2015数学建模作业实验.pdf

我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 姓名：雷锋 答:(1)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示00yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程ydtdyxdtdx的平衡点；在分析方程ydtdyxdtdx的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设2）1-（)-det(A，可知特征值121，由于2p,1q,将计算结果对照课件中表（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 (2)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示020-yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程ydtdyxdtdx2-的平衡点；在分析方程ydtdyxdtdx2的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设)2(）1（)-det(A，可知特征值2;121，由于1p,-2q,将计算结果对照课件中表（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 (3)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示020yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程xdtdyydtdx2的平衡点；在分析方程xdtdyydtdx2的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设2)-det(2A，可知特征值i221，由于0p,2q,将计算结果对照课件中表（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 (4)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示020yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程ydtdyxdtdx2的平衡点；在分析方程ydtdyxdtdx-2-的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设）2（）1（)-det(A，可知特征值-2；-121，由于3p,2q,将计算结果对照课件中表（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，如下图所示：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 答：（1）营养的浓度能达到平衡。（2）已知KNRdtdN，令)(NfKNRdtdN；当0)(Nf时，得到的 N 为平衡解；故KRN （3）它是稳定的 因为当KRt 时，0)(Nf且0)(/Nf；当KRt 时，0)(Nf且0)(/Nf，如下图所示，在KRN 处稳定。我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 答：根据题意设在 t 时刻，病菌数量为）（Nt,病菌增长率为1，死亡率为2，当0t时，0)0(N;由此可以建立微分方程，如下所示 0)0(2121NNNdtdN 令2121)(NNxf，当0)(xf时，计算其平衡点2121N，02N 下图画出了）（N/t的符号取值范围和）（Nt的变化趋势；我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 根据题意可知，细菌数量 N 不可能小于 0，当2120N时，0)(/tN，当212N时，0)(/tN；因此，根据图示可以判断，02N是稳定的，2121N不是稳定的。答：令ExxNxrxf)1()(，计算0)(xf时的平衡点；得到平衡点)1(0rENx，01x；计算xNrErNrxENxrrxf2)()(/；分别将0 x和1x带入)(/xf后得到 0)1(2)(0/rErErErxf 0)(1/Erxf 由此可以判断出平衡点1x处是稳定的，平衡点0 x是不稳定的；由于)()()(xhxgxf，且xNxrxg)1()(;计算)21()1()1()(/NxrNrxNxrxg；当0 x时，rxg)(/，因此可知在)(xg曲线的零点位置，其切线斜率为 r;已知rE,故必存在平衡点；我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 令0)(/xg，计算得到2Nxm；将其带入xNxrxg)1()(，可得4)(rNxg；将4)(rNxg和2Nxm带入Exxgxf)()(；计算可得最优捕捞率rE21 答：根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型xNrxxln)(g，减去相应的捕捞量后的鱼量为ExxNrxxhxgxfln)()()(；这里并不需要解方程)(xf以得到 x(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程)(xf的平衡点并分析其稳定性 令0)(xf,计算其平衡点rEeNx0；计算)(/xfErxNrln,将0 x带入后得到，0)(/rxf，故平衡点rEeNx0是稳定的。这说明只要捕捞适度，就可以让渔场的鱼量稳定在rEeNx0，应用图解法：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景、由图可知，当 h（x）和 g（x）在)x(gy的顶部相交时，可以获得最大的持续产量。令)(/xf0lnErxNr，得到稳定时的平衡点eNx；带入到xNrxxhln)(中，得到erNxNrxhmln 将eNx带入到rEeNx0，计算保持渔场鱼量稳定在x的捕捞强度为rE 答：该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示010122112222211111xbxbcaxxbxbcax；将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示：0-0-222221212222211221111111xcbxxcbxcxaxxcbxcbxcxa 计算该方程组，求得平衡解如下：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景)0,0(1p),0(22222bcacp)0,(11113cbacp 1、对于平衡点)0,0(1p，由于)21()21(-221122111222221111xbxbcaxcbxcbxbxbcaA 221100cacaA 计算得到 2211-cacap，)()(2211cacaq 由于11ac，22ac，故0p且0q 由定理可知，平衡点)0,0(1p是不稳定的。（1）对于平衡点),0(22222bcacp，由于)21()21(-221122111222221111xbxbcaxcbxcbxbxbcaA 带入平衡点可得2222221210-cacaccaacA 2222121-accaccap,2222121)(ccacaacq 已知11ac，22ac，如果2211caca，那么得到0p且0q。根据定理2.2可知，当0p且0q时，平衡解是稳定的，则当t时，0)(1tx。（2）对于平衡点)0,(11113cbacp，由于)21()21(-221122111222221111xbxbcaxcbxcbxbxbcaA 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 带入平衡点可得121211110ccaacacaA）（-1122111ccacacap,)(1111221ccacacaq 已知11ac，22ac，如果2211caca，那么得到0p且0q。根据定理2.2可知，当0p且0q时，平衡解是稳定的，则当t时，0)(2tx。（3）用图形分析方法解释上述情况：由于平衡点)0,0(1p是不稳定的，故只考虑),0(22222bcacp)0,(11113cbacp 对于线性方程组0101221122221111xbxbcaxbxbca在平面上代表 2 条直线1L和2L，其中1L和2L分别对应如下：1L：0112211111xbxbca 2L：0122221122xbxbca 上式中11x和21x代表直线1L在平面图横轴和竖轴的坐标；21x和22x代表直线2L在平面图横轴和竖轴的坐标。当纵坐标2x为 0 时，计算得111111cbacx，212212cbacx；当纵坐标2x为 0 时111112cbacx 222222cbacx；第一种情况：令1211xx 且2212xx，得到2121acca，将第一区域分为 3 个部分，如图所示:我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 在区域 I 中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着 t 的增加而增加，并且当经过直线2L时，有0)(/tx，所以12dxdx，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以垂直方向进入到区域 II。在区域 III 中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着 t 的增加而减少，并且当经过直线1L时，有0)(/tx，所以012dxdx，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以水平方向进入到区域 II。在区域 II 中，01dtdx，02dtdx，即)(1tx随着 t 的增加而减小，)(2tx随着 t 的增加而增加，1x最终趋于 0，2x最终趋于1112cbcc。第二种情况：令1211xx且2212xx，得到2121acca，将第一区域分为 3 个部分，如图所示:我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 在区域 I 中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着 t 的增加而增加，并且当经过直线2L时，有0)(/tx，所以012dxdx，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以水平方向进入到区域 II。在区域 III 中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着 t 的增加而减少，并且当经过直线1L时，有0)(/tx，所以12dxdx，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以垂直方向进入到区域 II。在区域 II 中，01dtdx，02dtdx，即)(1tx随着 t 的增加而增加，)(2tx随着 t 的增加而减小，1x最终趋于1111cbac，2x最终趋于 0。我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 解：先建立描述微分方程组的外部函数，文件名为：functionxdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);再调用ode45()求解。输入：t,x=ode45(lorenz,0 100,0 0 1e-10);plot(x(:,2),x(:,1)plot(x(:,2),x(:,3)plot(x(:,3),x(:,1)10、28、38和 001x、002x、103100 x时，得出的图形为：我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 使其分别为51、30、5和 001x、002x、103100 x时，得出的图形为：使其分别为、和、时，得出的图形为：01202 001x 002x 103100 x我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景、和、时，得出的图形为：、和、时，得出的图形为：102838 001x 0.102x 103100 x102838 101x 102x 103100 x我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景、和、时，得出的图形为：102838 1001x 1002x 103100 x我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 答：（1）根据题意可得：药物流动服从一阶动力方程；转换率是关于时间的常数，为比率常数。根据题意可列微分方程如下 0)0()0()()()()()(2312211/211/1ttttt 在 Matlab 中为方便计算，令a1；b2；c3；x）t（1；y）t（2 计算得到 x=c*exp(-a*t)y=exp(-a*t)*exp(-b*t)*(a*c*exp(a*t)/(a-b)-(a*c*exp(b*t)/(a-b)即)()()(1212131231ttteetet 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景（2）根据题意已知 t 0 1 2 3 4 6 8 10 12 16）t（2 0 利用最小二乘拟合，估计)()(1221312tteet中的参数值 建立)()(1221312tteet的 m 文件，如下：建立最小二乘法的 m 文件 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 我吹过你吹过的晚风，那我们算不算相拥，我吹过你吹过的晚风，是否看到同样风景 计算得到：即0.1831；0.43452；