向量在平面几何中解题的应用.pptx
一、向量有关知识复习一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件）向量共线的充要条件:与与 共线共线 （2）向量垂直的充要条件：）向量垂直的充要条件：（3）两向量相等充要条件：）两向量相等充要条件：且方向相同。且方向相同。第1页/共21页二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周角是直角例一、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。解：解：设 则 ，由此可得：即 ，ACB=90思考：能否用向量坐标形式证明？思考：能否用向量坐标形式证明？第2页/共21页二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。第3页/共21页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证由此可设如何证？利用ADBC，BECA，对应向量垂直。第4页/共21页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH解：解：设AD与BE交于H，即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。第5页/共21页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDE分析：分析：如图建立坐标系，设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出 、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。再设H(0,m)F(x,y)由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：可得：可得：即 而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点第6页/共21页三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知例二、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设则由此可得即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线第7页/共21页四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图例一、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起，使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64，求求AEM的面积的面积ABCDMNEF第8页/共21页四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图例一、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起，使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64，求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)解得：e=5 即AE=5第9页/共21页四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例二、例二、PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：分析分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA,QO=nOB可知：O分 的比为 ，O分 的比为由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。-m -n?第10页/共21页四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例二、例二、PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：OABGPQ证：证：如图建立坐标系，设所以重心G的坐标为由PO=mOA,QO=nOB可知：即O分 的比为-m，O分 的比为-n 求得由向量 可得：化简得：第11页/共21页例例3 如图，如图，ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别分别与与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC第12页/共21页解：设 则由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线，共线，所以设所以设因为因为 所以所以ABCDEFRT第13页/共21页线线，故故AT=RT=TCABCDEFRT第14页/共21页你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形第15页/共21页第16页/共21页第17页/共21页五、巩固练习：五、巩固练习：1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2：如图：如图O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足求证求证：ABOCABCO第18页/共21页3：已知：已知：A、B、C三点坐标分别为三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线，直线 l 过过A、B两点，求两点，求点点C到到 l 的距离的距离.HOABCxyl分析一分析一：如图如图，为求为求CH长，由长，由CHAHAC可知，关可知，关键在于求出键在于求出AH.由由ACAB的几何意的几何意义，义，ACAB等于等于AB的长度的长度与与AC在在AB方向上的投影的方向上的投影的乘积乘积.所以所以 ACABAHAB.第19页/共21页第20页/共21页感谢您的欣赏第21页/共21页
