陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题.pdf

陕西省西安中学 2020 届高三上学期期末考试 数学（文）试题 一、单选题 1已知集合4AxN x，33Bxx，则AB（）A 1 2，B0,1,2 C3,4 D3,3【答案】B【解析】0123A，33Bxx 0,1,2AB 故选B 2设复数z满足25zi，则在复平面内z对应的点在（）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限【答案】D【解析】先求出复数z，再求z对应的点的坐标.【详解】25zi，5 252222iziiii，2zi，在复平面内z对应的点在第一象限.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的几何意义，属基础题.3命题“任意0 x，11xx”的否定是()A存在00 x，0011xx B存在00 x，0011xx C任意0 x，11xx D任意0 x，11xx【答案】B【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意 x0，1xx1”的否定是：存在00 x，0011xx 故选：B【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 4总体由编号 01，,02，19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A08 B07 C02 D01【答案】D【解析】从第一行的第 5 列和第 6 列起由左向右读数划去大于 20 的数分别为：08,02,14,07,01，所以第 5 个个体是 01，选 D.【考点】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.5若直线22(0,0)mxnymn 被圆222410 xyxy 截得弦长为 4，则41mn的最小值是（）A9 B4 C12 D14【答案】A【解析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41mn的最小值【详解】圆标准方程为22(1)(2)4xy，圆心为(1,2)C，半径为2r，直线被圆截得弦长为 4，则圆心在直线上，222mn，1mn，又0,0mn，41414()()5nmmnmnmnmn4529nmmn，当且仅当4nmmn，即21,33mn时等号成立 41mn的最小值是 9 故选：A【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n的关系1mn，然后用“1”的代换法把41mn凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值 6若函数,1()(3)1,1xaxf xa xx 满足：12,x xR，都有1212()()()0 xxf xf x，则实数a的取值范围是（）A(1,2 B2,3)C(2,3)D(1,3)【答案】B【解析】由题意，函数 f（x）1311xaxa xx在定义域 R 上是增函数，故可得到13031aaaa，解出即可【详解】对任意 x1，x2R（x1x2），恒有（x1x2）f（x1）f（x2）0，函数 f（x）1311xaxa xx在定义域 R 上是增函数，13031aaaa，解得，2a3，故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，注意断点处要保证增，属于中档题 7一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（）A2:1 B3:2 C4:3 D1:1【答案】B【解析】设球的半径为R,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.【详解】设球的半径为R,则该圆柱的底面半径为R，高为2R 所以圆柱的表面积为：222226RRRR,球的表面积为：24 R 则圆柱的全面积与球的表面积之比为3:2 故答案选 B【点睛】本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题.8数列an满足 a1=1，对任意 nN 都有 an+1=an+n+1，则122019111aaa=（）A20202019 B20191010 C20171010 D40372020【答案】B【解析】由题意可得 n2 时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得 an，求得1na=21n n=2（1n-11n），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【详解】解：数列an满足 a1=1，对任意 nN 都有 an+1=an+n+1，即有 n2 时，an-an-1=n，可得 an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）=1+2+3+n=12n（n+1），1n 也满足上式 1na=21n n=2（1n-11n），则122019111aaa=2（1-12+12-13+12019-12020）=2（1-12020）=20191010 故选:B【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题 9函数 1lnfxxx的图象大致是（）A B C D【答案】B【解析】通过函数在2x 处函数有意义，在2x 处函数无意义，可排除 A、D；通过判断当1x 时，函数的单调性可排除 C，即可得结果.【详解】当2x 时，110 xx，函数有意义，可排除 A；当2x 时，1302xx，函数无意义，可排除 D；又当1x 时，函数1yxx单调递增，结合对数函数的单调性可得函数 1lnfxxx单调递增，可排除 C；故选：B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10若向量(1,1)OA，|OAOB，1OA OB，则向量OA与OBOA的夹角为（）A6 B3 C23 D56【答案】D【解析】可求得2OA，从而2OB，这样由1OA OB 便可得到12cosAOB，从而得出23AOB，可作 AOB，从而可以得出6A，而OBOAAB，OA和AB的夹角容易得出，即得出OA与OBOA的夹角【详解】根据条件，2OAOB；OA OBOA OB cos AOB2cosAOB1；12cosAOB；23AOB，如图，作 AOB，23AOB，OAOB，则：6A，OBOAAB；OA和AB夹角为56；即向量OA与OBOA夹角为56 故选 D【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的计算公式，以及向量减法的几何意义，考查了向量夹角的概念，属于中档题 11执行如下的程序框图，则输出的S是（）A36 B45 C36 D45【答案】A【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.【详解】1 8i 满足，执行第一次循环，120111S ，1 12i ；28i 成立，执行第二次循环，221123S ，2 13i ；38i 成立，执行第三次循环，323136S ，3 14i ；48i 成立，执行第四次循环，4261410S ，4 15i ；58i 成立，执行第五次循环，52101515S ，5 16i ；68i 成立，执行第六次循环，62151621S ，6 17i ；78i 成立，执行第七次循环，72211728S ，7 18i ；88i 成立，执行第八次循环，82281836S ，8 19i ；98i 不成立，跳出循环体，输出S的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.12已知函数()()f x xR满足(1)1f，且()1fx，则不等式22lglgfxx的解集为（）A10,10 B10,10,10 C1,1010 D10,【答案】B【解析】构造函数()()g xf xx,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设()()g xf xx,则函数的导数()()1g xfx,()1fx，()0g x，即函数()g x为减函数,(1)1f,(1)(1)11 10gf ，则不等式()0g x等价为()(1)g xg，则不等式的解集为1x,即()f xx的解为1x，22(1)1fg xg x，由211g x 得11gx 或11gx ，解得10 x 或1010 x,故不等式的解集为10,(10,)10.故选:B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.二、填空题 13若 na是等比数列，且公比4q，12321aaa，则na _【答案】14n【解析】根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得na.【详解】因为 na是等比数列,公比4q，12321aaa,故11141621aaa,解得11a,14nna,故答案为：14n【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题 14已知实数、满足条件则的最大值为_.【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在 轴上的截距最小，有最大值，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15 已知在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3A，2b，ABC的面积等于2 3，则ABC外接圆的面积为 _【答案】4【解析】利用三角形面积公式求解4c,再利用余弦定理求得2 3a,进而得到外接圆半径,再求面积即可.【详解】由12sin2 323c，解得4c 222242 2 4cos123a 解得2 3a 2 324sin3R，解得2R ABC 外接圆的面积为 4 故答案为：4【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.16双曲线 C：2222xyab1（a0，b0）的左右焦点为 F1，F2（|F1F2|2c），以坐标原点 O 为圆心，以 c 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一个交点为 P，若三角形 F1PF2的面积为 a2，则 C 的离心率为_【答案】2【解析】不妨设P为右支上一点，设12,PFm PFn，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案.【详解】不妨设 P 为右支上一点，设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得 mn2a，由题意可得 PF1F2为直角三角形，且F1PF290，可得 m2+n24c2，且12mna2，由（mn）2m2+n22mn4c24a24a2，即为 c2a，可得 e2ca.故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出,a c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围)三、解答题 17已知函数1()(sinsin),2f xxxxR（1）求函数()f x的最小正周期 T 和单调递增区间；（2）若0,x，且关于 x 的函数2()2()2()21g xfxf xa的最小值为12，求a的值【答案】(1)T2，增区间2,22kk(2)-1【解析】（1）化简函数式()f x，然后结合正弦函数性质可得周期与增区间；（2）设sinxt可得 0,1t，由二次函数的知识可得【详解】解：（1）1()(sin|sin|)2f xxx sin,sin0sin,22,0,sin00,222xxxkxkkZxkxk 则函数 f x的周期T2 函数 f x的增区间2,22kk（2）2()2sin2sin(21)g xxxa 令sinxt可得 0,1t 换元可得222(21)ytta，对称轴为12t 31(2),1.22aa 【点睛】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解 18某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在50,60，90,100的频数分别为 8，2 （1）求样本容量n和频率分布直方图中的,x y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名学生，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量 n=80.016 10=50，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为 m，平均分为x，则0.016+0.0310+（m70）0.040=0.5，解得71m，x=（550.016+650.030+750.040+850.010+950.00410=70.6，（3）由题意可知，分数在80，90）内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1，a2，a3，a4，a5，分数在90，100内的学生有 2 人，记这 2 人分别为 b1，b2抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）其中 2 名同学的分数都不在90，100内的情况有 10 种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90，100内的概率101112121p .【考点】频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.19在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形.(1)求证：/AE平面BFC；(2)若ADDE，1ADDE，2AB，60BAD，求三棱锥FAEC的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)33【解析】（1）根据平行四边形和矩形特点可得/ADBC，/DEBF，由线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面/ADE平面BCF；由面面平行性质定理可证得结论；（2）设ACBDO，可知O为AC中点，根据比例关系和体积桥可知2FAECA OEFVV；利用余弦定理求得BD后可证得ADBD，由线面垂直判定定理证得AD平面BDEF；利用三棱锥体积公式可求得A OEFV，进而求得结果.【详解】（1）四边形ABCD为平行四边形 /ADBC 又AD 平面BCF，BC 平面BCF /AD平面BCF 四边形BDEF为矩形 /DEBF 又DE 平面BCF，BF 平面BCF /DE平面BCF,AD DE 平面ADE，ADDED 平面/ADE平面BCF 又AE 平面ADE /AE平面BFC（2）设ACBDO，连接,OE OF 四边形ABCD为平行四边形 O为AC中点 22FAECCAEFO AEFA OEFVVVV 在ABD中，由余弦定理得：2222cos4123BDABADAD ABBAD 3BD 222ABADBD ADBD 又ADDE，,BD DE 平面BDEF，BDDED AD平面BDEF 点A到平面OEF的距离为AD 113222OEFBDEFSSBD DE，1AD 12332213323FAECA OEFOEFVVSAD 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面平行判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理的应用；求解三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式将问题转化为底面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.20设O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为4 5，离心率为2 55，直线:(0)l ykxm m与C 交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）设点(0,1)P，4PA PB，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标【答案】(1)221255xy(2)证明见解析，定点(0,2)【解析】(1)由焦距和离心率求出,a c，根据椭圆的性质求出b,即可写出椭圆C的方程.(2)将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理求出12xx，12x x结合直线l的方程，求出12yy，12y y,将4PA PB 表示为坐标形式，化简求出m的值，根据直线方程的性质即可得到直线l过定点的坐标.【详解】解：（1）24 52 5cc 因为2 55cea，则5a 故5b，所以椭圆C的方程为221255xy（2）设11,A x y，22,B x y，联立221255ykxmxy，消去y整理可得2221 5105250kxmkxm 所以，122101 5kmxxk，21225251 5mx xk 所以12122221 5myyk xxmk 2212121212y ykxmkxmk x xkm xxm 222222222222525105251 51 5k mkk mmk mkmkk 因为(0,1)P，4PA PB 所以 1122121212,1,114x yxyx xy yyy 所以222222525252501 51 51 5mkmmkkk 整理可得23100mm 解得2m 或53m （舍去）所以直线l过定点(0,2)【点睛】本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.21已知函数21()ln1()2f xxaxaR.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若20a ，对任意 12,1,2x x，不等式121211()()f xf xmxx恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)12m 【解析】（1）先由题意得到定义域，对函数求导，分别讨论0a 和0a 两种情况，即可得出结果；（2）因为20a，由（1）得到函数()f x在1,2上单调递增，不妨设1212xx，则121211()()f xf xmxx可化为2121()()mmf xf xxx，令21()()ln12mmh xf xxaxxx，则()h x为1,2上的减函数，对()h x求导，根据函数()h x单调性，即可得出结果.【详解】（1）依题意可知：函数()f x的定义域为0,，2()axafxxxx，当0a 时，()0fx在0,恒成立，所以()f x在0,上单调递增.当0a 时，由()0fx得xa；由()0fx得0 xa；综上可得当0a 时，()f x在0,上单调递增；当0a 时，()f x在0,a上单调递减；在,a 上单调递增.（2）因为20a，由（1）知，函数()f x在1,2上单调递增，不妨设1212xx，则121211()()f xf xmxx，可化为2121()()mmf xf xxx，设21()()ln12mmh xf xxaxxx，则12()()h xh x，所以()h x为1,2上的减函数，即2()0amh xxxx在1,2上恒成立，等价于3mxax在1,2上恒成立，设3()g xxax，所以max()mg x，因20a ，所以2()30g xxa，所以函数()g x在1,2上是增函数，所以max()(2)8212g xga（当且仅当2a 时等号成立）所以12m 【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3sinxy，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点1,0P，直线l和曲线C交于,A B两点，求11PAPB的值【答案】（1）曲线C的普通方程为22193xy,直线l的直角坐标方程为10 xy;（2）668.【解析】（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题（2）该类型考题多注意1,0P 恰好在直线l上，从而将直线直角坐标方程化为过 P 的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。【详解】（1）因为曲线C的参数方程为3cos3sinxy（为参数），所以曲线 C 的普通方程为22193xy.因为2sin42，所以sincos1,10 xy .所以直线l的直角坐标方程为10 xy.（2）由题得点1,0P 在直线 l 上，直线l的参数方程为21222xtyt ，代入椭圆的方程得22280tt，所以121 22+,402ttt t ，2121 212121212121241111668ttt tttttPAPBttt tt tt t.【点睛】属于常规考题，考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化。属于简单题，多注重直线l的参数方程及其几何意义的运用，常见的问题有求11PAPB，AB，PAPB等值.23已知函数 313,4f xxxk g xx （1）当3k 时，求不等式 4f x 的解集；（2）设1k ，且当1,)3 3kx 时，都有 f xg x，求k的取值范围【答案】（1）|0 x x 或43x ；（2）9(1,4.【解析】代入3k，运用代数法去绝对值，然后求解 4f x 的解集 当1,3 3kx 时，求得 1f xk，转化为14kx，求出不等式结果【详解】（1）当3k 时，164,3121364,1xxf xxxx，故不等式 4f x 可化为：1644xx或11324x 或13644xx，解得：0 x 或43x，所求解集为|0 x x 或43x （2）当1,3 3kx 时，由1k 有：310,30 xxk 1f xk。不等式 f xg x 可变形为：14kx 故3kx对1,3 3kx 恒成立，即33kk ，解得94k 而1k ，故914k k的取值范围是91,4.【点睛】本题主要考查了含有绝对值解不等式，在解答此类题目时，可以采用代数法去绝对值，然后再解不等式，注意解题过程中的分类讨论，本题属于中档题。