近年年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用练习(含解析)新人教A版.pdf

第一课时 正、余弦定理在实际中的应用 1.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为(B)(A)a km (B）a km(C）a km （D）2a km 解析:由题意得ACB=120,AB2=a2+a22a2cos 120=3a2,所以 AB=a.故选 B.2.设在南沙群岛相距 10 n mile 的 A，B 两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只 C 非法进入我领海。若在 A 望 C 和 B 成 60的视角，在 B 望 C 和 A 成 75的视角,则船只 C 距离最近观测站（C）(A)5 n mile （B)5 n mile（C）5 n mile(D）5 n mile 解析:结合题意作图如图，由 BA 得 BCAC，故船只 C 距离观测站 B 近.因为在ABC 中,因为=,所以 BC=5（n mile）.故选 C。3.一海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行,30 分钟后到达 B处。在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65,那么 B，C 两点间的距离是（A)(A)10 海里 （B)10 海里(C）20 海里 （D)20 海里 解析：根据已知条件可知ABC 中,AB=20,BAC=30，ABC=105,所以C=45,由正弦定理，有=，所以 BC=10。故选 A。4.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15，与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 分钟到达 N 处后,又测得灯塔在货轮的北偏东 45,则货轮的速度为(B）(A）20（+)海里/时（B）20(-）海里/时（C）20(+)海里/时(D）20（)海里/时 解析:由题意得SNM=105,NSM=30，所以=,MN=,货轮速度 v=20()。故选 B.5。如图,设 A，B 两点在河的两岸，测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出 A，B 两点间的距离为（A)(A)50 m （B）50 m（C）25 m (D)m 解析：由正弦定理得=,又CBA=180-45-105=30,故 AB=50（m）。故选 A。6.如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 的距离，某同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C,然后给出三种测量方案(ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a，b,c）:测量 A，C，b;测量 a,b,C；测量 A,B，a.则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为(A)(A)（B）(C）(D）解 析:对 于 ，在 ABC 中,B=(A+C),所 以 sin B=sin(A+C）.由 正 弦 定 理 得=，所以 c=。对于,由余弦定理可得 c2=a2+b2 2abcos C，所以 c=。对于,在ABC 中，C=-(A+B)，所以 sin C=sin（A+B）,由正弦定理得=，所以 c=。故能确定 A，B 间距离的所有方案的序号为.故选 A.7。如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin 的值为(A)(A)(B)(C）(D)解析:连接 BC.在ABC 中，AC=10 海里,AB=20 海里,CAB=120。根据余弦定理得BC2=AC2+AB22ACABcosCAB=100+400+200=700，所以 BC=10海里。根据正弦定理得=,即=，所以 sinACB=，即 sin=.故选 A.8。如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30,塔底 C与 A 的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为(A)（A）600 m（B)600 m（C）200 m(D）200 m 解析：在ACM 中,MCA=60-15=45,AMC=18060=120，由正弦定理得=，即=，解得 AC=600,在ACD 中，因为 tanDAC=,所以 CD=ACtanDAC=600=600。故选 A.9.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30，此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于（C）（A）240（-1）m（B)180(-1)m（C)120(1)m(D）30（+1)m 解析:因为 AB=，=,所以 BC=120(-1).故选 C。10。如图，为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点。从 A 点测得 M 点的仰角MAN=60，C 点的仰角CAB=45以及MAC=7 5 ;从C点 测 得 M C A=6 0 .已 知 山 高B C=1 0 0 m，则 山 高M N=m.解析：在 RtABC 中,CAB=45，BC=100,所以 AC=100.在AMC 中，MAC=75,MCA=60，从而AMC=45，由正弦定理得,=，因此 AM=100.在 RtMNA 中,AM=100，MAN=60,由=sin 60得 MN=100=150。答案：150 11.如图所示,B,C,D 三点在地面的同一直线上,DC=a，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为和（),则 A 点距地面的高度 AB 为 .解析:AB=ACsin,=，解得 AB=.答案:12。如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20的方向，从城 A 出发有一条走向为南偏东 40的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去，行驶了20 km 后到达 D 处，测得 C,D 两处的距离为 21 km,这时此车距离 A 城 km.解析：在BCD 中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得 cosBDC=，所以 sinBDC=，在ACD 中，由条件知 CD=21 km，CAD=60,所以 sinACD=sin（BDC-60)=+=.由正弦定理得=，所以 AD=15(km）,故这时此车距离A 城 15 km。答案:15 13.如图所示，已知树顶 A 离地面米,树上另一点 B 离地面米，某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树 米时,看 A，B 的视角最大。解析:过 C 作 CFAB 于点 F(图略),设ACB=，BCF=.由已知得 AB=5（米)，BF=-=4（米），AF=-=9（米）。则 tan（+)=,tan=,所以 tan=tan（+)=.当且仅当 FC=，即 FC=6时,tan 取得最大值,此时取得最大值。答案：6 14.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120的方向航行,已知河水速度为 2 km/h,则经过 h，该船实际航程为 。解析:如图所示,水流速和船速的合速度为 v,在OAB 中，OB2=OA2+AB2-2OAABcos 60，所以 OB=v=2（km/h）。即船的实际速度为2 km/h，则经过小时，其路程为 2=6(km）。答案:6 km 15.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为 米.解析：连接 OC（图略)，在OCD 中,OD=100，CD=150,CDO=60。由余弦定理得OC2=1002+1502-2100150cos 60=17 500,解得 OC=50(米）。答案：50 16。一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10：00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处,且与它相距 8海里.此船的航速是 海里/小时.解析：在ABS 中,易知BAS=30，ASB=45,且边 BS=8,利用正弦定理可得=,即=得 AB=16，又因为从 A 到 S 匀速航行时间为半个小时，所以速度应为=32(海里/小时）。答案:32 17.我舰在岛 A 南偏西 50方向相距 12 n mile 的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10的方向以 10 n mile/h 的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度为 。解析：设我舰速度为 v n mile/h,在 C 处追上敌舰，由题意易知在ABC 中,AC=102=20，AB=12，BAC=120,所以 BC2=AB2+AC22ABACcos 120=784,所以 BC=28,所以 v=14（n mile/h）.答案：14 n mile/h 18。某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为 15的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部 B 的仰角分别为 60和 30,第一排和最后一排的距离为 10 米(如图所示）,旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为 50秒,升旗手应以约多大的速度匀速升旗?解：由题意易知BCD 中，BDC=30+15=45,CBD=60-30=30，CD=10 米,由正弦定理，得 BC=20（米)。在 RtABC 中，AB=BCsin 60=20=30（米），所以升旗速度约为=0。6（米/秒)，即升旗手应以约0。6 米/秒的速度匀速升旗。19.如图所示,为了了解某海域海底的构造,在海平面内一条直线上的 A，B,C 三点进行测量。已知 AB=50 m,BC=120 m，于 A 处测得水深 AD=80 m，于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m，求DEF 的余弦值。解:如图所示,作 DMAC 交 BE 于 N,交 CF 于 M，作 FHAC 交 BE 于 H.由题中所给数据得 DF=10，DE=130，EF=150。在DEF 中,由余弦定理,得 cosDEF=。所以DEF 的余弦值为。20。一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由 A 点开始做匀速直线运动,到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动，如图所示,已知 AB=4 dm，AD=17 dm,BAD=45,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?解:设机器人最快可在点 C 处截住足球，点 C 在线段 AD 上,连接 BC，如图所示,设 BC=x dm,由题意知 CD=2x dm，AC=AD-CD=（172x)dm.在ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC22ABACcos A，即 x2=(4）2+(17-2x)28(172x)cos 45,解得 x1=5，x2=。所以 AC=172x=7(dm）或 AC=-(dm）(舍去).所以该机器人最快可在线段 AD 上离 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We 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