高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例增分练.doc

1 / 6【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数解章三角函数解三角形第三角形第 7 7 讲解三角形的应用举例增分练讲解三角形的应用举例增分练板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标1已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120°，则 A，C 两地间的距离为( )B10 kmA10 km D10 kmC10 km 答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得：AC21004002×10×20×cos120°700，AC10(km)22018·武汉模拟海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60°视角，从 B 望 C 和 A 成 75°视角，则BC( )B. n mileA10 n mile D5 n mileC5 n mile 答案 D解析 由题意可知，CAB60°，CBA75°，所以C45°，由正弦定理得，所以 BC5.3.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )B.a kmAa km D2a kmC.a km 答案 B解析 在ABC 中，由余弦定理得2 / 6AB2AC2BC22AC·BC·cosACBa2a22a2cos120°3a2，故|AB|a.42018·临沂质检在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30°、60°，则塔高为( )B. mA. m D. mC. m 答案 A解析 如图，由已知可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30°，ADC120°，又 AB200，AC.在ACD 中，由正弦定理，得，即 DC(m)AC sin120°5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )B6 km/hA8 km/h D10 km/hC2 km/h 答案 B解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin，从而 cos，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得 v6.6.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75°的斜坡改造成倾斜角为 30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.答案 1002解析 设坡底需加长 x m，由正弦定理得，解得 x100.7.如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B 与D 互补，则 AC 的长为3 / 6_km.答案 7解析 82522×8×5×cos(D)32522×3×5×cosD，cosD.AC7(km)8.2018·河南调研如图，在山底 A 点处测得山顶仰角CAB45°，沿倾斜角为 30°的斜坡走 1000 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75°，则山高 BC 为_米答案 1000解析 由题图知BAS45°30°15°，ABS45°(90°DSB)30°，ASB135°，在ABS 中，由正弦定理可得，AB1000，BC1000(米)9.2018·山西监测如图，点 A，B，C 在同一水平面上，AC4，CB6.现要在点 C 处搭建一个观测站 CD，点 D 在顶端(1)原计划 CD 为铅垂线方向，45°，求 CD 的长；(2)搭建完成后，发现 CD 与铅垂线方向有偏差，并测得30°，53°，求 CD2.(结果精确到 1)(本题参考数据：sin97°1，cos53°0.6)解 (1)CD 为铅垂线方向，点 D 在顶端，CDAB.又45°，CDAC4.(2)在ABD 中，53°30°83°，ABACCB4610，ADB180°83°97°，由得 AD5.在ACD 中，CD2AD2AC22AD·ACcos52422×5×4×cos53°17.10.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处(1)海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间4 / 6解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD 10t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222(1)×2×cos120°6，解得 BC.又，sinABC，ABC45°，故 B 点在 C 点的正东方向上，CBD90°30°120°，在BCD 中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30°，缉私船沿北偏东 60°的方向行驶又在BCD 中，CBD 120°，BCD30°，D30°，BDBC，即 10t，解得 t小时15 分钟缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟B 级 知能提升12018·天津模拟一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( )B10 海里A10 海里 D20 海里C20 海里 答案 A解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得 BC10(海里)2.某观察站 B 在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 出发的一条公5 / 6路的走向是南偏东 25°.现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C 处有一人正沿此公路骑车以 40 km/h 的速度向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达 D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为 8 km，则此人到达 A城还需要( )A40 min B42 min C48 min D60 min答案 C解析 由题意可知，CD40×10.cosBDC，cosADBcos(BDC)，sinABDsin(ADBBAD).在ABD 中，由正弦定理得，AD32，所需时间 t0.8 h，此人还需要 0.8 h 即 48 min 到达 A 城3.2014·全国卷如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60°，C 点的仰角CAB45°以及MAC75°；从 C 点测得MCA60°，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.答案 150解析 在 RtABC 中，AC100 m，在MAC 中，由正弦定理得，解得 MA100 m，在 RtMNA 中，MNMA·sin60°150 m.即山高 MN 为 150 m.4.如图所示，A，C 两岛之间有一片暗礁一艘小船于某日上午8 时从 A 岛出发，以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75°方向直线航行，下午 1 时到达 B 处然后以同样的速度沿北偏东 15°方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛(1)求 A，C 两岛之间的距离；(2)求BAC 的正弦值解 (1)在ABC 中，由已知，得 AB10×550(海里)，6 / 6BC10×330(海里)，ABC180°75°15°120°，由余弦定理，得 AC25023022×50×30cos120°4900，所以 AC70(海里)故 A，C 两岛之间的距离是 70 海里(2)在ABC 中，由正弦定理，得，sinBAC.故BAC 的正弦值是.5某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.(sin21.8° 3 314)解 如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos120°，所以212t210281t22×10×9t×，即 360t290t1000，解得t或 t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时 AB14，BC6.在ABC 中，根据正弦定理，得，所以 sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为 45°21.8°66.8°.所以舰艇以 66.8°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮