高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 6 6 章不等式第章不等式第4 4 讲基本不等式学案讲基本不等式学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当 ab 时等号成立)考点 2 基本不等式 ab 21基本不等式成立的条件：a>0，b>0；2等号成立的条件：当且仅当 ab 时等号成立；3其中叫做正数 a，b 的算术平均数，叫做正数 a，b 的几何平均数考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题1如果 x，y(0，)，且 xyP(定值)，那么当 xy 时，xy 有最小值 2.(简记：“积定和最小”)2如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy 时，xy 有最大值.(简记：“和定积最大”)必会结论常用的几个重要不等式(1)ab2(a>0，b>0)；(2)ab2(a，bR)；(3)2(a，bR)；(4)2(a，b 同号)以上不等式等号成立的条件均为 ab.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)函数 yx的最小值是 2.( )2 / 12(2)函数 f(x)cosx，x的最小值等于 4.( )(3)x>0，y>0 是2 的充要条件( )(4)若 a>0，则 a3的最小值为 2.( )(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)2课本改编已知 a，bR，且 ab1，则 ab 的最大值为( )A1 B. C. D.22答案 B解析 a，bR，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立3课本改编已知 a>0，b>0，ab2，则 y的最小值是( )A. B4 C. D5答案 C解析 y(ab)，故选 C.42018·苏州模拟若 0x6，则 f(x)的最大值为( )A. B4 C. D.5答案 B解析 0x6，8x>0，f(x)4，当且仅当x8x，即 x4 时，等号成立故 f(x)的最大值为 4.5课本改编若 f(x)x(x>2)在 xn 处取得最小值，则n( )A. B3 C. D4答案 B解析 由 f(x)x(x2)24，当且仅当 x2>0，即 x3 时，取得等号故选 B.62018·上海模拟若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2 的最小值为_答案 223 / 12解析 x22y222，当且仅当 xy 时取“” ，x22y2 的最小值为 2.板块二 典例探究·考向突破考向 利用基本不等式求最值例 1 2017·山东高考若直线1(a>0，b>0)过点(1,2)，则 2ab 的最小值为_答案 8解析 直线1(a>0，b>0)过点(1,2)，1，2ab(2ab)442 8，当且仅当，即 a2，b4 时，等号成立故 2ab 的最小值为 8.本例条件不变，求 ab 的最小值解 12，当，即 a2，b4 时，ab8，ab 的最小值为 8.若 4a2b1，求 2ab 的最大值解 4a2b22，21，2ab2，2ab 的最大值为2.若 log2alog2b1，求 2ab 的最小值解 log2ab1，ab2，2ab24，当 a1，b2 时，2ab 的最小值为 4.触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定” “三相等” (2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活4 / 12变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式【变式训练 1】 (1)已知 00，则函数 yx的最小值为_答案 0解析 yx2220，当且仅当 x，即 x时等号成立所以函数的最小值为 0.考向 条件最值问题例 2 2018·大同检测若正数 a，b 满足 abab3，求：(1)ab 的取值范围；(2)ab 的取值范围解 (1)abab323，令 t>0，t22t30，(t3)(t1)0.t3 即3，ab9，当且仅当 ab3 时取等号(2)abab3，ab32.令 tab>0，t24t120，(t6)(t2)0.t6 即 ab6，当且仅当 ab3 时取等号触类旁通求条件最值注意的问题(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化；(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法5 / 12【变式训练 2】 (1)2018·珠海模拟已知x>0，y>0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为( )A2 B4 C6 D8答案 C解析 解法一：由已知得 xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，当且仅当 x3y，即 x3，y1 时取等号，令 x3yt，则 t>0，且 t212t1080，得 t6.即 x3y6.解法二：x3y9xy2，()22·90，(3)·()0，00，b>0，若 a0，b>0，再运用基本不等式求解3 “当且仅当 ab 时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误. 板块三 启智培优·破译高考易错警示系列 8连续应用基本不等式时切记等号成立的条件2017·天津高考若 a，bR，ab>0，则的最小值为_错因分析 两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出8 / 12错解析 a44b42a2·2b24a2b2(当且仅当 a22b2 时“”成立)，4ab，由于 ab>0，4ab24，故当且仅当时，的最小值为 4.答案 4答题启示 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等跟踪训练已知 a>b>0，求 a2的最小值解 a>b>0，ab>0.b(ab)2.a2a2216.当 a2且 bab，即 a2，b时等号成立a2的最小值为 16.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标12018·浙江模拟已知 x>0，y>0，则“xy1”是“xy2”的( )B必要不充分条件A充分不必要条件 D既不充分也不必要条件C充要条件 答案 A解析 若 xy1，由基本不等式，知 xy22；反之，取x3，y1，则满足 xy2，但 xy31，所以“xy1”是“xy2”的充分不必要条件故选 A.2当 x>0 时，函数 f(x)有( )9 / 12B最大值 1A最小值 1 D最大值 2C最小值 2 答案 B解析 x>0，f(x)1.故选 B.32015·湖南高考若实数 a，b 满足，则 ab 的最小值为( )A. B2 C2 D4答案 C解析 由2，得 ab2，当且仅当时取“” 选 C.42018·人大附中模拟(6a3)的最大值为( )A9 B. C3 D.3 22答案 B解析 因为6a3，所以 3a0，a60.由基本不等式，可知，当且仅当 a时等号成立52018·秦皇岛模拟函数 y(x>1)的最小值是( )A22 B22 C2 D2答案 A解析 x>1，x1>0，yx1x1222(当且仅当x1时取“”)选 A.6设 x>0，y>0，且 x4y40，则 lg xlg y 的最大值是( )A40 B10 C4 D2答案 D解析 x4y40，且 x>0，y>0，x4y24(当且仅当 x4y 时取“”)，440.xy100.lg xlg ylg (xy)lg 1002.lg xlg y 的最大值为 2.72018·山西模拟已知不等式(xy)9 对任意正实数10 / 12x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )A2 B4 C6 D8答案 B解析 (xy)1a·a1a2(1)2，当且仅当 a·，即 ax2y2 时“”成立(xy)的最小值为(1)29.a4.82017·江苏高考某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_答案 30解析 一年的总运费为 6×(万元)一年的总存储费用为 4x 万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2 240，当且仅当4x，即 x30 时取得等号，所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小9函数 y2x(x>1)的最小值为_答案 22解析 因为 y2x(x>1)，所以 y2x2(x1)22222.当且仅当 x1时取等号，故函数 y2x(x>1)的最小值为22.102018·正定模拟若正数 x，y 满足 x3y5xy，则3x4y 的最小值是_答案 5解析 由 x3y5xy，可得1，所以 3x4y(3x4y)(1 5y3 5x)2 5，当且仅当 x1，y时取等号，故3x4y 的最小值是 5.11 / 12B 级 知能提升1若两个正实数 x，y 满足1，且不等式 x0，y>0，x24，min4，m23m>4，解得 m4.选 B.2设 a>0，b>1，若 ab2，则的最小值为( )B6 A32 D2C4 2答案 A解析 由题可知 ab2，ab11，(ab1)2132，当且仅当，即 a2，b时等号成立故选 A.32018·湖北八校联考已知正数 a，b 满足 2a2b23，则a 的最大值为_答案 2解析 a×a×(2a2b21)×(31)，当且仅当 a，且 2a2b23，即 a21，b21 时，等号成立故 a 的最大值为.42018·郑州模拟若 a>0，b>0，且.(1)求 a3b3 的最小值；(2)是否存在 a，b，使得 2a3b6？并说明理由解 (1)因为 a>0，b>0，且，所以2 ，所以 ab2，当且仅当 ab时取等号因为 a3b3224，12 / 12当且仅当 ab时取等号，所以 a3b3 的最小值为 4.(2)由(1)可知，2a3b224>6，故不存在 a，b，使得 2a3b6 成立5已知 lg (3x)lg ylg (xy1)(1)求 xy 的最小值；(2)求 xy 的最小值解 由 lg (3x)lg ylg (xy1)，得Error!(1)x>0，y>0，3xyxy121，3xy210，即 3()2210，(31)(1)0，1，xy1，当且仅当 xy1 时，等号成立xy 的最小值为 1.(2)x>0，y>0，xy13xy32，3(xy)24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2.