高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用教师用书文新人教A版.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用第应用第 9 9 节函数模型及其应用教师用书文新人教节函数模型及其应用教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)(2)反比例函数模型：yb(k，b 为常数且 k0)(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)(4)指数函数模型：ya·bxc(a，b，c 为常数，b0，b1，a0)(5)对数函数模型：ymlogaxn(m，n，a 为常数，a0，a1，m0)(6)幂函数模型：ya·xnb(a0)2三种函数模型之间增长速度的比较函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表随n值变化而各2 / 14现为与y轴平行现为与x轴平行有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有 logaxxnax3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大( )(2)幂函数增长比直线增长更快( )(3)不存在 x0，使 ax0xlogax0.( )(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)g(x)( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)2已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )A100 只 B200 只C300 只D400 只B 由题意知 100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当 x8 时，y100log3 9200.3(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列3 / 14一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y2xBylog2xCy(x21)Dy2.61cos xB 由表格知当 x3 时，y1.59，而 A 中 y238，不合要求，B 中 ylog23(1,2)，C 中 y(321)4，不合要求，D 中y2.61cos 30，不合要求，故选 B.4一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为( ) 【导学号：31222069】B 由题意 h205t,0t4.结合图象知应选 B.5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_1 设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)1p1q(1q)，x1.用函数图象刻画变化过程(1)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是( )A B C D(2)已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线BCDA 向 A 点运动设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 S，则函4 / 14数 Sf(x)的图象是( )【导学号：31222070】A B C D(1)A (2)D (1)前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选 A.(2)依题意知当 0x4 时，f(x)2x；当 40)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )D y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除 A，C.又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D.应用所给函数模型解决实际问题某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 2­9­1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2­9­1.(注：利润和投资单位：万元)5 / 14 图 2­9­1(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0).3 分(2)由(1)得 f(9)2.25，g(9)26，所以总利润 y8.25 万元.5 分设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为 y 万元则 y(18x)2，0x18.7 分令t，t0,3，则 y(t28t18)(t4)2.所以当 t4 时，ymax8.5，9 分此时 x16,18x2.所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5 万元.12 分规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围6 / 14变式训练 2 (2017·西××区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)已知某家庭 2016 年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4 m34 元二月份25 m314 元三月份35 m319 元若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为( )A11.5 元 B11 元C10.5 元D10 元A 根据题意可知 f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得 A5，B，C4，所以 f(x)所以 f(20)4(205)11.5，故选 A. 构建函数模型解决实际问题(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( )A2018 年B2019 年C2020 年D2021 年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价收费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费 1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.7 / 14(1)B (2)9 (1)设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元由 130(112%)n>200，得 1.12n>，两边取常用对数，得 n>，n4，从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元(2)设出租车行驶了 x km，付费 y 元，由题意得yError!当 x8 时，y19.7522.6，因此由 82.15×52.85×(x8)122.6，得 x9.规律方法 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建 f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制变式训练 3 (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40QQ2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元2 500 L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元思想与方法1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础8 / 142实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原易错与防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性课时分层训练课时分层训练( (十二十二) ) 函数模型及其应用函数模型及其应用A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1在某个物理试验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：【导学号：31222071】x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对 x，y 最适合的拟合函数是( )Ay2x Byx21Cy2x2Dylog2 xD 根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 B、C；将各数据代入函数ylog2 x，可知满足题意9 / 142某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A118 元B105 元C106 元D108 元D 设进货价为 a 元，由题意知 132×(110%)a10%a，解得 a108，故选 D.3一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图 2­9­2 甲、乙所示某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示. 【导学号：31222072】图 2­9­2给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水不出水，则一定正确的是( )ABCDA 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以 0 点到 3点不出水，3 点到 4 点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是.4将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A85 元B90 元C95 元D100 元C 设每个售价定为 x 元，则利润y(x80)·400(x90)·2020(x95)2225，10 / 14当 x95 时，y 最大 5(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 yaent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有 L，则 m 的值为( )A5 B8 C9 D10A 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数 yf(t)aent 满足 f(5)ae5na，可得 nln，f(t)a·，因此，当 k min 后甲桶中的水只有 L 时，f(k)a·a，即，k10，由题可知 mk55，故选 A.二、填空题6在如图 2­9­3 所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_m.【导学号：31222073】图 2­9­320 设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性质可得，解得 y40x，所以面积 Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，当 x20 时，Smax400.7某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知 lg 20.301 0，lg 11 / 1430.477 1)8 设过滤 n 次才能达到市场要求，则 2%n0.1%，即 n，所以 nlg1lg 2，所以 n7.39，所以 n8.8(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时24 由已知条件，得 192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192×324.三、解答题9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解 (1)由已知条件得 C(0)8，则 k40，2 分因此 f(x)6x20C(x)6x(0x10).5 分(2)f(x)6x101021070(万元)，7 分12 / 14当且仅当 6x10，即 x5 时等号成立，10 分所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元.12 分10国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)设旅行团人数为 x，由题得 00)14 / 14(1)如果 m2，求经过多少时间，物体的温度为 5 ；(2)若物体的温度总不低于 2 ，求 m 的取值范围解 (1)若 m2，则 2·2t21t2，当 5 时，2t，2 分令 2tx(x1)，则 x，即 2x25x20，解得 x2 或 x(舍去)，2t2，即 t1，经过 1 min，物体的温度为 5 .5 分(2)物体的温度总不低于 2 ，即 2 恒成立，即 m·2t2 恒成立，亦即 m2 恒成立.7 分令x，则 0<x1，m2(xx2).10 分xx22，m.因此，当物体的温度总不低于 2 时，m 的取值范围是.12 分