近年年高中数学第一章解三角形1.2应用举例(第1课时)解三角形的实际应用举例巩固提升(含解析)新人教.pdf
第 1 课时 解三角形的实际应用举例 学生用书P83(单独成册）A 基础达标 1若水平面上点B在点A南偏东 30方向上，则在点A处测得点B的方位角是()A60 B.120 C150 D210 解析：选 C。方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角如图所示，点B的方位角是 18030150。故选 C。2某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔A在观察站C的北偏东 30方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(）A500 米 B。600 米 C700 米 D800 米 解析：选 C。由题意，在ABC中,AC300 米，BC500 米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos 120,所以AB700 米，故选 C。3有一坡面长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30,则坡底要延长()A5 m B.10 m C10错误!m D10错误!m 解析：选 C.如图，BDA75，ACB30，DBC45，BD10 m由正弦定理，得错误!错误!，所以CDBDsinDBCsinBCD10sin 45sin 3010错误!（m）4一船向正北方向航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西 75方向，则这艘船的速度是（）A5错误!海里/时 B。5 海里/时 C10错误!海里/时 D10 海里/时 解析：选 D。如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10 海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5 海里,所以这艘船的速度是 10海里/时故选 D.5某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（)A5 km B.10 km C5错误!km D5错误!km 解析：选 C.作出示意图（如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置,点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120,AC15,由正弦定理,得错误!错误!，即BC错误!5错误!，即这时船与灯塔的距离是 5错误!km.6.如图所示为一角槽，已知ABAD,ABBE，并测量得AC3 mm，BC2错误!mm，AB错误!mm,则ACB_ 解析：在ABC中，由余弦定理得 cosACB错误!错误!。因为ACB（0，），所以ACB34。答案：错误!7湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西 15方向，汽车向南行驶 1 km 后，又测得小岛在南偏西 75方向，则小岛到公路的距离是_km.解析：如图,CAB15,CBA18075105，ACB1801051560,AB1 km.由正弦定理得错误!错误!，BC错误!错误!(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75错误!错误!错误!（km)答案:错误!8一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点A向北偏东 30前进 100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是_m。解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中,BAC60,ACh，AB100,BC错误!h,根据余弦定理,得(错误!h）2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)（h100)0，解得h50，故水柱的高度是 50 m。答案:50 9。如图,观测站C在目标A的南偏西 20方向，经过A处有一条南偏东 40走向的公路,在C处观测到与C相距 31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走 20 km 到达D处，此时测得C，D相距 21 km，求D，A之间的距离 解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km。在BCD中,由余弦定理，得 cosBDC错误!错误!.设ADC，则 cos 错误!，sin 错误!.在ACD中，由正弦定理ADsin ACD错误!，得错误!错误!,所以AD错误!sin（60）错误!错误!15（km)，即所求的距离为15 km.10空中有一气球D,在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为 45,同时在气球的南偏东 60方向的地面上有一点B,测得气球的仰角为 30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度 解:如图，设CDx，在 RtACD中，DAC45，所以ACCDx。在 RtBCD中，CBD30，所以CB错误!错误!x.在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以 2662x2（错误!x）22x错误!x错误!,所以x38错误!（m)所以气球的高度为 38错误!m。B 能力提升 11.如图，某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角ABC120，从B处攀登 400 米后到达D处，再看索道AC,发现张角ADC150，从D处再攀登 800 米到达C处,则索道AC的长为_米 解析：在ABD中，BD400，ABD120,因为ADB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，AD错误!400错误!。在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400错误!)280022400错误!800cos 150400213,所以AC400错误!,故索道AC的长为 400错误!米 答案：400错误!12。如图，某海轮以 60 海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东 60方向，向北航行 40 分钟后到达B点，测得油井P在南偏东 30方向，海轮改为北偏东 60的航向再行驶 80 分钟到达C点，则P，C间的距离为_海里 解析：因为AB40，BAP120,ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 120 40240224040错误!4023,所以BP40错误!.又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2（40错误!）280211 200，所以PC40错误!海里 答案：40错误!13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3，1)，直线OB的倾斜角为 45，且OB|错误!.（1）求点B的坐标及线段AB的长度;(2）在平面直角坐标系xOy中,取 1 厘米为单位长度现有一质点P以 1 厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为 60的射线BC运动，另一质点Q同时以错误!厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？解：（1)设点B（x0，y0)，依题意x0错误!cos 451，y0 2sin 451，从而B(1，1)，又A（3，1），所以ABx轴，则|AB|1(3)4.(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则AC 2t，BCt.由ABx轴及BC的倾斜角为 60，得ABC120.在ABC中,由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcos 120,所以 2t216t28t错误!,化简得t24t160，解得t22错误!（舍去)或t22错误!。即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(22错误!)秒 14（选做题)如图，在海岛A上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站P（观察站高度忽略不计)，上午 11 时，测得一轮船在岛北偏东 30方向，俯角为 30的B处，到 11时 10 分又测得该船在岛北偏西 60方向，俯角为 60的C处 （1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远?解:(1)在 RtPAB中,APB60，AP1，所以ABAPtan 60错误!。在 RtPAC中，APC30，所以ACAPtan 30错误!。在ACB中，CAB306090，所以BCAC2AB2错误!错误!.则船的航行速度为错误!错误!2错误!(千米/时)(2)在ACD中，DAC906030，sinDCA sin(180ACB）sinACB错误!错误!错误!，sinCDAsin（ACB30)sinACBcos 30cosACBsin 30 错误!错误!错误!错误!错误!.由正弦定理得错误!错误!，所以AD错误!错误!错误!。故此时船距岛A有错误!千米 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.
