高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书文新人教A版.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量数系章平面向量数系的扩充与复数的引入第的扩充与复数的引入第 2 2 节平面向量的基本定理及坐标表节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书文新人教示教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成axiyj，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 a 在 x 轴上的坐标是x，a 在 y 轴上的坐标是 y.3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则2 / 12ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.a，b 共线x1y2x2y10.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)在ABC 中，设a，b，则向量 a 与 b 的夹角为ABC.( )(3)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则12，12.( )(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成.( )答案 (1)× (2)× (3) (4)×2已知平面向量 a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ( )A5 B. C. D13B 因为 ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3(2015·全国卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量( )3 / 12A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A (3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)BC故选 A.4(2016·全国卷)已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且ab，则 m_.6 a(m,4)，b(3，2)，ab，2m4×30，m6.5(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_(1,5) 设 D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其应用(1)如果 e1，e2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )Ae1 与 e1e2Be12e2 与 e12e2Ce1e2 与 e1e2De13e2 与 6e22e1(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F分别是边 CD 和 BC 的中点，若，其中 ，R，则_.(1)D (2) (1)选项 A 中，设 e1e2e1，则无解；选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则无解；4 / 12选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则无解；选项 D 中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得Error!所以 .规律方法 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于 ， 的方程组变式训练 1 如图 4­2­1，在梯形 ABCD 中，ADBC，且ADBC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点设a，b，则_，_，_(用向量 a，b 表示)图 4­2­1ba ba ab 1 3babba，bba，bab.平面向量的坐标运算已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量的坐标解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).2 分5 / 12(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).5 分(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得 8 分(3)设 O 为坐标原点3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20).10 分又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18).12 分规律方法 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言” ，实质是“形”化为“数” 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练 2 (2017·合肥三次质检)已知 a(1，t)，b(t，6)，则|2ab|的最小值为_2 由条件得 2ab(2t,2t6)，所以|2ab|，当t2 时，|2ab|的最小值为 2.平面向量共线的坐标表示(1)已知向量 a(1,1)，b(3，m)，若 a(ab)，则m( )A2 B2 C3 D36 / 12(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_(1)C (2)(2,4) (1)由题意可知 ab(2,1m)，a(ab)，2(m1)0m3.(2)在梯形 ABCD 中，DC2AB，2.设点 D 的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)(2,1)(1,2)(1，1)，AB(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得Error!故点 D 的坐标为(2,4)规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y10；(2)若 ab(a0)，则 ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练 3 (1)(2017·郑州模拟)已知向量 a(1sin ，1)，b，若 ab，则锐角 _.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是_. 【导学号：31222146】(1) (2)k1 (1)由 ab，得(1sin )(1sin )，7 / 12所以 cos2，所以 cos 或，又 为锐角，所以 .(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量，不共线因为(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，AC所以 1×(k1)2k0，解得 k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如 a1e12e2 的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值3若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)但表示形式与意义不同，如点 A(x，y)，向量 a(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成，因为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y10.课时分层训练课时分层训练( (二十五二十五) ) 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示A 组 基础达标8 / 12(建议用时：30 分钟)一、选择题1如图 4­2­2，设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：图 4­2­2与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )【导学号：31222147】A B C DB B 中，不共线；中，不共线；中，不共线中，不共线 2已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于( )Aab B.abCab DabB B 设设 c caabb，(1,2)1,2)(1,1)(1,1)(1(1，1)1)，cab.3已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么( ) 【导学号：31222148】Ak1 且 c 与 d 同向Bk1 且 c 与 d 反向Ck1 且 c 与 d 同向Dk1 且 c 与 d 反向D D 由题意可得由题意可得 c c 与与 d d 共线，则存在实数共线，则存在实数 ，使得，使得 c cdd，即，即解得解得 k k1.c1.ca ab b(a(ab)b)d d，故，故 c c 与与 d d 反向反向 9 / 124如图 4­2­3，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，xy，且2，则 ( )图 4­2­3Ax，y1 3Bx，y2 3Cx，y3 4Dx，y1 4A A 由题意知，又由题意知，又2 2，所以，所以( () )，所以，所以x x，y y.5(2015·广东茂名二模)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若 x，y 均为正数，则的最小值是( )B8 A24 D.C. 5 3B B abab，2x2x3(y3(y1)1)0 0，化简得 2x3y3.又x，y 均为正数，×(2x3y)×8，当且仅当时，等号成立，的最小值是 8，故选 B.二、填空题6(2017·陕西质检(二)若向量 a(3,1)，b(7，2)，则ab 的单位向量的坐标是_由题意得 ab(4,3)，则|ab|5，则 ab(4 5，3 5)10 / 12的单位向量的坐标为.7(2017·广州综合测评(二)已知平面向量 a 与 b 的夹角为，a(1，)，|a2b|2，则|b|_.2 2 由题意得由题意得|a|a|2 2，则，则|a|a2b|22b|2|a|2|a|24|a|b|cosa4|a|b|cosa，bb4|b|24|b|222224×2cos4×2cos |b|b|4|b|24|b|21212，解得，解得|b|b|2(2(负舍负舍) ) 8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点 A，B，C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是_. 【导学号：31222149】m 由题意得(3,1)，(2m,1m)，若 A，B，C 能构成三角形，则，不共线，则3×(1m)1×(2m)，解得 m.三、解答题9已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b). (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若2，求点 C 的坐标解 (1)由已知得(2，2)，(a1，b1).2 分A，B，C 三点共线，.2(b1)2(a1)0，即 ab2.5 分(2)2，(a1，b1)2(2，2).7 分解得Error!点 C 的坐标为(5，3).12 分10平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数 k.解 (1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，2 分11 / 12所以解得 5 分(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，7 分由题意得 2×(34k)(5)×(2k)0，解得 k.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016·四川高考)已知正三角形 ABC 的边长为 2，平面 ABC内的动点 P，M 满足|1，则|2 的最大值是( )B.A. 49 4D.C. 372 334B B 设设 BCBC 的中点为的中点为 O O，以点，以点 O O 为原点建立如为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则图所示的平面直角坐标系，则 B(B(，0)0)，C(C(，0)0)，A(0,3)A(0,3)又又|1 1，点点 P P 的轨迹方程为的轨迹方程为x2x2(y(y3)23)21.1.由知点由知点 M M 为为 PCPC 的中点，设的中点，设 M M点的坐标为点的坐标为(x(x，y)y)，相应点，相应点 P P 的坐标为的坐标为(x0(x0，y0)y0)，则，则Error!(2x)2(2y3)21，即 22，点 M 的轨迹是以 H 为圆心，r为半径的圆，|BH|3，|的最大值为 3r3，|2 的最大值为.2向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图 4­2­4 所示，若cab(，R)，则_. 【导学号：31222150】图 4­2­44 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，12 / 12(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23，解得 2，4.3已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点共线解 (1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).2 分当点 M 在第二或第三象限时，有Error!故所求的充要条件为 t2<0 且 t12t20.5 分(2)证明：当 t11 时，由(1)知(4t2,4t22).7 分(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，10 分AM与共线，又有公共点 A，A，B，M 三点共线.12 分