人教版八年级数学尖子生培训：直角三角形.pdf

直角三角形 知识导引 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30。2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。典例精析 例 1：已知等腰ABC中，ADBC 于点 D，且 AD=BC，则ABC 底角的度数为（）A、45 B、75 C、45或 75 D、60 例 2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图 所示放置，图 是由它抽象出的几何图形，点 B，C，E 在同一条直线上，连结 CD。（1）请找出图 中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CDBE。例 3：如图所示，四边形 ABCD 由一个ACB=30的 RtABC 与等腰 RtACD 拼成，E 为斜边 AC 的中点，则BDE=。例 31：如图，已知 ADBD，ACBC，E 为 AB 的中点，试判断 DE 与 CE 是否相等并说明理由。例 4：已知：在ABC 中，BAC=90，ADBC 于点 D，ABC 的平分线 BE 交 AD于点 F，试说明 AE=AF。例 5：如图，在ABC 中，A=90，AB=AC，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，CEBD，交其延长线于点 E，求证：CE=BD 探究活动 例：小华将一张矩形纸片（如图 1）沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），其中ACB=，然后将这两张三角形纸片按如图 3 所示的位置摆放，DEF 纸片的直角顶点 D 落在纸片ABC 的斜边 AC 上，直角边 DF 落在 AC 所在的直线上。（1）若 DE 与 BC 相交于点 G，取 AG 中点 M，连接 BM、DM，当DEF 纸片沿CA 方向平移时（如图 3），请你观察、测量 BM、DM 的长度，猜想并写出 BM 与 DM的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）条件下，求出BMD 的大小（用含 式子表），并说明当 =45时，BMD 是什么三角形；（3）在图 3 的基础上，将DEF 绕点 C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90），此时CGD 变成CHD，同样取 AH 的中点 M，连接 BM、DM（如图 4），请继续探究 BM 与 DM 的数量关系和BMD 的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明 为何值时，BMD 为等边三角形 学力训练 A 组 务实基础 1、下列命题：同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的周长相等；直角都相等；等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数为（）A、1 个 B、2 个 C、3个 D、4 个 2、设 M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A、B、C、D、3、如图，RtABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D。E、F 分别是 CD，AD 上的点，且 CE=AF。如果AED=62，那么DBF=（）A、62 B、38 C、28 D、26 （第 3 题图）（第 4 题图）（第 5 题图）4、如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、E 分别为 AC、AB 的中点，连结DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（）A、DEBC B、DEAC C、ACE=BCE D、AE=CE 5、如图，将一副三角板叠放在一起且直角的顶点重合于点 O，则AOBDOC 度 6、如图，RtABC 中，CD，CE 分别是斜边 AB 上的高和中线，如果A=30，BD=1cm，那么BCD=，BC=cm，AD=cm。（第 6 题图）（第 7 题图）（第 8 题图）7、如图所示，已知ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，垂足为点 D，E为 AC 的中点，AD=DE=6cm，则ACD=，AC=cm，DAC=，ADE是 三角形。8、如图所示，一根长 a 米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为 P，若木棍的 A 端沿墙下滑，且 B 端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点 P 到点 O 的距离 （填“发生”或“不发生”）变化，理由是 9、如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形。（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）10、如图，在直角ABC 中，C=90，CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D，若DE 垂直平分 AB，求B 的度数。11、如图，在直角三角形 ABC 中，CM 是斜边 AB 上的中线，MNAB，ACB 的平分线 CN 交 MN 于点 N，求证：CM=MN 12、（1）等腰直角ABC 和等腰直角CDE 的位置如图 1 所示，连结 BE，并延长交 AD 于点 F，试问：AD 与 BE 之间有什么关系？证明你的结论。（2）若保持其他条件不变，等腰直角CDE 绕 C 点旋转，位置如图 2 所示，试问：AD 与 BE 之间的关系还存在吗？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。B 组 瞄准中考 1、（枣庄中考）如图，已知ABC 为直角三角形，C=90，若沿图中虚线剪去C，则12 等于（）A、315 B、270 C、180 D、135 （第 1 题图）（第 2 题图）（第 3 题图）2、（潍坊中考）如图，RtABC 中，ABAC，ADBC，BE 平分ABC，交 AD于点 E，EFAC，下列结论一定成立的是（）A、AB=BF B、AE=DE C、AD=CD D、ABE=DFE 3、（贵阳中考）如图，ABC 中，C=90，AC=3，B=30，点 P 是 BC边上的动点，则 AP 的长不可能是（）A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7 4、（贵阳中考）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB 的垂直平分线 DE 交于 BC 的延长线于点 F，若F=30，DE=1，则 EF 的长是（）A、3 B、2 C、D、1 （第 4 题图）（第 5 题图）（第 6 题图）（第 7 题图）5、（威海中考）如图，ab，点 A 在直线 a 上，点 C 在直线 b 上，BAC=90，AB=AC，若120，则2 的度数为（）A、25 B、65 C、70 D、75 6、（日照中考）如图，在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中，作内接正方形 ；在等腰直角三角形 中，作内接正方形 ，在等腰三角形 中，作内接正方形 ；依次作下去，则第 n 个正方形 的边长是（）A、B、C、D、7、（益阳中考）如图，在ABC 中，ABAC8，AD 是地边上的高，E 为 AC中点，则 DE 8、（内江中考）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图 1 中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 4 个，图 2 中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图 3 中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图 4 中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个。（第 8 题图）9、（珠海中考）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是高，AM 是ABC 外角CAE的平分线。（1）用尺规作图的方法，作ADC 的平分线 DN。（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断ADF 的形状（只写结果）10、（朝阳中考）如图 1，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 CD=CE，连结 DE。（1）线段 BE 与 AD 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图 2，当CDE 绕点 C 顺时针旋转一定角度 后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。11、（杭州中考）已知：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，其中ABC=ADE=90，点 M 为 CE 的中点。（1）如图 1，当点 D，E 分别在 AC，AB 上时，求证：BMD 为等腰直角三角形；（2）如图 2，将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转 45，使点 D 落在 AB 上，此时问题（1）中的结论“BMD 为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明。12、（河北中考）如图 1，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC，且 AC=BC，EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP。（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连结AP，BQ，猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连结 AP，BQ，你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。