中学数学概念的教学.pptx

课外补充总总体体结结构构图图第1页/共34页中学数学概念的教学中学数学概念的教学一、什么是概念二、概念的内涵和外延三、概念间的关系四、概念的定义五、概念的划分六、数学概念的教学第2页/共34页数学概念的意义数学概念的意义反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。“属性”与“本质属性”；概念及其名称和符号数学概念产生和发展的途径数学概念产生和发展的途径 （1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；数量关系和空数量关系和空间形式间形式第3页/共34页什么是概念什么是概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细胞。第4页/共34页概念的内涵和外延概念的内涵和外延概念的内涵和外延概念的内涵和外延概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。有属性、本质属性。概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和。和。例例：“ABCABCABCABC的顶点的顶点的顶点的顶点”内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；形两边之上这个性质；形两边之上这个性质；形两边之上这个性质；外延是指外延是指外延是指外延是指 A A A A、B B B B、C C C C三点的集合。三点的集合。三点的集合。三点的集合。注：注：（1 1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。中的内涵和外延均不同。（2 2）概念的内涵和外延是发展的）概念的内涵和外延是发展的第5页/共34页概念间的关系（概念外延间的同异关系）概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系、相容关系（1）同一关系（全同关系或重合关系）同一关系（全同关系或重合关系）外延完全重合，内涵可以不同。外延完全重合，内涵可以不同。例如例如：数数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数是扩大的自然数集中最小的数，又是正数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数的差等；的差等；等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。都是同一条线段，而内涵也各不相同。注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。第6页/共34页 （2）从属关系）从属关系如果甲概念的外延如果甲概念的外延A真包含真包含乙概念的外延乙概念的外延B，如下，如下图所示，那么，这两个概念具有图所示，那么，这两个概念具有从属关系从属关系。其中，外延较其中，外延较其中，外延较其中，外延较大大大大的那个概念叫做的那个概念叫做的那个概念叫做的那个概念叫做属概念属概念属概念属概念，外延较，外延较，外延较，外延较小小小小的那个概念叫做的那个概念叫做的那个概念叫做的那个概念叫做种概念种概念种概念种概念。这两个概念的外延这两个概念的外延A和和B的关系可以写成的关系可以写成注：内涵和外延的反比关系正方形内涵 矩形内涵 平行四边形内涵 四边形内涵正方形外延 矩形外延 平行四边形外延四边形外延第7页/共34页（3）交叉关系）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有这两个概念具有交叉关系交叉关系或者叫做部分重合关系，或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合两个概念的外延分别是集合A和集合和集合B，如果，如果是非空集合，那么这两个概念具有是非空集合，那么这两个概念具有交叉交叉关系。关系。例：例：（1 1）整数和整数）整数和整数（2 2）等腰三角形和直角三角形）等腰三角形和直角三角形第8页/共34页（4）不相容关系（全异关系）不相容关系（全异关系）如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有关系，那么这两个概念具有全异关系全异关系，这种关系，这种关系又叫做又叫做“拳异关系拳异关系”或或“排斥关系排斥关系”。全异关系又分为全异关系又分为反对关系反对关系和和矛盾关系矛盾关系。矛盾关系反对关系第9页/共34页概念的定义概念的定义（1）定义的结构）定义的结构把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。定义是揭示概念内涵的逻辑方法。即，通过指出概念所反映的事物的本质来明确概念的逻辑方法。第10页/共34页数学中常用的几种定义方式（1）属概念加种差的定义方式四边形+两组对边分别平行=平行四边形发生定义方式在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。关系定义法：是以事物间的关系作为“种差”的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。例如“能被2整除的整数叫偶数”，这是一个关于偶数的关系定义；概念的定义和原始概念是以被定义概念所反映对象发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法。第11页/共34页（4）外延定义。外延定义是通过列举概念的全部对）外延定义。外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。例如，有理数的定义：正整数、负整象来下的定义。例如，有理数的定义：正整数、负整数、正分数、负分数和零统称有理数。数、正分数、负分数和零统称有理数。（5）约定式定义。约定式定义是依据数学上的某）约定式定义。约定式定义是依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。例如，例如，“零指数零指数”的概念规定为：的概念规定为：。（6）递归定义。）递归定义。课外补充第12页/共34页递归定义是数理逻辑和计算机科学用到的一种定义方式，使用被定义对象的自身来为其下定义。递归定义与归纳定义类似，但也有不同之处。递归定义中使用被定义对象自身来定义，而归纳定义是使用被定义对象的已经定义的部分来定义尚未定义的部分。不过，使用递归定义的函数或集合，它们的性质可以用数学归纳法，通过递归定义的内容来证明。定义方式：大部分的递归定义都由三个部分构成：基本情况的定义，递归法则和递归结束的情况。如果定义的对象是无限的，那么可以省略第三个部分（递归结束的情况）。比如说，可以用递归定义的方式来定义如下的一个自然数集上的函数。第13页/共34页下定义的基本要求下定义的基本要求（1）定义应当相称）定义应当相称无理数：有理数开不尽的方根。无理数：有理数开不尽的方根。平行线：两条不相交的直线。平行线：两条不相交的直线。（2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）（3）定义应当简明）定义应当简明两组对边平行的平面四边形是两组对边平行的平面四边形是平行四边形平行四边形。四个角都是直角的平行四边形叫做四个角都是直角的平行四边形叫做矩形矩形。（4）定义）定义一般一般不用否定形式不用否定形式不是有理数的数是无理数。不是有理数的数是无理数。第14页/共34页原始概念原始概念按定义规则的基本要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。指明对象的方法来明确。“针尖刺木板针尖刺木板”的痕迹引入的痕迹引入“点点”、用、用“拉拉紧的绳紧的绳”或或“小孔中射入的光线小孔中射入的光线”来引入来引入“直直线线”的方法是的方法是直观说明直观说明法，法，“1，2，3，叫叫做做自然数自然数”是是指明对象指明对象法。法。第15页/共34页概念的划分和分类概念的划分和分类把一个属概念分为若干个不相容种概念把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法叫做概念的划分。的逻辑方法叫做概念的划分。概念的分类是划分的特殊形式，是根据概概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。概念分类的要求：概念分类的要求：i）分类应是相称的）分类应是相称的ii）每次分类都应按照同一个根据进行）每次分类都应按照同一个根据进行iii）分类不应越级）分类不应越级第16页/共34页下面这些三角形让我们给它们分分下面这些三角形让我们给它们分分类，怎样分？类，怎样分？（1）划分的基本方法第17页/共34页腰腰腰腰底底等腰三角形等腰三角形顶角顶角底角底角底角底角第18页/共34页三边都相等三边都相等边边边边边边等边三角形等边三角形（正三角形）（正三角形）第19页/共34页按边分类按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形第20页/共34页你还记得它们的名字吗？你还记得它们的名字吗？锐角锐角直角直角钝角钝角小于小于90等于等于90大于大于9090而小于而小于180180第21页/共34页锐角三角形锐角三角形直角直角三角形三角形钝角钝角三角形三角形三三角形角形按角分类按角分类第22页/共34页（1）划分的基本方法划分的基本方法划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。一次划分：只包括母项和子项两个层次的划分称为一次一次划分：只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。划分。在划分一次以后已达到划分的目的，不需要再继续划分，在划分一次以后已达到划分的目的，不需要再继续划分，这时就用一次划分。这时就用一次划分。连续划分：包括母项和子项三个层次以上的划分，即把连续划分：包括母项和子项三个层次以上的划分，即把一次划分得出的子项作为母项，继续划分子项，直到满足一次划分得出的子项作为母项，继续划分子项，直到满足需要为止需要为止。第23页/共34页二分法二分法二分法是一种常用的分类方法，是把一个概二分法是一种常用的分类方法，是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类换言把不具有这个属性的对象作为另一类换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念之，是把属概念分成两个矛盾的种概念例如，用二分法对复数划分。例如，用二分法对复数划分。思考其优缺点是什么？第24页/共34页二分法的缺陷：二分法的缺陷：在两个子项中，负概念的外延不明确。在两个子项中，负概念的外延不明确。例如：政党可分为工人阶级政党和非工人例如：政党可分为工人阶级政党和非工人阶级政党。阶级政党。这其中，这其中，“非工人阶级政党非工人阶级政党”究竟是什么政党，究竟是什么政党，其状况和数量怎样，就不明确了，这里只确其状况和数量怎样，就不明确了，这里只确定了定了“工人阶级政党工人阶级政党”这个概念。这个概念。二分法的优点：二分法的优点：第一、便于把注意力集中到应该注意的第一、便于把注意力集中到应该注意的那部分上去。那部分上去。第二、二分法总是符合划分的规则。第二、二分法总是符合划分的规则。第25页/共34页六、数学概念教学（1）注重从多角度揭示概念的内涵）注重从多角度揭示概念的内涵在数学教学中，教师应当从多种背景、多重层次、多个侧面、多维结构去揭示概念的内涵，使学生明确概念的本质属性。在多种背景下揭示概念的内涵在多种背景下揭示概念的内涵在多重层次中揭示概念的内涵在多重层次中揭示概念的内涵从不同侧面揭示概念的内涵从不同侧面揭示概念的内涵在不同结构中揭示概念的内涵在不同结构中揭示概念的内涵第26页/共34页数学概念的教学设计数学概念是数学学科的基本内容，如果一个人不掌握数学概念，那么他的数学能力将难以得到发展.从理解学习的角度来看，掌握数学概念不在于能否简单地用语言将数学概念表述出来，而是真正理解概念的内涵和外延，表现为能对数学对象进行识别和归类。在数学概念学习的过程中，用自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解称为概念的表征。现代人只心理学的研究表明。概念表征主要有样例表征和语义表征两种形式。样例表征是指学习者通过各种样例来逐渐归纳出事物的定义特征。如学生通过各种各样棱锥的样例，发现“棱锥”在大小、颜色和形状等方面虽然有所不同，但所有的棱锥都是由多边形索围成的几何体，其中一个面试多边形，其余各个面是具有公共顶点的三角形。一般而言，样例表征形式下的概念与对数学对象的知觉或表象有关。大量的研究表明：样例表征的概念具有不稳定性，易受样例外在特征的影响.第27页/共34页语义表征是指学习者通过语义的理解而获得概念的内在本质属性。语义表征可以使认识主体克服认识事物受表面知觉影响的局限，而更关注事物的本质。在语义表征形式中，常用的有因果关系和逻辑关系的表征.如方程概念可以表征为等式的种概念，即为具有未指数的等式.。第28页/共34页（2）形成概念体系）形成概念体系数学是一门演绎科学，中学数学基本上也是数学是一门演绎科学，中学数学基本上也是一个演绎体系，数学根据概念和定理的互相一个演绎体系，数学根据概念和定理的互相联系而构成数学知识体系，掌握概念体系是联系而构成数学知识体系，掌握概念体系是掌握整个演绎理论的必要条件因此，在数掌握整个演绎理论的必要条件因此，在数学教学中，不仅应当掌握单个概念，而且还学教学中，不仅应当掌握单个概念，而且还应当掌握每个具体课题乃至整个数学课程的应当掌握每个具体课题乃至整个数学课程的完整的概念体系完整的概念体系第29页/共34页概念的运用和深化概念的运用和深化（1）复述定义，指出对象）复述定义，指出对象（2）初步应用（用概念解答问题）初步应用（用概念解答问题）（3）在发展中巩固）在发展中巩固第30页/共34页教学过程中要注意：教学过程中要注意：（1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习的，所以应注意出发来学习的，所以应注意及时利用实例及时利用实例，使抽象概念获得具体例证的支持；使抽象概念获得具体例证的支持；（2）学习中必须经过）学习中必须经过概念分类概念分类这一步，使学这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解；生从外延角度进一步对概念进行理解；（3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的的智力动作智力动作，以防止出现知道概念的定义而，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它用于解题的情况；不知如何将它用于解题的情况；第31页/共34页（4）为学生及时提供应用概念进行）为学生及时提供应用概念进行推推理理、论证论证的机会，在应用中强化概念，的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况；不深刻的情况；（5）一定要将所学概念）一定要将所学概念纳入纳入到到已有认已有认知结构知结构中，形成概念系统中，形成概念系统。第32页/共34页数学概念及教学设计中应注意的几个问题数学概念及教学设计中应注意的几个问题1、应注意具体问题情境的设计应注意具体问题情境的设计.2、应注意使学生熟悉概念的各种变式、应注意使学生熟悉概念的各种变式3、在数学概念的教学中，要注意正例和反例的使用、在数学概念的教学中，要注意正例和反例的使用4、数学概念的教学必须使学生能够应用数学概念的名称和符、数学概念的教学必须使学生能够应用数学概念的名称和符号。号。5、联系现实原型，对概念作唯物的解释、联系现实原型，对概念作唯物的解释6、抓住事物本质，对概念作辩证的分析、抓住事物本质，对概念作辩证的分析7、在实践中运用概念，在运用中巩固概念、在实践中运用概念，在运用中巩固概念第33页/共34页感谢您的观看！第34页/共34页