(完整版)导数的概念及其运算高考数学知识点总结高考数学真题复习.pdf

3.1 导数的概念及其运算 复习备考要这样做 1.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程 1 函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率 函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率为fx2fx1x2x1，若 xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为yx.2 函数 yf(x)在 xx0处的导数(1)定义 称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率limx0 fx0 xfx0 xlimx0 yx为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)limx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x.(2)几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)3 函数 f(x)的导函数 称函数 f(x)limx0 fxxfxx为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y.4 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)_0_ f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ax(a0)f(x)axln_a f(x)ex f(x)ex f(x)logax (a0，且 a1)f(x)1xln a f(x)ln x f(x)1x 5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxgxfxgxfxgxgx2 (g(x)0)难点正本 疑点清源 1 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)是一个常数；(2)函数 yf(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而言的 如果函数 yf(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0都对应着一个确定的导数 f(x0)这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f(x)在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数 2 曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线 yf(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条 1 f(x)是函数 f(x)13x32x1 的导函数，则 f(1)的值为_ 答案 3 解析 f(x)x22，f(1)(1)223.2.如图，函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)_.答案 2 解析 如图可知，f(5)3，f(5)1，因此 f(5)f(5)2.3 已知 f(x)x23xf(2)，则 f(2)_.答案 2 解析 由题意得 f(x)2x3f(2)，f(2)223f(2)，f(2)2.4 已知点 P 在曲线 f(x)x4x 上，曲线在点 P 处的切线平行于 3xy0，则点 P 的坐标为_ 答案(1,0)解析 由题意知，函数 f(x)x4x 在点 P 处的切线的斜率等于 3，即 f(x0)4x3013，x01，将其代入 f(x)中可得 P(1,0)5曲线 yxx2在点(1，1)处的切线方程为_ 答案 y2x1 解析 易知点(1，1)在曲线上，且 yx2xx222x22，切线斜率 ky|x1212.由点斜式得切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.题型一 利用定义求函数的导数 例 1 利用导数的定义求函数 f(x)x3在 xx0处的导数，并求曲线 f(x)x3在 xx0处的切线与曲线 f(x)x3的交点 思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键 解 f(x0)limxx0 fxfx0 xx0 limxx0 x3x30 xx0 limxx0(x2xx0 x20)3x20.曲线 f(x)x3在 xx0处的切线方程为 yx303x20(xx0)，即 y3x20 x2x30，由 yx3，y3x20 x2x30，得(xx0)2(x2x0)0，解得 xx0，x2x0.若 x00，则交点坐标为(x0，x30)，(2x0，8x30)；若 x00，则交点坐标为(0,0)探究提高 求函数 f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量 ff(x2)f(x1)；(2)计算平均变化率fxfx2fx1x2x1；(3)计算导数 f(x)limx0 fx.利用导数的定义，求：(1)f(x)1x在 x1 处的导数；(2)f(x)1x2的导数 解(1)yxf1xf1x11x1x 11xx1x11xx1x11x xx1x1x11x1x，f(1)limx0 yxlimx0 11x1x12.(2)yxfxxfxx 1x2x1x2x x2x2xxx2x2x 1x2x2x，f(x)limx0 yxlimx0 1x2x2x1x22.题型二 导数的运算 例 2 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsin x2cos x2；(4)y(x1)1x1.思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导 解(1)y(exln x)exln xex1x ex(ln x1x)(2)yx311x2，y3x22x3.(3)先使用三角公式进行化简，得 yxsin x2cos x2x12sin x，yx12sin x x12(sin x)112cos x.(4)先化简，y x1x x1x1x12x12，y12x1212x3212 x11x.探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导 求下列各函数的导数：(1)y11 x11 x；(2)ycos 2xsin xcos x；(3)ysin x212cos2x4；(4)y(x1)(x2)(x3)解(1)y11 x11 x21x，y21x21x1x221x2.(2)ycos 2xsin xcos xcos xsin x，ysin xcos x.(3)ysin x2cos x212sin x，y12sin x 12(sin x)12cos x.(4)方法一 y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.方法二 y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.题型三 导数的几何意义 例 3 已知曲线 y13x343.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 1 的曲线的切线方程 思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程 解(1)P(2,4)在曲线 y13x343上，且 yx2，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y|x24.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)设曲线 y13x343与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x3043，则切线的斜率为 y|xx0 x20.切线方程为 y13x3043x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2,4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为 x201，x01.切点为(1,1)或1，53，切线方程为 y1x1 或 y53x1，即 xy20 或 3x3y20.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标(2)切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其它的公共点 已知抛物线 yax2bxc 通过点 P(1,1)，且在点 Q(2，1)处与直线 yx3 相切，求实数 a、b、c 的值 解 y2axb，抛物线在点 Q(2，1)处的切线斜率为 ky|x24ab.4ab1.又点 P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得 a3，b11，c9.实数 a、b、c 的值分别为 3、11、9.一审条件挖隐含 典例：(14 分)设函数 yx22x2 的图象为 C1，函数 yx2axb 的图象为 C2，已知过C1与 C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求 a，b 之间的关系；(2)求 ab 的最大值 审题路线图 C1与 C2有交点(可设 C1与 C2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数 导数的几何意义 利用导数求两切线的斜率：k12x02，k22x0a 等价转换 (2x02)(2x0a)1(交点(x0，y0)适合解析式)y0 x202x02y0 x20ax0b，即 2x20(a2)x02b0 注意隐含条件方程同解 ab52 消元 aba52a a5422516 当 a54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答 解(1)对于 C1：yx22x2，有 y2x2，1 分 对于 C2：yx2axb，有 y2xa，2 分 设 C1与 C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即 4x202(a2)x02a10 又点(x0，y0)在 C1与 C2上，故有 y0 x202x02y0 x20ax0b 2x20(a2)x02b0 由消去 x0，可得 ab52.7 分(2)由(1)知：b52a，aba52a a5422516.10 分 当 a54时，(ab)最大值2516.12 分4 温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点 P(x0，y0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧 1 在对导数的概念进行理解时，特别要注意 f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在 xx0处的导数值，不一定为 0；而(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 失误与防范 1 利用导数定义求导数时，要注意到 x 与 x 的区别，这里的 x 是常量，x 是变量 2 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 3 求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 4 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于 ()A1 B2 C2 D0 答案 B 解析 f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且 f(1)2，f(1)2.2 已知 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0等于 ()Ae2 Be C.ln 22 Dln 2 答案 B 解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由 f(x0)2，即 ln x012，解得 x0e.3 若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为 ()A4xy30 Bx4y50 C4xy30 Dx4y30 答案 A 解析 切线 l 的斜率 k4，设 yx4的切点的坐标为(x0，y0)，则 k4x304，x01，切点为(1,1)，即 y14(x1)，整理得 l 的方程为 4xy30.4 若曲线 yx12在点(a，a12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a 等于 ()A64 B32 C16 D8 答案 A 解析 yx12，y12x32，曲线在点(a，a12)处的切线斜率 k12a32，切线方程为 ya1212a32(xa)令 x0 得 y32a12；令 y0 得 x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S123a32a1294a1218，a64.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 若以曲线 y13x3bx24xc(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数 b 的取值范围为_ 答案 2,2 解析 yx22bx4，y0 恒成立，4b2160，2b2.6 设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f2sin xcos x，则 f4_.答案 2 解析 因为 f(x)f2sin xcos x，所以 f(x)f2cos xsin x，所以 f2f2cos 2sin 2，即 f21，所以 f(x)sin xcos x，故 f4cos 4sin 4 2.7 已知函数 f(x)，g(x)满足 f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(x)1，则函数 yfx2gx的图象在 x5 处的切线方程为_ 答案 5x16y30 解析 由 yfx2gxh(x)知 yh(x)fxgxfx2gxgx2，得 h(5)f5g5f52g5g52 3452142516.又 h(5)f52g552474，所以切线方程为 y74516(x5)，即 5x16y30.三、解答题(共 22 分)8(10 分)已知曲线 yx3x2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4xy10，且点 P0在第三象限(1)求 P0的坐标；(2)若直线 ll1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程 解(1)由 yx3x2，得 y3x21，由已知令 3x214，解之得 x1.当 x1 时，y0；当 x1 时，y4.又点 P0在第三象限，切点 P0的坐标为(1，4)(2)直线 ll1，l1的斜率为 4，直线 l 的斜率为14.l 过切点 P0，点 P0的坐标为(1，4)，直线 l 的方程为 y414(x1)，即 x4y170.9(12 分)已知函数 f(x)x在 x14处的切线为 l，直线 g(x)kx94与 l 平行，求 f(x)的图象上的点到直线 g(x)的最短距离 解 因为 f(x)x，所以 f(x)12 x.所以切线 l 的斜率为 kf141，切点为 T14，12.所以切线 l 的方程为 xy140.因为切线 l 与直线 g(x)kx94平行，所以 k1，即 g(x)x94.f(x)的图象上的点到直线 g(x)x94的最短距离为切线 l：xy140 与直线 xy940之间的距离，所以所求最短距离为94142 2.B 组 专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1 若函数 f(x)x2bxc 的图象的顶点在第四象限，则函数 f(x)的大致图象是()答案 A 解析 f(x)x2bxcxb22b24c，由 f(x)的图象的顶点在第四象限得b20，b0，所以由基本不等式可得 k42ex1ex21.又 k0，所以1k0，即1tan 0.所以34.故选 D.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 若函数 f(x)13x312f(1)x2f(2)x5，则曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线 l 的方程为_ 答案 xy50 解析 f(x)x2f(1)xf(2)，f11f1f2f242f1f2，f(2)1，f(1)1.f(x)13x312x2x5，f(x)x2x1.f(0)1，f(0)5.曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 yx5.5.已知函数 yf(x)及其导函数 yf(x)的图象如图所示，则曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程是_ 答案 xy20 解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线 yf(x)在点 P 处的切线 的 斜 率 k f(2)1，又过点 P(2,0)，所以切线方程为 xy20.6 曲边梯形由曲线 yx21，y0，x1，x2 所围成，过曲线 yx21，x1,2上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_ 答案 32，134 解析 设 P(x0，x201)，x1,2，则易知曲线 yx21 在点 P 处的切线方程为 y(x20 1)2x0(xx0)，令 y2x0(xx0)x201g(x)，由 g(1)g(2)2(x201)2x0(1x02x0)，得 S普通梯形g1g221x203x01 x0322134，所以当 P 点坐标为32，134时，S普通梯形最大 三、解答题 7(13 分)设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 解(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是 2ab212，ab474，解得 a1，b3.故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x013x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面 积为S126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.