高等数学第一学期考试解答.pdf
一、选择题（每题 4 分，共 16 分）1（D ）。A、；B、；C、；D、2设在处可导，且，则（B ）。A、；B、；C、；D、。3若是的一个原函数，则（D ）。A、；B、；C、；D、。4已知函数在处取得极值，则（B ）。A、且为函数的极小值点；B、且为函数的极小值点；C、且为函数的极大值点；D、且为函数的极大值点。二、填空题（每题 5 分，共 20 分）1。2。3。101lim(1)limsinxxxxxxe1e1e11e()lnf xxx0 x0()2fx0()f x0e12esin2x()f x()xf x dx sin2cos2xxxCsin2cos2xxxC1sin2cos22xxxC1sin2cos22xxxC32()f xxaxbx1x 23,0ab 1x()f x0,3ab 1x()f x3,0ab 1x()f x0,3ab 1x()f x0limxxxxee12231xx dx3322(1)9xC3222sin(cos)1xx dxx434设为向量，为实数。若，则。三、计算下列各题（每题 9 分，共 45 分）1求极限。解：2函数由方程确定，求。解：又，得。3求定积分。解：4求过点且与平面和平行的直线方程。解：，。,k|1,|12,k k 120limxxx 00201lnlimlim11limlnln00limlim1xxxxxxxxxxxxxxxeeee ()yy x0 xyeexy202|xd ydx2000 xyxyxyyeexyee yyxyee ye yyyxy0,0 xy1y 202|2xd ydx 212221xdxx2sin12222222441cot(csc1)14xtxdxtdttdtx(3,1,2)21xz32yz102(2,3,1)013ijks 31223xyz5设，求。解：，四、（7 分）长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？解：设正方形的边长为，则正方形的面积与圆的面积之和为。，。所以两段铁丝分别为时，正方形的面积与圆的面积之和最小。五、解答下列各题（每小题 4 分，共 12 分）1 设 曲 线，轴 以 及轴 所 围 区 域 被 曲 线分成面积相等的两部分，求。解：由，2 设函数在上连续，且。判断方程在内有几个实根？并证明你的结论。1sin,0()20,xxf x其它0()()xxf t dt0 x 0()()0 xxf t dt0 x0011()()sin(1cos)22xxxf t dttdtxx001()()sin012xxxf t dttdtdtlx22(4)()4lxS xx4()220lxS xx4lx44,44lll21 (01)yxx xy2(0)yaxaa1112222111001(1)(1)aaaxaxdxax dxxdx3a()f x0,10()1f x02()1xxf t dt(0,1)解：，在上 连 续，所 以在内 有 一 个 零 点。又，在上是单调递增的，所以在内有唯一零点，即在内有唯一实根。3、设函数在上可导，且，求证在内至少存在一点，使得。解：，在上可导。由，存在，使 得，即。由 Roll 定 理，存 在，使得，即。0()2()1xF xxf t dt()F x0,110(0)1,(1)1()0FFf x dx ()F x(0,1)()2()2 110F xf x ()F x0,1()F x(0,1)02()1xxf t dt(0,1)()f x0,1120(1)2()0fxf x dx(0,1)()()ff()()F xxf x()F x0,1120(1)2()0fxf x dx10,2c1(1)2()02fcf c(1)()fcf c(,1)(0,1)c()0F()()ff
