高考数学高三上学期期中考试试卷(平面向量)(解析版).pdf

高考数学高三上学期期中考试试卷(平面向量)一、小题部分 1(2022江苏苏州期中)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连结 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，AFBC的值为 A18 B18 C1 D8【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】法一：由题意可知，AFBC(AD32DE)BCADBC32DEBC121cos2332121cos318，故答案选 B 法二：由题意可建系，如图所示，则 E(0，0)，A(0，32)，B(12，0)，C(12，0)，D(14，34)，因为 DE2EF，所以 F(18，38)，则AF(18，5 38)，BC(1，0)，所以AFBC18118，故答案选 B 2(2022江苏连云港期中)已知 O(0，0)，A(sin，1)，B(1，3cos)，(2，32)，若|OAOB|AB|，则 A23 B56 C76 D43【答案】D【考点】三角恒等变换与平面向量的运算综合应用【解析】由题意可知，因为|OAOB|AB|，所以|OAOB|OBOA|，两边平方可得，OAOB0，则(sin，1)(1，3cos)0，即sin 3cos0，则 tan 3，又(2，32)，所以 43，故答案选 D 3(2022江苏南京市第一中学期中)已知平面向量 a，b 满足(ab)b2，且|a|1，|b|2，则|ab|()A 3 B 2 C1 D2 3【答案】C【考点】平面向量的数量积运算【解析】由题意可知，(ab)babb2ab42，解得 ab2，所以|ab|2a22abb212(2)41，则|ab|1，故答案选 C 4(2022江苏南京市中华中学期中)已知|a|2，|b|1，且ab与a2b互相垂直，则ab()A0 B2 C23 D2【答案】B【考点】平面向量的数量积应用【解析】由题意可知，ab与a2b互相垂直，所以(ab)(a2b)a2ab2ab2b2a2ab2b24ab20，解得ab2，故答案选 B 5(2022江苏南通市区期中)已知中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则OAOC 【答案】2【考点】平面向量的数量积求解【解析】因为 ABCDEF 是边长为 2 的正六边形，O 为其中心，所以|OA|OC|2，120，所以OAOC|OA|OC|cos22cos1202，故答案为2 6(2022江苏南通如皋市期中)在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量a，b满足a(1，3)，|ab|4，则|b|的取值范围是 A2 3，6 B2，2 3 C2，6 D1，2 3【答案】C【考点】平面向量的数量积运算【解析】法一：由题意可知，可设b(x，y)，则a b(x1，y 3)，所以|ab|(x1)2(y 3)24，即(x1)2(y 3)216，其几何意义点(x，y)在为圆心为 C(1，3)，半径为 4 的圆，且 OC12(3)22，所以|b|x2y2，可看作圆 C 上任一点到原点的距离的取值范围，则|b|的取值范围为42，42，即为2，6，故答案选 C 法二：由题意可知，|a|12(3)22，且|b|a|ab|a|b|，所以|b|24，且 2|b|4，所以|b|2，6，故答案选 C 7(2022江苏泰州市泰兴期中)已知ABC 中，AB7，AC3，ACB120，当 R 时，|ABAC|的最小值为()A10 B5 3 C5 D5 32【答案】D【考点】解三角形与平面向量的综合应用【解析】由题意可知，在ABC 中，由余弦定理可知，AB2AC2BC22ACBCcosACB，解得 BC5，所以在ABC 中，又由余弦定理可知，cosAAC2AB2BC22ACAB3272522371114，所以|ABAC|2AB22ABAC2AC2492731114929233499(116)2754，即当 116时，|ABAC|取得最小值，为5 32，故答案选 D 8(2022江苏无锡期中)已知向量OA(1，3)，向量OB(3，t)，|AB|2，则 cos等于()A1010 B1010 C3 1010 D3 1010【答案】B【考点】平面向量的数量积的运算：求夹角余弦值【解析】由题意可知，ABOBOA(3，t)(1，3)(2，t3)，因为|AB|2，所以22(t3)22，解得 t3，所以AB(2，0)，则 cosOAAB|OA|AB|22 101010，故答案选 B 9(2022江苏无锡期中)已知ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，角 A 为直角，点 P 为平面 ABC 上的一点，则PBPC的最小值为 【答案】12【考点】平面向量的数量积最值问题【解析】法一：由题意可设 BC 的中点为点 H，则 HBHC22，所以PBPC(PHHB)(PHHC)(PHHB)(PHHB)PH2HB2HB212 法二：由题意可建立平面直角坐标系，如图所示，所以 B(1，0)，C(0，1)，可设 P(x，y)，所以PB(1x，y)，PC(x，1y)，所以PBPCx(1x)y(1y)x2xy2y(x12)2(y12)21212，即PBPC的最小值为12 10(2022江苏徐州期中)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP13AB23AD，则CPDC的值是 【答案】83【考点】平面向量的数量积运算【解析】法一：由题意可知，CPDC(APAC)(ACAD)(23AB13AD)AB83 法二：由题意可以点 A 为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，所以 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，所以AP13AB23AD(23，43)，则 P(23，43)，所以CP(43，23)，又DC(2，0)，所以CPDC(43，23)(2，0)43283 11(2022江苏盐城期中)下列向量一定与向量a|a|b|b|垂直的是 Aa|a|b|b|Ba|b|b|a|Cab Dab【答案】A【考点】平面向量的运算与应用【解析】由题意可知，(a|a|b|b|)(a|a|b|b|)(a|a|)2(b|b|)2110，故答案选 A 12(2022江苏盐城期中)(多选题)如图，点 A 是单位圆 O 与 x 轴正半轴的交点，点 P 是圆 O 上第一象限内的动点，将点 P 绕原点 O 逆时针旋转3至点 Q，则OA(OQOP)的值可能为 A1 B32 C22 D12【答案】ABC【考点】三角函数的概念与三角恒等变换、平面向量的数量积坐标运算【解析】由题意可设 P(cos，sin)，Q(cos(3)，sin(3)，且(0，2)，A(1，0)，则OA(OQOP)(1，0)(cos(3)cos，sin(3)sin)cos(3)cos12cos32sincos12cos32sinsin(6)，(0，2)，所以 6(6，23)，则sin(6)1，12)，则选项 A、B、C 均符合题意，故答案为 ABC 13(2022江苏镇江期中)我国东汉数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若ABa，ADb，AE34AF，则EF()A37a47b B325a425b C425a325b D47a37b【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】法一：由题意可知，AE34AF，则AE3EF，则ADAEED3EFEDb，ABAFFB4EF34EDa，解得EF425a325b，故答案选 C 法二：由题意可知，AE34AF，则AE3EF，所以EF14AF，可设小正方形的边长为 1，所以 AF4，BF4，AB5，建立直角坐标系，如图所示，则 sinFAB35yF4，解得 yF125，所以 xF165，所以 F(125，165)，所以可设AFma nb m(5，0)n(0，5)(5m，5n)(125，165)，则解得 m1625，n1225，所以AF1625a 1225b，则EF14AF425a325b，故答案选 C 14(2022江苏镇江期中)(多选题)已知向量a(4，3m)，b(1，m)，则下列说法正确的是()A若ab，则 m4 B若m35，则a/b C|a2b|的最小值为 6 D若a与b的夹角为锐角，则1m4【答案】BC【考点】平面向量的综合应用【解析】由题意可知，对于选项 A，若ab，则ab(4，3m)(1，m)41m(3m)0，解得 m1 或 4，故选项 A 错误；对于选项 B，若m35，则a(4，125)，b(1，35)，此时 43512510，则a/b，故选项 B 正确；对于选项 C，a2b(6，m3)，则|a2b|62(m3)26，当且仅当 m3 时取等号，故选项 C 正确；对于选项 D，若a与b的夹角为锐角，则ab0，且a与b 不共线，所以可得(4，3m)(1，m)41m(3m)0，解得1m4，且 m35，故选项 D 错误；综上，答案选 BC 15(2022江苏镇江期中)已知非零向量a，b不共线，若ABab，BC2a3b，CD2akb，且 A，C，D三点共线，则 k 【答案】43【考点】平面向量的基本定理应用【解析】由题意可知，ACABBCab2a3b3a2b，且CD2akb，由A，C，D 三点共线，可设ACCD，即 3a2b(2akb)，则 32，2k，解得 32，k43 16(2022江苏淮阴中学、海门中学、姜堰中学期中联考)已知非零向量a，b满足a(a2b)，且|a|b|，则向量a，b的夹角为()A6 A4 A3 A23【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的向量表示，数量积的定义计算即可得答案.【详解】解：因为非零向量,a b 满足2aab，且ab，所以2222222cos,2cos,0aabaa baaba baaa b ，所以1cos,2a b，因为,0,a b，所以,3a b 故选：C 17(2022江苏淮阴中学、海门中学、姜堰中学期中联考)(多选题)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 F，E 分别是靠近 C，D 的四等分点，则下列结论正确的是()AEF12AB BAF34ABAD CBE34ABAD DBEAF(AD)2916(AB)2 【答案】AD【解析】【分析】根据向量运算法则，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为在平行四边形ABCD中，已知,F E分别是靠近,C D的四等分点，由1122EFDCAB，所以 A正确；由3344AFADABABAD，所以 B不正确；由3344BEBCCEBCDCABAD，所以 C不正确；由 22339()()4416BE AFABADABADADAB，所以 D正确.故选：AD.18(2022江苏新高考基地学校第一次大联考期中)已知向量 a，b 满足|a|2，b(1，2 2)，|ab|19，则 a，b 的夹角为 【答案】3【解析】【分析】根据|19ab，两边平方求得a b，从而可求得,a b夹角的余弦值，即可得解.【详 解】解：由(1,2 2)b，得3b，又|19ab，所 以222219ababa b，所以3a b，即cos,3aba b，所以1cos,2a b，又因,0,a b，所以,3a b.即,a b的夹角为3.故答案为：3.19(2022江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知向量a(cos，sin)，b(sin，cos)，则|ab|A1 B 2 C2 D2 2【答案】B【解析】【分析】求出ab的坐标，由模的坐标表示计算【详解】由已知ab22(cossin,sincos)(cossin)(sincos)2222cos2cossinsinsin2sincoscos2 故选：B 20(2022江苏南师附中期中)若直线 xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点 A 和 B已知 O 是坐标原点且满足|OAOB|33|AB|，那么实数 k 的取值范围是()A(3，)B 2，)C 2，2 2)D 3，2 2)【答案】C【解析】设O到直线的距离为d，由题意得2d3324d2，得到d1且d2，即1|k|22，解得 2k2 2.21(2022江苏南师附中期中)在平行四边形中，AB4，AD3，EC3DE，AEEB3，则ABAD 【答案】6【解析】AEAD14AB，BEAD34AB，(AD14AB)(AD34AB)3，ABAD6 22(2022江苏金陵中学期中)已知单位向量a，b的夹角为 60，则在下列向量中，与b垂直的是（）A.2ab B.2ab C.2ab D.2ab【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601 122a bab .A：因为215(2)221022abba bb，所以本选项不符合题意；B：因为21(2)221202abba bb，所以本选项不符合题意；C：因为213(2)22 1022abba bb，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102abba bb，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.23(2022江苏南通海安市期中)已知非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，则在下列向量中，与 b 垂直的是 A12ab B12ab Ca12b Da12b【答案】C【解析】【分析】由条件将平方，得出，再将每一选项分别与向量 作数量积，从而可得答案.【详解】设向量的夹角为，由 则，所以 选项 A.,不满足题意.选项 B.,不满足题意.选项 C.，满足题意.选项 D.，不满足题意.故选：C 24(2022江苏南通海安市期中)设向量 m(cosx，sinx)，n(3，4)若 x 时，mn 取得最小值，则 tan 【答案】43【解析】【分析】利用向量的运算结合三角函数的辅助角公式得到，根据三角函数性质得到最值，计算得到答案.【详解】，tan34，当，即，即，时取最小值，故.故答案为：43.二、解答题部分 1(2022江苏泰州市泰兴期中)(本题满分 10 分)已知向量a(2，3)，|b|2 13(1)若a/b，求b的坐标；(2)若(5a2b)(ab)，求a与b的夹角【考点】平面向量的平行与垂直、数量积运算【解析】(1)设b(x，y)，由a/b且|b|2 13，得3x2yx2y22 13，2 分 x4y6，或x4y6，b(4，6)，或b(4，6)5 分(2)(5a2b)(ab)，(5a2b)(ab)0，5a23ab2b20，7 分 ab13，设a与b的夹角为，则 cosab|a|b|13132 1312，又 0，|，3，a与b的夹角为310 分(不交代 范围扣 1 分)2(2022江苏无锡期中)(12 分)在ABC 中，已知AB2，AC 11，cosBAC5 1122，D 为 BC 的中点，E 为 AB 边上的一个动点，AD 与 CE 交于点 O设AExAB (1)若x14，求COOE的值；(2)求AOCE的最小值【考点】平面向量基本定理与数量积的综合应用【解析】(1)设COCE，因为AE14AB，所以CECAAECA14ABCA14(CBCA)34CA14CB34CA142CD34CA12CD，所以COCE(34CA12CD)，因为 A，O，D 三点共线，所以(3412)1，解得 45，所以CO45CE，所以COOE4(2)由题意知，ABAC|AB|AC|cosBAC2 115 11225，设AOAD2(ABAC)2(1xAEAC)，因为 C，O，E 三点共线，所以2(1x1)1，解得 2xx1，所以AO2(ABAC)xx1(ABAC)，所以AOCExx1(ABAC)(CAxAB)xx1xAB2(x1)ABACAC2 xx14x5(x1)11 x(9x16)x19(x1)234(x1)25x1 9(x1)25x13429(x1)25x1344，当且仅当 9(x1)25x1，即 x23时，等号成立，所以AOCE的最小值为4 3(2022江苏镇江期中)(本小题满分 12 分)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感 莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ABC，再分别以点 A，B，C 为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形 如图所示，已知 AB2，O 为 BC 中点，点 P，Q 分别在弧 AC，弧 AB 上，设PBCACQ(1)当 6时，求|PQ|；(2)求OPOQ的取值范围 【考点】平面向量的数量积与三角恒等变换的综合应用【解析】(1)当 6时，设 BP 与 CQ 的交点为 M，连接 OQ，OP，则QMPBMC23，BM232 33，MPMQ22 33，所以 QP 3(22 33)2 32，即|PQ|2 32(2)OPOQ(OBBP)(OCCQ)1OBCQBPOCBPCQ 12cos(3)2cos22(12)2(12cos32sin)2cos3 3sin3cos3 2 3sin(3)3，0，3，因为3323，所以32sin(3)1，所以 0OPOQ2 33，即OPOQ的取值范围是0，2 33 4(2022江苏淮阴中学、海门中学、姜堰中学期中联考)(本题满分 12 分)如图，在ABC 中，AE12AB，点 D 是 AC 上一点，BD 与 CE 交于 点 P，且AP25AB15AC(1)若ACAD，求实数 的值；(2)若APBC0，求证：tanB2tanC【答案】（1）3 （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用,AC AB表示AP得1APACAB，再结合已知，根据向量相 等解方程即可得答案；（2）由题知222330abc，进而得2222222 acbabc，再结合余弦定理整理得2 coscoscBbC，再根据正弦定理边角互化即可得答案.【小问 1 详解】解：因为ACAD，所以11APADDBADABADADABACAB 因为2155APABAC，所以11525，解得3【小问 2 详解】证明：因0AP BC，2155APABAC，BCACAB，所以21055ABACACAB，即221210555ACABAB AC 设在ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c，所以222cos0bcbcBAC，因为222cos2bcaBACbc，所以22222202bcabc，整理得222330abc 所以2222222 acbabc，即4cos2cosacABCabACB，下记,ABCBACBC，所以2 coscoscBbC，所以由正弦定理得2sincossincosCBBC，因为coscos0BC 时，ABC为直角三角形，与222330abc矛盾，所以coscos0BC，所以sinsin2coscosBCBC，即tan2tanBC 5(2022江苏海门中学、泗阳中学期中联考)(12 分)已知点 D，P 在锐角ABC 所在的平面内，且满足AD2DC，BP3BD(1)若APxAByAC，求实数 x，y 的值；(2)已知APBC4S，其中 S 为ABC 的面积 求证：tanBtanCtanBtanC；求 tanBtanC 的最小值，并求此时 tanA 的值【答案】（1）2,2xy （2）证明见解析；tantanBC的最小值为 4，tan A43【解析】【分析】（1）由向量的线性运算得出2ABBC再用基底,AB AC表示即可得；（2）由已知及（1）得出sinabC，正弦定理化边为角后展开，再由商数关系可证；由应用基本不等式可得最小值，利用诱导公式、两角和的正切公式可得tan A【小问 1 详解】如图，因为2ADDC，3BPBD所以21ADDPDCBD，所以DAPDCB，所以PADBCD，22APBCa，所以/APBC，22()22ABBCACABABAC，又APxAByAC，所以2,2xy 【小问 2 详解】由（1）242SAP BCa，21244sin2aSabC，sinabC，由正弦定理得sinsinsinABC，所以sin()sinsinsinBCABC，即sincoscossinsinsinBCBCBC 又coscos0BC，所以tantantantanBCBC tan0,tanC0B，所以tantantantan2 tantanBCBCBC，解得tantanC4B，当且仅当tantan2BC时等号成立，所以tantanBC的最小值为4 此时2tantan224tantan()1tantan123BCABCBC