成人高考高数复习资料.pdf

.第一章 函数、极限和连续 1.1 函数 一、主要容 函数的概念 1.函数的定义:y=f(*),*D 定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy 3.隐函数:F(*,y)=0 4.反函数:y=f(*)*=(y)=f-1(y)y=f-1(*)定理:如果函数:y=f(*),D(f)=*,Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(*),D(f-1)=Y,Z(f-1)=*且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性 1.函数的单调性:y=f(*),*D,*1、*2D 当*1*2时,假设 f(*1)f(*2),则称 f(*)在 D 单调增加()；假设 f(*1)f(*2),则称 f(*)在 D 单调减少()；假设 f(*1)f(*2),则称 f(*)在 D 严格单调增加()；假设 f(*1)f(*2),则称 f(*)在 D 严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-*)=f(*)奇函数：f(-*)=-f(*)3.函数的周期性：周期函数：f(*+T)=f(*),*(-，+)周期：T最小的正数 4.函数的有界性：|f(*)|M,*(a,b)根本初等函数 1.常数函数：y=c，(c 为常数)2.幂函数：y=*n,(n 为实数)3.指数函数：y=a*,(a0、a1)4.对数函数：y=loga*,(a0、a1)5.三角函数：y=sin*,y=con*y=tan*,y=cot*y=sec*,y=csc*6.反三角函数：y=arcsin*,y=arccon*y=arctan*,y=arccot*.复合函数和初等函数 1.复合函数：y=f(u),u=(*)y=f(*),*2.初等函数:由根本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 1.2 极 限 一、主要容 极限的概念 1.数列的极限:Aynnlim 称数列 ny以常数 A 为极限;或称数列 ny收敛于 A.定理:假设 ny的极限存在 ny必定有界.2.函数的极限：当x时，)(xf的极限：当0 xx 时，)(xf的极限：左极限：Axfxx)(lim0 右极限：Axfxx)(lim0 函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000 无穷大量和无穷小量 1 无穷大量：)(limxf.称在该变化过程中)(xf为无穷大量。*再*个变化过程是指：2 无穷小量：0)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3 无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)(,)(1lim0)(limxfxfxf 4 无穷小量的比拟：0lim,0lim 假设0lim,则称是比较高阶的无穷小量；假设clim c 为常数，则称与同阶的无穷小量；假设1lim，则称与是等价的无穷小量，记作：；假设lim,则称是比较低阶的无穷小量。定理：假设：；，2211 则：2121limlim 两面夹定理 1 数列极限存在的判定准则：.设：nnnzxy n=1、2、3 且：azynnnnlimlim 则：axnnlim 2 函数极限存在的判定准则：设：对于点*0的*个邻域的一切点 点*0除外有：且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00 则：Axfxx)(lim0 极限的运算规则 假设：BxvAxu)(lim,)(lim 则：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)(limxv 推论：)()()(lim21xuxuxun)(lim)(limxucxuc nnxuxu)(lim)(lim 两个重要极限.11sinlim0 xxx 或 1)()(sinlim0)(xxx 2exxx)11(limexxx10)1(lim 1.3 连续 一、主要容 函数的连续性 1.函数在0 x处连续：)(xf在0 x的邻域有定义，1o0)()(limlim0000 xfxxfyxx 2o)()(lim00 xfxfxx 左连续：)()(lim00 xfxfxx 右连续：)()(lim00 xfxfxx 2.函数在0 x处连续的必要条件：定理：)(xf在0 x处连续)(xf在0 x处极限存在 3.函数在0 x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx 4.函数在ba,上连续：)(xf在ba,上每一点都连续。.在端点a和b连续是指：)()(limafxfax 左端点右连续；)()(limbfxfbx 右端点左连续。a+0 b-*5.函数的连续点：假设)(xf在0 x处不连续，则0 x为)(xf的连续点。连续点有三种情况：1o)(x f在0 x处无定义；2o)(lim0 xfxx不存在；3o)(x f在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。两类连续点的判断：1o第一类连续点：特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx都存在。可去连续点：)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，或)(x f在0 x处无定义。2o第二类连续点：.特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为，或)(lim0 xfxx振荡不存在。无穷连续点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为 函数在0 x处连续的性质 1.连续函数的四则运算：设)()(lim00 xfxfxx，)()(lim00 xgxgxx 1o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 2o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 3o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx0)(lim0 xgxx 2.复合函数的连续性：则：)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 3.反函数的连续性：函数在,ba上连续的性质 1.最大值与最小值定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定存在最大值与最小值。y y.+M M f(*)f(*)0 a b *m -M 0 a b *2.有界定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定 有界。3.介值定理：)(xf在,ba上连续在),(ba至少存在一点，使得：cf)(，其中：Mcm y y M f(*)C f(*)0 ab *m 0 a12b *推论：)(xf在,ba上连续，且)(af与)(bf异号 在),(ba至少存在一点，使得：0)(f。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间都是连续的。第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 一、主要容 导数的概念 1导数：)(xfy 在0 x的*个邻域有定义，.2左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 定理：)(xf在0 x的左或右邻域上连续在 其可导，且极限存在；则：)(lim)(00 xfxfxx 或：)(lim)(00 xfxfxx 3.函数可导的必要条件：定理：)(xf在0 x处可导)(xf在0 x处连续 4.函数可导的充要条件：定理：)(00 xfyxx存在)()(00 xfxf，且存在。5.导函数：),(xfy),(bax)(xf在),(ba处处可导。y )(0 xf)(xf 6.导数的几何性质：y)(0 xf 是曲线)(xfy 上点x 00,yxM处切线的斜率。o *0 *求导法则 1.根本求导公式：.2.导数的四则运算：1ovuvu)（2ovuvuvu )（3o2vvuvuvu)0(v 3.复合函数的导数：dxdududydxdy，或)()()(xxfxf 注意)(xf与)(xf的区别：)(xf表示复合函数对自变量x求导；)(xf表示复合函数对中间变量)(x求导。4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或 函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念 1.微分：)(xf在x的*个邻域有定义，其中：)(xA与x无关，)(xo 是比拟x高 阶的无穷小量，即：0)(lim0 xxox 则称)(xfy 在x处可微，记作：2.导数与微分的等价关系：定理：)(xf在x处可微)(xf在x处可导，.且：)()(xAxf 3.微分形式不变性：不管 u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分dy都具有一样的形式。2.2 中值定理及导数的应用 一、主要容 中值定理 1.罗尔定理:)(xf满足条件:y )(f)(f)(xf a o b *a o b *2.拉格朗日定理：)(xf满足条件:罗必塔法则：,00 型未定式 定理：)(xf和)(xg满足条件：1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在点 a 的*个邻域可导，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax 则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax 注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。.2o假设不满足法则的条件，不能使用法则。即不是00型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。4o假设)(xf 和)(xg还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：5o假设函数是,0型可采用代数变 形，化成00或型；假设是00,0,1型可 采用对数或指数变形，化成00或型。导数的应用 1 切线方程和法线方程：设：),(),(00yxMxfy 切线方程：)(000 xxxfyy 法线方程：)0)(),()(10000 xfxxxfyy 2 曲线的单调性：),(0)(baxxf内单调增加；在),()(baxf),(0)(baxxf内严格单调增加；在),(ba 3.函数的极值：极值的定义：设)(xf在),(ba有定义，0 x是),(ba的一点；.假设对于0 x的*个邻域的任意点0 xx，都有：则称)(0 xf是)(xf的一个极大值或极小值，称0 x为)(xf的极大值点或极小值点。极值存在的必要条件：定理：0)()(.2)()(.100000 xfxfxfxf存在。存在极值 0 x称为)(xf的驻点 极值存在的充分条件：定理一：当x渐增通过0 x时，)(xf由+变-；则)(0 xf为极大值；当x渐增通过0 x时，)(xf由-变+；则)(0 xf为极小值。定理二：是极值点。是极值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf 假设0)(0 xf，则)(0 xf为极大值；假设0)(0 xf，则)(0 xf为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：假设baxxf,0)(；则)(xf在),(ba是上凹的 或凹的，；.假设baxxf,0)(；则)(xf在),(ba是下凹的或凸的，；的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf 5。曲线的渐近线：水平渐近线：铅直渐近线：第三章 一元函数积分学 3.1 不定积分 一、主要容 重要的概念及性质：1原函数：设：DxxFxf),(),(假设：)()(xfxF 则称)(xF是)(xf的一个原函数，并称CxF)(是)(xf的所有原函数,其中 C 是任意常数。2不定积分：函数)(xf的所有原函数的全体，称为函数)(xf的不定积分；记作：其中：)(xf称为被积函数；dxxf)(称为被积表达式；x称为积分变量。3.不定积分的性质：.)()(xfdxxf 或：dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(或：Cxfxdf)()(dxxfxfxfn)()()(21 分项积分法 dxxfkdxxkf)()(k 为非零常数)4.根本积分公式：换元积分法：第一换元法：又称凑微元法 常用的凑微元函数有：1o)(1)(1baxdaaxdadx)0,(aba为常数，2o)()1(11111baxdmadxmdxxmmm 3o)(1)(baedaeddxexxx 4o)(ln1xddxx 5o)(sincos)(cossinxdxdxxddx.6o)(arccos)(arcsin112xdxddxx 2.第二换元法：第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o0,tntxn为偶数时 (当被积函数中有nx时)2o20),cos(,sintxaxtax或(当被积函数中有22xa 时)3o)0(,0),cot(,tan22tttaxtax或(当被积函数中有22xa 时)4o)0(,0),csc(,sec22tttaxtax或(当被积函数中有22ax 时)分部积分法：1.分部积分公式：2.分部积分法主要针对的类型：xdxxPxdxxPcos)(,sin)(dxexPx)(xdxxPln)(.xdxxPxdxxParccos)(,arcsin)(bxdxebxdxeaxaxcos,sin 其中：nnnaxaxaxP110)(多项式 3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作 dv;简称三多项选择多。在指数函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作 dv;简称指多项选择多。在多项式乘对数函数中，令ux ln，其余记作 dv;简称多对选对。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为 u，其余记作 dv;简称多反选反。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为 u，其余记作 dv;简称指三任选。简单有理函数积分：1.有理函数：)()()(xQxPxf 其中)()(xQxP和是多项式。2.简单有理函数：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf)()()(bxaxxPxf.baxxPxf2)()()(3.2 定积分 f(*)一 主要容 一.重要概念与性质 1.定积分的定义：O a*1*2*i-1 i*i *n-1 b*定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于*轴，曲线 y=f(*),直线*=a,*=b 之间各局部面积的代数和。*轴上方的面积取正号，y*轴下方的面积取负号。+a 0 -b *2.定积分存在定理：假设：f(*)满足以下条件之一:假设积分存在，则积分值与以下因素无关：3.牛顿莱布尼兹公式：)()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba则：上的任意一个原函数：在是连续函数若*牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4.原函数存在定理：5.定积分的性质：y y y f(*)g(*)1 f(*)0 a c b *0 a b *0 a b *y y M f(*)f(*)m 0 a b *0 ab *二定积分的计算：1.换元积分 2.分部积分 3.广义积分 4.定积分的导数公式(三)定积分的应用 1.平面图形的面积:与*轴所围成的图形的面积 y f(*).求出曲线的交点，画出草图；.确定积分变量，由交点确定积分上下限；.应用公式写出积分式，并进展计算。2.旋转体的体积 bxaxxfy,0)(1与曲线及*轴所围图形绕*轴旋转所得旋转体的体积：0 a b *dycyyx,0)(2与由曲线及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：第四章 多元函数微积分初步 4.1 偏导数与全微分 一.主要容：.多元函数的概念 3.二元函数的定义：4.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。而一元函数是平面上的曲线.二元函数的极限和连续：1.极限定义：设 z=f(*,y)满足条件：2.连续定义：设 z=f(*,y)满足条件：.偏导数：.全微分：1.定义：z=f(*,y),(yxfz 是在点(*,y)处的全微分。3.全微分与偏导数的关系.复全函数的偏导数：1.),(),(),(yxvvyxuuvufz设：2.)(),(),(xvvxuuvufy设.隐含数的偏导数：1.0),(,0),(zFyxfzzyxF且设 2.0),(,0),(yFxfyyxF且设.二阶偏导数：.二元函数的无条件极值.1.二元函数极值定义：极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2.极值的必要条件：两个一阶偏导数存在，则：*，的点使),(0),(),(1000000yxyxfyxfyx 而非充分条件。例：122xyz 驻点不一定是极值点。5.极值的充分条件：求二元极值的方法：极值点。二倍角公式：(含万能公式)212cossin22sintgtg 22222211sin211cos2sincos2costgtg 2122tgtgtg22cos11sin222tgtg22cos1cos2 三角函数公式 1 两角和公式 6.1 6.2 2 倍角公式 6.5 6.6 3 半角公式.4 和差化积