材料力学切应力计算精编.pdf
材料力学切应力计算精编 Jenny was compiled in January 2021 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 4-3 梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1矩形截面梁 对于图 4-15 所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力FQ。现分析距中性轴 z 为 y 的横线1aa上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力FQ的方向一致。由于对称的关系，横线1aa中点处的剪应力也必与FQ的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa线上各点切应力的方向皆平行于剪力FQ。又因截面高度 h 大于宽度 b，切应力的数值沿横线1aa不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪 hj 力FQ。2）切应力沿截面宽度均匀分布。图 4-16 基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图 4-16a 的横弯梁中截出 dx微段，其左右截面上的内力如图 4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图 4-16c 所示，现欲求距中性轴 z 为 y 的横线1aa处的切应力。过1aa用平行于中性层的纵截面11ccaa自 dx 微段中截出一微块（图 4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N和2N，其中*1I1*zzAzASIMdAIMydAN （4-29）*1II2)()(*zzAzASIdMMdAIydMMdAN (4-30)式中，*A为微块的侧面面积，)(III为面积*A中距中性轴为 1y处的正应力，*1*AzdAyS。由微块沿 x 方向的平衡条件 0 x，得 021dxbNN （4-31）将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 图 4-15 0*bdxSIdMzz 故 zzbISdxdM*因,QFdxdM，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力为 zzQbISF*（4-32）式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，QF为截面上的剪力；zI为整个截面对中性轴 z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度；yS为面积*A对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图 4-17），可取1bdydA，于是)4(2222111*yhbdybydAyShyAz 这样，式（4-32）可写成)4(222yhIFzQ 上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化（图 4-17）。在截面上、下边缘处，y=2h,=0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为 AFQ23max （4-33）图 4-17 式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的23倍。2圆形截面梁 在圆形截面上（图 4-18），任一平行于中性轴的横线 aa1两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于 y 轴上的 c 点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力FQ，设为均匀分布，其值为最大。由式（4-32）求得 AQ34max （4-34）式中24dA，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的34倍。3工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图 4-19 所示。最大剪应力在中性轴上，其值为 ZzQdISFmaxmax)(式中（Sz）max为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的max*)(zzSI可以从型钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（）FQ，因此也可用下式计算max的近似值 图 4-18 图 4-19 dhFQ1max 式中 h 1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。
