圆作应力圆,并求出主应力和最大并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位切应力值及其作用面方位.解解:该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力面上的应力与主应力 z z 无关无关,依据依据 x x截面和截面和y y 截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力圆圆.求另外两个求另外两个主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa第58页/共128页 由由 x x,xyxy 定出定出 D D 点点由由 y y,yxyx 定出定出 DD 点点 以以 DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆 A A1 1,A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表另外两个主应力表另外两个主应力 1 1 和和 3 3 A1A2DD O D DC 1 3 1 1=46MPa46MPa 3 3=-26MPa-26MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力 1 1=46MPa46MPa 2 2=20MPa20MPa 3 3=-26MPa-26MPa 根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应力圆力圆第59页/共128页 7-5 平面应变状态分析平面应变状态分析 平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量 x x ,y y ,x xy y ，欲求，欲求 方方向上的线应变向上的线应变 和切应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何条件,分别分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量找出微单元体（长方形）由于已知应变分量 x x,y y,xyxy在此方向在此方向上引起的线应变及切应变上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理再利用叠加原理.一、任意方向的应变一、任意方向的应变一、任意方向的应变一、任意方向的应变 在所研究的在所研究的O O点处点处,O Oxy xy 坐标系内的坐标系内的线应变线应变 x x ,y y,xyxy 为已知为已知.求该点沿任意方求该点沿任意方向的线应变向的线应变 .yx xO第60页/共128页 将将O Oxyxy 坐标绕坐标绕O O点旋转一个点旋转一个 角，得到一个新角，得到一个新 OxOx y y坐标系坐标系.xyO yx并规定并规定 角以逆时针转动时为角以逆时针转动时为正值，反之为负值正值，反之为负值.为为 O O 点沿点沿 xx方向的线变方向的线变 为为直角直角 x x OyOy 的改变量的改变量,即切应变即切应变.假设假设:（1 1）O O点处沿任意方向的微点处沿任意方向的微段内段内,应变是均匀的应变是均匀的;（2 2）变形在线弹性范围内都是微小的）变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立叠加原理成立;分别计算分别计算 x x,y y,xyxy单独存在时的线应变单独存在时的线应变 和切应变和切应变 ,然然后叠加得这些应变分量同时存在时的后叠加得这些应变分量同时存在时的 和和 .第61页/共128页1.1.1.1.推导线应变推导线应变推导线应变推导线应变 从从O O点沿点沿 x x 方向取出一微段方向取出一微段 OPOP=d dx x,并以它作为矩形并以它作为矩形 OAPBOAPB 的对角线的对角线.该矩形的两边长分别为该矩形的两边长分别为 d dx x 和和 d dy yxyO yxP PABdxdydx第62页/共128页（1 1）只有正值）只有正值 x x 存在存在ABdxdyxyOyxP P 假设假设OBOB边不动边不动,矩形矩形OAPBOAPB 变形后成为变形后成为OAOA P P B B x xd dx x D的伸长量的伸长量为为 O O点沿点沿 x x 方向的线应变方向的线应变 1 1 为为 AP第63页/共128页（2 2）只有正值）只有正值 y y存在存在ABdxdyxyOyxP P 假设假设 OAOA 边不动边不动 矩形矩形 OAPBOAPB 变形后为变形后为 OAPOAP B B 的伸长量为的伸长量为 D O O点沿点沿 x x 方向的线应变方向的线应变 2 2 为为 y yd dy yPB 第64页/共128页（3 3）只有正值切应变）只有正值切应变 xyxy存在存在ABdxdyxyOyxP P 使直角减小的使直角减小的 为正为正 假设假设 OAOA 边不动边不动 矩形矩形 OAPBOAPB 变形后为变形后为 OAPOAP B B P PB B xyxyd dy y xyxy 的伸长为的伸长为 D D O O 点沿点沿 xx方向的线应变为方向的线应变为第65页/共128页 根据叠加原理根据叠加原理,x x,y y 和和 xyxy 同时存在时同时存在时,O O点沿点沿 x x 方向的线应方向的线应变为变为2.2.2.2.切应变切应变切应变切应变 以上两式利用三角函数化简得到以上两式利用三角函数化简得到第66页/共128页二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位第67页/共128页一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律 （1 1）正应力正应力:拉应力为正拉应力为正,压应力为负压应力为负1.1.1.1.符号规定符号规定符号规定符号规定 （2 2）切应力切应力:对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针若产生的矩为顺时针,则则 为正为正;反之为负反之为负 （3 3）线应变线应变:以伸长为正以伸长为正,缩短为负缩短为负;（4 4）切应变切应变:使直角减者为正使直角减者为正,增大增大者为负者为负.x x x 7-6 广义广义胡胡克定律克定律 yz y y xyxy yxyx z第68页/共128页 y y y y x x 方向的线应变方向的线应变 用叠加原理用叠加原理,分别计算出分别计算出 x x,y y,z z 分别单独存在时分别单独存在时,x,x,y y,z z方向方向的线应变的线应变 x x,y y,z z,然后代数相加然后代数相加.2.2.2.2.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律（Generalized Hookes law for isotropic materialsGeneralized Hookes law for isotropic materials）单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时 单独存在时单独存在时xy yz z z z x x x x第69页/共128页 在在 x x ,y y ,z z同时存在时同时存在时,x x 方向的线应变方向的线应变 x x为为 同理同理,在在 x x,y y ,z z同时存在时同时存在时,y,zy,z 方向的线应变为方向的线应变为 在在 xyxy,yzyz,zx zx 三个面内的切应变为三个面内的切应变为第70页/共128页上式称为上式称为广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律（Generalized Hookes lawGeneralized Hookes law）沿沿x,y,zx,y,z轴的线应变轴的线应变 在在xy,yz,zxxy,yz,zx面上的角应变面上的角应变第71页/共128页 对于对于平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态（in plane stress-statein plane stress-state）（假设假设 z z =0,=0,=0,=0,xzxz=0,=0,=0,=0,yzyz=0=0=0=0）xyz xy x y yx x y xy yx第72页/共128页3.3.3.3.主应力主应力主应力主应力-主应变的关系主应变的关系主应变的关系主应变的关系（Principal stress-principal strain Principal stress-principal strain relationrelation）二向应力状态下二向应力状态下二向应力状态下二向应力状态下(in plane stress-state)(in plane stress-state)设设 3 3=0=0 已知已知 1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3;1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3为主应变为主应变第73页/共128页二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strainThe volumetric strain for isotropic materialsfor isotropic materials）1 2 3a a1a a2a a3 构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用称为体积应变用q q q q表示表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变各向同性材料在三向应力状态下的体应变 如图所示的单元体如图所示的单元体,三个边长为三个边长为 d dx x ,d,dy y ,d,dz z 变形后的边长分别为变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为d dx x(1+(1+,d dy y(1+(1+2 2 ,d dz z(1+(1+3 3 V V1 1=d dx x(1+(1+d dy y(1+(1+2 2 d dz z(1+(1+3 3 第74页/共128页 体积应变体积应变体积应变体积应变（volumetric strainvolumetric strain）为为第75页/共128页1.1.1.1.纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变（Volumetric strain for pure Volumetric strain for pure shearing stress-stateshearing stress-state）即在小变形下即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.2.2.2.三向等值应力单元体的体积应变三向等值应力单元体的体积应变三向等值应力单元体的体积应变三向等值应力单元体的体积应变（The volumetric strainThe volumetric strain of of triaxial-equal stress element bodytriaxial-equal stress element body）三个主应力为三个主应力为 单元体的体积应变单元体的体积应变 m m m第76页/共128页 这两个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同 m m m 1 2 3dxdydz 单元体的三个主应变为单元体的三个主应变为第77页/共128页 如果变形前单元体的三个棱边成某种比例如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变由于三个棱边应变相同相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等所以在三向等值应力值应力 mm的作用下的作用下,单元体变形后的单元体变形后的形状和形状和变形前变形前的的相相似似,称这样称这样的的单元体单元体是形状不变的是形状不变的.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变变 x x ,y y,z z 有关有