公因数与最大公因数.pptx
复习复习把把 1818、30 30 分解素因数分解素因数18293318 2 3 3302153530 2 3 5解：第1页/共28页思考老师带领老师带领24名女生和名女生和32名男生到公园植树，老师想名男生到公园植树，老师想把学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中的把学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中的男生人数都相等，男生人数都相等，问问56名同学最多能分成几组？名同学最多能分成几组？分析分析:分成的组数能整除分成的组数能整除2424和和32,32,也就是也就是2424和和3232的因数的因数.第2页/共28页几个数公有的因数，叫做几个数几个数公有的因数，叫做几个数的的公因数公因数；其中最大的一个，叫做；其中最大的一个，叫做这几个数的这几个数的最大公因数最大公因数 第3页/共28页?2424和和3232各有哪些公因数呢？最大的公因数是多少？各有哪些公因数呢？最大的公因数是多少？2424的因数的因数：1 2 3 4 6 8 12、243232的因数的因数：1 2 4 8 16 321 1、2 2、4 4、8 8是是2424和和3232的公因数的公因数 8 8是是2424和和3232的最大公因数的最大公因数答：答：老师最多可以把这些学生分成老师最多可以把这些学生分成8 8组组,每组分别有男生每组分别有男生4 4名和女生名和女生3 3名。名。解解：第4页/共28页 2424的因数：的因数：1 2 3 4 6 8 12 241 2 3 4 6 8 12 243232的因数：的因数：1 2 4 8 16 321 2 4 8 16 3224和和32公有的因数有：公有的因数有：1、2、4、824的因数的因数32的因数的因数24和和32的公因数的公因数3、6、12、2416、321、24、8第5页/共28页例例18 8和和1212各有哪些因数，它们的公因数有哪几个？各有哪些因数，它们的公因数有哪几个？最大公因数是多少？最大公因数是多少？8 8的因数的因数：1 2 4 8 1212的因数的因数：1 2 3 4 6 12 8 8和和1212的公因数是的公因数是1 1、2 2、4 48 8和和1212的最大公因数是的最大公因数是4 4。解：解：8的因数12的因数8和12的公因数8和12的最大公因数是（）1、2、4、83 6 124第6页/共28页例例2:2:求求8 8和和9 9的所有公因数的所有公因数,并求它们的最大公因数并求它们的最大公因数.解:8 8的因数有的因数有1,2,4,8;1,2,4,8;9 9的因数有的因数有1,3,91,3,98 8和和9 9只有一个公因数只有一个公因数1,1,因此因此8 8和和9 9的最大公因数是的最大公因数是1 1 思考思考这道题中两个数的公因数和最大公因数这道题中两个数的公因数和最大公因数有什么特点？有什么特点？第7页/共28页思考思考 公因数和最大因公因数都是公因数和最大因公因数都是1 1 如果两个正整数只有公因数如果两个正整数只有公因数1 1，那么称这两个数那么称这两个数互素互素。第8页/共28页讨论讨论素数和互素有什么不同？素数和互素有什么不同？意义不同意义不同素数是对一个数说的一个正整数，如果只有素数是对一个数说的一个正整数，如果只有1 1和它本身和它本身两个因数，这样的数就叫做素数。两个因数，这样的数就叫做素数。如：如：2 2是素数，是素数，3 3是素数是素数互素是对两个数的关系说的如果两个整数只有公因数互素是对两个数的关系说的如果两个整数只有公因数1 1，那么称这两个数互素。那么称这两个数互素。如：如：2 2和和3 3互素互素第9页/共28页口答下列哪组数中口答下列哪组数中 的两个数互素的两个数互素3和和5 6和和9 14和和15 18和和1 5和和9思考：思考：在什么情况下可直接判断两个数是互素？在什么情况下可直接判断两个数是互素？结论：结论：A A、如果两个数是、如果两个数是不同的素数不同的素数,这两个数一定是互这两个数一定是互素数素数.B B、两个、两个相邻的正整数相邻的正整数一定是互素数一定是互素数.D D、两个数中、两个数中一个是素数一个是素数,另一个是合数另一个是合数,且且没有倍没有倍数关系数关系,这两个数一定是互素数这两个数一定是互素数.C.1和其它任何和其它任何正整数正整数第10页/共28页请你根据刚才掌握的知识很快的说出下面请你根据刚才掌握的知识很快的说出下面哪一组数中的两个数是互素数哪一组数中的两个数是互素数:1313和和9191 18 18 和和 252523 23 和和 13137 7 和和 9 94 4 和和 14141 1 和和 5 5第11页/共28页例例1:1:求求18和和30的最大公因数的最大公因数.第12页/共28页例例1:1:求求18和和30的最大公因数的最大公因数.解一解一18的因数有的因数有1,2,3,6,9,18;30的因数有的因数有1,2,3,5,6,10,15,30;18和和30的公因数有的公因数有1,2,3,6.18和和30的最大公因数是的最大公因数是6第13页/共28页解二解二 把把18和和30分别分解素因数分别分解素因数18=2 3 330=2 3 5可以看出可以看出,18和和30全部公有的素因数是全部公有的素因数是2和和3,因此因此2和和3的乘积的乘积6就是就是18和和30的最大公因数的最大公因数 求几个整数的最大公因数求几个整数的最大公因数,只要把它们只要把它们所有公有的素因数连乘所有公有的素因数连乘,所得的积就是它们的所得的积就是它们的最大公因数最大公因数第14页/共28页解三解三为了简便也可以用短除法计算为了简便也可以用短除法计算:18302391535(用公有的素因数用公有的素因数2除除)(用公有的素因数用公有的素因数3除除)(除到除到 两个商互素为止两个商互素为止)18和和30 的最大公因数是的最大公因数是23=6第15页/共28页 1、列举法、列举法2、分解素因数法、分解素因数法3、短除法、短除法 第16页/共28页 1回答问题：什么是公因数？什么是是最大公因数？2说说下面每组中的两个数有什么关系？12和36 4和5第17页/共28页练习练习:求求48和和60 的最大公因数的最大公因数解:48 602224 303121545(用公有的素因数2除)(用公有的素因数2除)(用公有的素因数3除)(除到 两个商互素为止)48和60 的最大公因数是223=12第18页/共28页判断：判断：（1）互素的两个数都是素数。（）互素的两个数都是素数。（）（2）两个素数一定互素。（）两个素数一定互素。（）（3）两个互素的数没有公因数。（）两个互素的数没有公因数。（）（4）两数的最大公因数可以等于两数）两数的最大公因数可以等于两数 中的一个数（中的一个数（）（5）两数最大公因数一定是合数。（）两数最大公因数一定是合数。（）（6）两数最大公因数等于两数全部）两数最大公因数等于两数全部 公有素因数的积。（公有素因数的积。（）第19页/共28页练习：练习：1、因为、因为24=2223，30=235，所以，所以24和和30的最大公因数是的最大公因数是（）2、如、如A=235，B=357，则，则A、B的最大的最大公因数是（公因数是（）3、A=235n，B=237n，A、B的最的最大公因数是大公因数是66，那么，那么n=（）驶向胜利彼岸第20页/共28页 4、我们的教室地面的长是我们的教室地面的长是7.2米米,宽是宽是4.5米米,想想用整块的正方形地砖铺满客厅的地面用整块的正方形地砖铺满客厅的地面,则不能则不能用下列哪种尺寸的地砖用下列哪种尺寸的地砖(单位单位:厘米厘米)()A.6060 B.3030 C.4040 D.5050变式变式:小明家想用尽可能大的地砖小明家想用尽可能大的地砖,最大该最大该用哪种尺寸呢用哪种尺寸呢?第21页/共28页（1）3和和15 的最大公因数（的最大公因数（）（2）18和和36的最大公因数（的最大公因数（）（3）6和和7的最大公因数是（的最大公因数是（）（4）8和和15的最大公因数是（的最大公因数是（）你发现什么规律了吗？什么情况下可直你发现什么规律了吗？什么情况下可直接求出两个数的最大公因数？接求出两个数的最大公因数？A 两个正整数中，如果某个数是另一个两个正整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。最大公因数。B 如果两个数互素，那么它们的最大公如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是因数就是1。第22页/共28页两个数两个数最大公因数最大公因数互素关系互素关系倍数关系倍数关系一般关系一般关系1较小的数较小的数几个公有素因数连乘的积几个公有素因数连乘的积第23页/共28页1 1、当两个数是互素数时，它们的最大公因数是（、当两个数是互素数时，它们的最大公因数是（）2 2、当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是（、当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是（）若若 （a、b都是整数）则都是整数）则a与与b的最大公因的最大公因数是（数是（）巩固练习巩固练习3、第24页/共28页尝试练习 1、求出下列几组数的最大公约数：7和21 8和15 42和14 17和192、m=25，n=311，m和n的最大公因数是（）（A）m （B）n （C）1 第25页/共28页提高：提高：把一块把一块 长为长为200厘米、宽厘米、宽48厘米、厚厘米、厚64厘厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，求正方体的棱长与锯成的块数，可以锯成块，求正方体的棱长与锯成的块数，可以锯成最大的正方体多少块？（不计损耗，不允许有最大的正方体多少块？（不计损耗，不允许有剩余）剩余）第26页/共28页小结小结本节课你有哪些收获？本节课你有哪些收获？第27页/共28页感谢您的观赏第28页/共28页
