苏教版数学必修五2.4等比数列的概念与通项公式学案含答案.pdf

苏教版数学必修五2.4等比数列的概念与通项公式（学案含答案）第 2 页 高中数学 等比数列的概念与通项公式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 等比数列的概念与通项公式 1.掌握等比数列的概念。2.掌握等比数 列 的 通 项公式和性质。选择题 填空题 解答题 等比数列是很重要很基本的数列，注意在学习时类比等差数列的定义特征。二、重难点提示 重点：等比数列的通项公式和性质。难点：等比数列的通项公式和性质的灵活运用。考点一：等比数列概念及通项公式 1.定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示（q0）。注意：等比数列中不可能出现为 0 的项。2.等比数列的通项公式 3.等比中项 若 a、G、b 成等比数列，则称 G 为 a 和 b的等比中项，且满足 G2ab。第 3 页【核心突破】在,a b同号时，,a b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项。在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。“,a G b成等比数列”等价于“2Gab”（,a b均不为 0），可以用它来判断或证明三数成等比数列。同 时 还 要 注 意 到“,a G b成 等 比 数 列”与“Gab”是不等价的。通项公式的应用：由等比数列的通项公式可知，当已知1,na q n a中三个，便可通过建立方程或方程组求出另外一个，这是解这类问题的基本思想方法。考点二：等比数列的通项公式的性质 1.若*,mnpq m n p qN，则mnpqaaaa，特别地，若 mn2p，则 amana2p；2.若等比数列 na的公比为q，则1na是以为1q公比的等比数列；3.一组等比数列 na中，下标成等差数列的项构成等比数列；4.若 na与 nb均为等比数列，则n na b也为等比数列；5.从数列的分类来说：当10,1aq，或10,01aq时，数列 na为递增数 第 4 页 列；当10,01aq，或10,1aq时，数列 na为递减数列；当1q 时，数列 na为常数列；当1q 时，数列 na为摆动数列。【要点诠释】其中性质（1）用得最多，因此我们必须熟记并能灵活运用它，而且它还可以推广。如：若*,m n t p q sN，且mntpqs，则mntpqsaaaaaa，也可推广为等式两边含有 4 项、5 项的情形，但不能推广为mnm naaa。例题 1 （等比数列的证明）已知数列an的前 n 项和 Sn2n12，求证an是等比数列。思路分析：由 Sn2n12求 an证明nnaa1为常数 答案：由 Sn2n12，得 a1S12222，当 n2 时，anSnSn12n122n22n，当 n1 时，a12 也符合 an2n，an2n（nN*），nnaa1=nn221=2 an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。技巧点拨：1.本题已知 Sn求 an，要利用：第 5 页)2(111nSSaSannn求解。2.已知通项 an证明数列为等比数列的步骤：（1）验证首项 a10；（2）证明nnaa1q（q0，q 为常数）。例题 2 等比数列通项公式的应用）在等比数列an中，（1）若 a427，q3，求 a7；（2）若 a218，a48，求 a1与 q；（3）若 a5a115，a4a26，求 a3。思路分析：本题可根据通项公式，列方程或方程组，求出基本量 a1和 q，再求其他量.答案：（1）由 a4a1q3得 a1（3）327，a11，a7a1q6（1）（3）6729。（2）由已知得818311qaqa解得32,271qa或32,271qa（3）由已知得,6,15131141qaqaaqa 由得2512qq，q21或 q2。当 q21时，a116，a3a1q24；当 q2 时，a11，a3a1q24。技巧点拨：a1，q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解。求a1，q 除上述方法外，也可以充分利用各项之间的关系，先求各项，然后再求 q 与 a1。第 6 页【综合拓展】等比数列的综合问题【满分训练】已知 nx为各项不为 1 的正项等比数列，ny满足log2(0nnxyaa且1)a，设4717,11yy。（1）数列 ny的前多少项和最大？最大值是多少？（2）是否存在正整数M，使当nM时，1nx 恒成立？若存在，求M的取值范围；若不存在，则说明理由。思路分析：（1）根据数列 nx信息，求出数列 ny通项公式，从而解决第一问；（2）由于含参数，注意分类讨论。答案：（1）22loglognnanxyxa，且 nx为等比数列，ny为等差数列。又47417,3112yyydd 42(4)252nyynn，由0ny，知12n 故 ny的前 12 项和最大，其最大值为 144。（2）当1a 时，10nnxy，又252nyn，故此时不存在正整数M，使1nx。当01a时，10nnxy，又2520nyn，知13n，此时只要12,M，则当nM时，恒有1nx 成立。综上所述，当1a 时，不存在这样的M；当01a时，存在这样的M，只要12,M 即可。技巧点拨：对于存在类问题，一般先假设其存在，根据题意进行求解或证明，由结果得出结论。另外，在解等差数列与等比数列问题时，关 第 7 页 键是抓住它们的相关概念、公式，进行分析、推理、变形。