高一秋季第2讲.函数概念的深入理解.目标班.删解析.pdf

高一秋季第 2 讲.函数概念的深入理解.目标班.删解析 第 17 页 函数贯穿整个高中的数学学习，高中函数的本质是一种对应关系，无论你用什么形式表达，只要对任何一个确定的自变量，存在唯一的函数值与之对应的就是函数关系，最常见也是最实用的是解析式表示如：2()f xx，表示f把任意一个东西对应到它的平方；而(1)2f tt 则表示f把任意一个东西对应到它加1；(21)21fxx，表示f把任何一个东西对应到它的相反数；这种对应是更本质的，而且不依赖于字母的选择 也可以通过图象给出对应关系，它的最大满分晋级 第 2 讲 函数概念的 深入理解 函数 10 级 集合中的常用 数学思想 函数 11 级 函数概念的函数 12 级 函数的单调性与奇偶性（一）第 18 页 好处是可以直观地看出一个函数长什么样，后面我们会有一个很重要的任务，就是一点点教大家怎么去画一些你并不认识的函数图象，如1()f xxx，1()f xxx，e()1xf xx，本讲分成两个板块，板块一是对函数符号()f x的理解：包括具体函数的求值问题、求解析式问题、抽象函数的求值问题与求解析式问题（仅限目标班）；板块二是函数的定义域与值域问题：包括基本的图象变换、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、函数的值域的常见求法 本讲内容在暑期对应第二讲 函数及其表示，当时介绍了映射的概念、函数的概念与三要素（包括：函数求值、同一函数、复合函数的概念、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、利用图象法求常见函数的值域与最简单的复合函数的值域问 第 19 页 题）、函数的表示法（其中解析式的求法介绍了代入法、配凑法、换元法、待定系数法）本讲会在预习的基本上重点介绍：抽象函数的函数值求法、求函数解析式的方程组法、图象变换、求函数值域的方法总结 考点 1：具体函数的求值问题 已知函数 223f xxax，如果 19f af a，求a的值；当a为何值时，函数的最小值是4？【例1】设()|1|f xxx，则12ff_ 设函数10()10 xf xx，则1()()()2abab f abab的值为（）Aa Bb Caabbab，Daabbab，已知1232xfx且 6f m，则m _ 设221()1xf xx，则2.1 函数符号()f x的理解 经典精讲 暑假知识回顾 第 20 页 11(2012)(2013)20122013ffff_（目 标 班 专 用）已 知 函 数3()1xf xx，记(1)(2)(4)(1024)ffffm，11112481024ffffn，则mn_ D；0 考点 1 是具体函数的求值问题，即给出()f x的解析式，求出具体的某个()f a考点 2是具体函数的求解析式问题，即给出函数满足的某些条件或形式，求出()f x 暑期时我们学习了求函数解析式的代入法、配凑法、换元法与待定系数法，这里介绍一种新的方法方程组法，解决()f x满足形如()()()f xbf axg x与()()af xbfg xx的函数方程求解析式的问题 考点 2：求函数解析式的方法总结 解析式给法分两种，一种是明着给的，一种是暗着给的 明着给的规则，如：已知2()1f xx，求(1)f x 直接代入即可得2(1)(1)1f xx；第 21 页 对于这个问题需要理解清楚：f的作用是把括号里的整体变成平方加1，不管括号里面的是什么，都对应到它整体的平方加1；()f x中的x与(1)f x 中的x不一样，如它们很可能对应不同的取值范围；()f x与(1)f x 不是同一个函数，解析式就不一样，但它们都有一个作用叫f 暗着给的规则，如：若2(1)1f xx，求()f x此时，f对应的规则是不直接给出的 关键要看f对1x 进行了什么操作，所以要把21x 变成与1x 相关的：221(1)2(1)2xxx，于是2()22f xxx，这就是配凑的方法 也可以令1tx，于是1xt，代入得到2()(1)1f tt，即换元法 暗着给的对应法则还要注意定义域的限制，如：若242(2)31f xxx，求()f x 可 以 用 配 凑 法 或 换 元 法 得 到2()711f xxx于是我们得到(1)5f 第 22 页 但如何由242(2)31f xxx得到(1)f呢，这不可能，因为222x，1已知函数2(1)32f xxx，求(1)f x 2已知()f x是一次函数，且()94f f xx，求()f x【解析】()31f xx或()32f xx 【例2】（目标班专用）若22111xxfxxx，求()f x的表达式 已知 1232f xfxx，求 f x 已知 222388f xfxxx，求 f x 分析：1f可求：令1x，即得到 12132ff 那 么 2?f令2x，得 到 12282ff x和1x互为倒数，当2x 时，112x，当12x 时，2x 令12x，172222ff 由，得1(2)282172(2)22ffff(2)511322ff ，于是得到一般情况：令xt与1xt得到 1232221322f tfttf tttff ttt 暑假知识回顾 第 23 页 例 2的方程组法，只需要换元一次，就能得到一个类似“二元一次方程组”，解出()f x，下面的拓展题，需要用两次换元法，得到一个类似“三元一次方程组”，解出()f x【拓展】设对满足1x 的所有实数x，函数()f x满足3311xxffxxx，求所有可能的()f x 对于法则只有一个描述，而不直接给出对应法则，反过来要求对应法则相关的问题，在数学中统称为函数方程问题（是以函数的解析式为未知量，给出一些相关条件，去求解函数）也叫抽象函数问题，这是与给出解析式的具体函数对应的 通过函数方程求值、通过函数方程求解析式（仅目标班）、判断单调性与奇偶性的问题，都是我们后面要研究的函数方程问题这类问题的主要方法是赋值法 考点 3：抽象函数的求值问题【铺垫】已知()f x的定义域为R，对任意的xyR，有()()()f xyf xf y，则(0)f_【例3】定义在R（正实数集）上的函数()f x满 第 24 页 足()()()f xyf xf y（xyR，），已知(8)3f，则(1)f_，(2)f_ 定义在R上的函数()f x满足()()()2f xyf xf yxy（xyR，），(1)2f，则(3)f_，(3)f _ （目标班专用）对任意实数,xy，均满足22()()2()f xyf xf y，且(1)0f，则(2013)f_【拓展】已知定义域为R的函数 f x满足；f xyf x fy，且 31f 求 0f；求证：41f 3(3)(2)(1)(1)1ffff，故(1)1f，从而24(4)(2)(1)1fff 令4,4xy 得，(4)(4)(0)1fff，故1(4)1(4)ff命题得证 考点：抽象函数的解析式问题（目标班专用）【例4】设()f x是定义在R上的函数，满足 01f，且对任意的xyR，都有 21f xyf xyxy，则()f x _ 设()f x是定义在R上的函数，满足 01f，且对任意的xyR，都有(1)()()()2f xyf x f yf yx，则()f x _ 考点 4：函数图象的三大变换 2.2 函数定义域与值域 知识点睛 第 25 页 图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式，如下：函数()f x的图象经过对应的变换后的对应解析式如下（0a）：四种基本 变换形式 九种具体的 变换方式 针对图象的具体操作 变换后对应的解析式 平移变换 水平平移 向右（左）平移a个单位()f xa（()f xa）垂直平移 向上（下）平移a个单位()f xa（()f xa）翻折变换 上下翻折 x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来()f x 左右翻折 y轴右边的图象不变，将y轴右边的图象翻折到y轴的左边覆盖原来左边的图象()f x 第 26 页 对称变换 按x轴对称 将()f x的图象作关于x轴的对称()f x 按y轴对称 将()f x的图象作关于y轴的对称()fx 按原点对称 将()f x的图象作关于原点的对称()fx 伸缩变换 横向伸缩 纵坐标不变，横坐标变为原来的1a（倍）()f ax 纵向伸缩 横坐标不变，纵坐标变为到原来的a（倍）()af x 我们在这里只讲前面三种图象形式的形式，最后一种图象的伸缩变换我们放到三角函数的图象与性质中再讲 一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则：所有的变换都只针对x或y本体；x的变化只影响横方向，y的变化只影响纵方向 由此我们可以得到：函数图象纵方向的变换，如上下平移不会改变函数定义域；而横方向的 第 27 页 变换，如左右平移不会改变函数的值域 函数图象的三大变换：平移、对称、翻折 给定函数()f x，0a，函数图象的平移：包括上下平移与左右平移，得到()f xa与()f xa，见下图；函数图象的对称：得到()()()fxf xfx，见下图；函数图象的翻折：得到()f x与()f x，见下图 平移变换 对称变换 翻折变换 老师可以结合下面的小例子讲解这三个图象变换：平移：例：1f xx的图象向右平移 1 个单位得到1(1)1f xx；例：2()f xx的图象向上平移一个单位得到2()11f xx；例：已知函数 f x的定义域为01，则1f x的定义域为12，当一个函数平移时定义域也会平移，例如：f x定义域为24，1f x表示x向左平移 1 个单位，定义域也向左平 第 28 页 移 1 个单位，即为13，对称()fx与()f x不同，()f x是先f，再取负；()fx是先取负，再f“f x”负号加在函数值身上，x不变，函数值为原来的相反数 只是沿x轴把上下颠倒一下“fx”负号加在自变量身上，自变量在变，原来在1x 处取到的，现在在1处取到，原来在3x 取到的值现在在3 处取到()fx可以将()f x的图象分别按x轴对称一下，再按y轴对称一下，顺序不限 翻折：f x fx：先f再取绝对值，相当于把所有负的函数值变成正的，正的函数值保持不变即把x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的不变；()f x fx：先取绝对值再f，当0 x时，函数值不变；当0 x 时，取x处的函数值，第 29 页 所以原来y轴左边的图象直接被无视，而y轴右边的图象被翻折到y轴左边，最后得到的图象一定关于y轴对称 综上所述，可以得到一个很简单的结论，所有的函数变化，首先要看这个变化施加在谁身上，若施加在x身，那么它的变化将是横方向上的变化，若变化施加在y身上，它的变化将是纵向的 【铺垫】试用图象变换的知识画出下列函数的草图：【例5】（目标班专用）试用图象变换的知识画出下列函数的草图：【备注】只给出一种可行的方式，方式不唯一，需要明确的是：所有的变换都针对x本身，所以想得到1x 只能先翻折再平移，不能先平移再翻折 考点 5：函数的定义域 求函数定义域问题：具体函数的自然定义域：目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负；（自然定义域以后还会增加对数函数的真数不为知识点睛 第 30 页 零，指数函数的底数大于零且不等于1等，一个函数不标注定义域，则指得就是它的自然定义域，如1()1f xx，不需要再注明1x）限 制 定 义 域：人 为 规 定 的 限 制，如2()1 12f xxx，；实际背景的限制，如物理中的时间0t；再如实际问题中，一个物体的个数是非负整数等；抽象复合函数的定义域问题 1函数21()9|2f xxx的定义域是 2 已知函数 f x的定义域为23，则1f x的定义域为_；已知函数1f x的定义域为23，则 f x的定义域为_；已知函数(2)f x 的定义域为(01),，则(5)f x 的定义域为_【分析】以第小题为例：为什么会这样？可以从两个角度来理解：一是上面所说的图象的平移变换；()f x向右平移1个单位得到(1)f x，所以(1)f x 的定义域也是()f x的定义域向右平移一个单位得到的 暑假知识回顾 第 31 页 第二种理解是直接从对函数的理解入手：需理解 f x与1f x是两个不同函数；定义域是指x的范围而这两个函数的公共点在于f是有要求的，对于()f x而言只有当(23x，时才能被f作用，这个之外的数f就作用不了，所以f会对()内的数加以限制，同样的f的规则也会对1f x括号中的数加以限制，这样就得到一个基本的等价形式，都在f的作用下，()内的范围应相同 可以直接把对应的函数简单地构造出来，帮助学习理解，如 132f xxx满足定义域为(23，则1143f xxx，定义域为(34，【例6】若函数2()23f xxx的定义域为M，函数1()3xg xx的定义域为N，则MN R_；若函数1()4f xax的定义域为非空集合A，函数3()21xg xx的定义域为B，若ABA，则a的取值范围是_ （目标班专用）已知函数 21f xxaxb的定义域为非空集合A，函数 243g xkxxk的定义 域 为 非 空 集 合B 若ABBR，经典精讲 第 32 页|23RABxx，求实数ab，的值及实数k的取值范围 16ab ，k的取值范围是3|42kk 虽然抽象函数的定义域我们在暑期预习时已经讲过，但考虑到这是一个难点，所以在这里我们仍然安排了一道例题，老师可以根据暑假知识回顾的讲解，让学生再练习一下【例7】已知函数(1)f x 的定义域为(03),，则2()f x的定义域为_ 已知函数()f x的定义域为19，则函数()(1)(1)g xfxf x的定义域为_ 考点 6：函数的值域 在暑假预习时，我们学习了常见函数的值域问题：包括一次函数、二次函数与反比例函数及加上人为定义域限制后的值域问题，这样的问题借助于这些函数的图象可以很快得到结果，但计算上需要小心，特别是系数正负交替时很容易出错 1求下列函数的值域：暑假预习还讲到了简单的复合函数的值域，复合暑假知识回顾 第 33 页 函数就像加工厂，东西进去后经过一道又一道的工序，最后出来，比如你们从小学进入初中，从初中进入高中，从高中出来就变成一合格人才这是一个多道工序复合的过程，前一道工序出来的产品是后一道工序的原料，就像前一层复合的值域是后一道复合的定义域 求复合函数的值域是一层一层从内往外走，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层的处理就可以得到整个函数的值域了暑假的复合函数每层复合都非常清晰的，如下面的 2，我们会进一步研究更复杂的复合函数，见后面例题前的铺垫 2求下列函数的值域：值域的问题不同老师有不同的讲法，这很正常，因为到目前为止，没有一种公认的使所有函数都能求到值域的方式，还有很多函数的值域，是你们到目前为止，没有手法能求解出来的但求解值域问经典精讲 第 34 页 题有两个大致的方向，一个方向是借助于基本函数的图象解决我们熟悉的函数及其复合函数的值域问题，当然每个人熟悉的函数是不一样多的，后面我们也会学习更多的函数，比如对勾函数、指对函数，扩充我们的函数库；另一个是借助于代数基本变形求值域，比如配方法、换元法、分离常数法、判别式法等 当然，这两个方向不是完全独立的，很多时候，进行换元或者分离常数后，一个陌生的函数会转化为我们熟悉的函数，从而利用图象解决值域问题 在高中范围内，能借助于代数基本变形解决的值域问题通常次数差小于等于2，如：1xx，1xx，223xxx，2222xxx等，再比如1xx次数差也不超过2，这些问题都是可以解决的，往往都是通过换元法转化为二次函数相关的函数来求值域 如：222211121xxxxx；1xx中：令1tx，则转化为21tt，0t；包括1xx 第 35 页 都可以通过21122xxxx得到它的最小值，这个函数就是对勾函数，我们在下一讲函数的性质中熟悉这个函数的图象 换元法见例 8 的铺垫与第小题 分式函数：分式函数是高中挺常见的一类函数，形如()()p xq x的形式，其中()p x与()q x都是次数不超过2的多项式函数 一次比一次，如321xx，我们通过分离常数将分子化为常数，得到131x，这是反比例函数通过平移得到的函数；二次比一次，如2341xxx，令1tx，得到2221ttttt ，转化为对勾函数；一次比二次，如221xx，当0 x 时，将分子除下来得到2122xx，分母即为的形式；二次比二次，如22211xxxx，通过分离常 第 36 页 数将分子化为一次的，得到2111xxx，转化为的形式；一次分式函数的值域问题见例 8二次分式函数的值域在对勾函数讲完在期中复习一讲再讲 判断式法：（不在例题中出现，供选讲）对于分式函数，还有一种处理方式是判别式法，近年来这种方法在高考与模拟考试中基本没有用过，而且只对定义域不受限的情形才方便使用，可以用判别式法解决的问题用上面的代数变形也可以解决，所以判别式法老师可以选择性的作个介绍 求函数222424xxyxx的值域 解：将y看成参数，去分母整理得：2(1)2(1)4(1)0yxyxy （*），当1y 时，此方程有解；当1y 时，此 方 程 有 解224(1)16(1)0yy，解得133y，且1y 综上知，当133y，（*）有解，第 37 页 即对于这样的y，存在x使得2(1)2(1)4(1)0yxyxy成 立，也 即222424xxyxx，所以我们求出来的范围即为函数的值域 练习：求函数22452xxyxx的值域 解：将y看成参数，去分母整理得到关于x的方程：2(1)(4)(25)0yxyxy，当1y 时，方程有解，故1在值域内；当1y 时，此 方 程 有 解22(4)4(1)(25)74360yyyyy ，解得1827y，且1y 综上知，函数的值域为1827，【铺垫】求下列函数的值域：其实换元法求值域与通过复合函数由内而外一层层求值域是完全一致的【例8】求下列函数的值域：(目标班专用)5yxx|1yyR，且6y ；【拓展】函数222522yxxxx的值域是_ 下图展示了一个由区间01，到实数集R的映射过 第 38 页 程：区间01，中的实数m对应数轴上的点M，如图 1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图 2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为01，如图 3图 3中直线AM与x轴交于点0N n，则m的象就是n，记作 f mn 方程 0f x 的解是x ；()00f xn，AMN，三点共线122ABAM；14514AMOAMONOA，且点N在x轴负半轴，1n 34514AMOAMONOA，且点N在x轴正半轴，1n 【演练 1】设函数2211()21xxf xxxx，则1(2)ff的值为（）A1516 B2716 C89 D18【解析】A【演练2】设22()1xf xx，则11(2012)(2013)20122013ffff_ 实战演练 m10NMMMAA(B)BAxyO图图图 第 39 页【演练 3】函数256()1xxf xx的定义域为_ 若函数()yf x的定义域为11xx，那么(21)fx 的定义域是_ A01xx B31xx C11xx D10 xx A【演练 4】已知2()2()3f xfxxx，则()f x（）A213xx B2133xx C2133xx D23xx【解析】B；【演练 5】已知定义在R上的函数()f x满足()()()f xyf xf y（xyR，），若(4)9f，则(4)f _，(2)f_【演练 6】求下列函数的值域：3yxx；22566xxyxx 已知()f x是定义在R上的函数，(0)0f，且对任意 的xR都 有(9)()9f xf x，(3)()3f xf x，则(2013)f 因此上述的不等式都取等号，即(3)()3f xf x，故易知(2013)3 671(0)2013ff 大千世界