九年级数学图形的相似带答案.pdf

九九年年级级数数学学图图形形的的相相似似带带答答案案 TTA standardization office【TTA 5AB-TTAK 08-TTA 2C】第第3 3章章图图形形的的相相似似【经典例题】【经典例题】1.（2014 湖北咸宁，6，3 分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为 12，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）yFCBEOA（第 6 题）Dx33A(2，0)B(，)22C(2，2)D(2，2)【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的2倍【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则AFBEBF的值是（）FDDCA.1111 B.C.D.3524解析：如图，由菱形ABCD得 ADBE,，所以BEFADF,又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故BFBE1=.FDAD3解答：选 B点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014湖南省张家界市10 题3 分）已知ABC与DEF相似且面积比为 425，则ABC与DEF的相似比为【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC与DEF的相似比为42=.255【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014 山东省滨州，18，4 分）如图，锐角三角形 ABC 的边 AB，AC 上的高线 CE 和BF 相交于点 D，请写出图中的两对相似三角形：（用相似符号连接）【解析】（）由于BDE=CDFBED=CFD=90，可得BDECDF。由于A=A，AFB=AEC=90，可得ABFACE。解：（1）在BDE 和CDF 中BDE=CDFBED=CFD=90，BDECDF（2）在ABF 和ACE 中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE【答案】BDECDF，ABFACE【点评】本题考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS 等 5.(2014 贵州黔西南州，17，3 分)如图 5，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD相交于点 O，若 AD=1，BC=3，AOD 的面积为 3，则BOC 的面积为_【解析】由题意知 ADBC，所以OAD=OCB，ODA=OBC，所以OADOCB又AD=1，BC=3，所以OAD 与OCB 的相似比为 1:3，面积之比为 1:9，而AOD 的面积为 3，所以BOC 的面积为 27【答案】27【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键6.（2014 贵州遵义，7,3 分）如图，在ABC 中，EFBC，SABC=（）A9解求出析：解：=B10C12D13=，把 S四边形 BCFE=8 代入求出即可=，S四边形 BCFE=8，则的值，推出AEFABC，得出=，=，EFBC，AEFABC，=，答案：点本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的评：平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目7.（2014 南京市，15，2）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=10 厘米，CD=6 厘米，E为 AD 上一点，且 BE=BC,CE=CD，则 DE=厘米.解析：BCE 与CDE 均为等腰三角形，且两个底角DEC=BCE，BCECDE，答案：.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.106=,DE=厘米.6DEBCCE=,CDDE9SAEF=SABC，S四边形 BCFE=8，9（SABC8）=SABC，解得：SABC=9故选 AA8.(2014 山东日照，21，9 分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BFAE，垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于G.(1)求证CG=BH;(2)FC2=BFGF;FC2GF(3)=.2ABGBADHBEGFC解析：(1)可证ABHBCG；(2)证CFGBFC可得；(3)先证BCGBFC得BC2=BFBG,结合 AB=BC可得.证明：（1）BFAE，CGAE,CGBF,CGBF.在正方形ABCD中，ABH+CBG=90o,CBG+BCG=90o,BAH+ABH=90o,BAH=CBG,ABH=BCG,AB=BC,ABHBCG,CG=BH;(2)BFC=CFG,BCF=CGF=90 o,CFGBFC,FCGF,BFFC即FC2=BFGF;(3)由（2）可知，BC2=BGBF,AB=BC,AB2=BGBF,FC2FG BFFG=2BCBG BFBGFC2GF即=2ABGB点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014 海南省，12，3 分）12、如图 3，在ABC 中，ACB=900，CDAB，于点 D，则图中相似三角形共有（）A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：BDCBCACDA【答案】C【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。10（2014 四川内江，11，3 分）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60，BD=4，CE=A83 B154，则ABC的面积是（）3 C93 D123【思路分析】ADC=ADE+EDC=B+BAD，ADE=B=60，EDC=BAD又C=B=60，ABDDEC,EC:BD=DC:AB=1:3,AB=BC=3DC,BD=2DC，DC=2，BC=6，ABC 的面积是 93【答案】C【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解11.（山东省威，3,3 分）在ABCD 中，点 E 为DCFBAD 的中EA点，连接 BE，交 AC 于点 F，则 AF:CF=().:2 :3 :3 :5【解题思路】利用AEF 与CBF 相似，将 AF:CFAE:BC 的比值.【答案】A.转化成【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.12（2014 广东省，3，3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的（A）ABCD3图题【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选 A 符合要求.【答案】A【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似.难度较小.13（2014 山东潍坊，3，3 分）如图，ABC 中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC；ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1:4。其中正确的有（）A 0 个 B1 个 C 2 个 D3 个【解题思路】因为 DE 是三角形的中位线，所以 DE=ABC，所以 SADE：SABC=(【答案】DDE2121)=()=AB241BC=1，DEBC，所以ADE21，得到的图形是2【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半所构成的三角形与原三角形相似相似三角形的面积比等于相似比的平方难度中等14.（2014 年广西玉林市，10，3）如图，正方形 ABCD 的两边 BC、AB 分别在平面直角坐标系内的 x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC=3 2，若点 A的坐标为（1，2），则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是（）分析：延长 AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解：在正方形 ABCD 中，AC=3 2BC=AB=3，延长 AB交 BC 于点 E，点 A的坐标为（1，2），OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形 ABCD的边长为 1，1正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是 故选 B3点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长15.（2014 陕西 18，6 分）如图，在ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F（1）求证：AB AF；（2）当AB 3，BC 5时，求AE的值AC【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由AEFCEB先求出AE.ACAE，再求EC【答案】解：（1）如图，在ABCD中，AD/BC，2 3BF是ABC的平分线，1 213AB AF（2）AEF CEB，2 3，AEFCEB，AEAF3，ECBC5AE3AC8【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等.16.已知：如图正方形 ABCD中，P 是 BC上的点，且 BP=3PC，Q是 CD 的中点求证：ADQQCP思路点拨：思路点拨：因ADQ 与QCP但不知 AQ与 PQ 是否垂直，所四边形 ABCD是正方形，Q是应边成比例夹角相等的方法来是直角三角形，虽有相等的直角，以不能用两个角对应相等判定而CD 中点，而 BP=3PC，所以可用对判定具体证明过程如下：证明证明：在正方形 ABCD中，Q是 CD 的中点，=2=3，=4又BC=2DQ，=2在ADQ 和QCP 中，ADQQCP=，C=D=90，17.已知：如图，AD是ABC的高，E、F分别是 AB、AC 的中点求证：DFEABC思路点拨：思路点拨：EF为ABC的中位线，EF=BC，又 DE和 DF 都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似证明：证明：在 RtABD中，DE为斜边 AB 上的中线，DE=AB，即=同理=EF为ABC的中位线，EF=BC，即=DFEABC总结升华：总结升华：本题证明方法较多，可先证EDF=EDA+ADF=EAD+FAD=BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明FED=EDB=B，同理EFD=FDC=C，都可以证出DEFABC18ABCDEF，若ABC的边长分别为 5cm、6cm、7cm，而 4cm 是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.思路点拨：思路点拨：因没有说明长 4cm的线段是DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：解：设另两边长是 xcm，ycm，且 xy.(1)当DEF 中长 4cm线段与ABC 中长 5cm线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm.(2)当DEF 中长 4cm线段与ABC 中长 6cm线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm.(3)当DEF 中长 4cm线段与ABC 中长 7cm线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm.综上所述，DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.19如图所示，已知ABC中，AD是高，矩形 EFGH内接于ABC 中，且长边FG在 BC上，矩形相邻两边的比为 1：2，若 BC=30cm，AD=10cm.求矩形 EFGH的面积.思路点拨：思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.解：解：四边形 EFGH 是矩形，EHBC，AEHABC.ADBC，ADEH，MD=EF.矩形两邻边之比为 1：2，设 EF=xcm，则 EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，.EF=6cm，EH=12cm.总结升华：总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.20.ABC中，DEBC，M 为 DE中点，CM 交 AB于 N，若.解：解：DEBC，ADEABC，求M 为 DE中点，DMBC，NDMNBC=1：2.总结升华：总结升华：图中有两个“NB的比分别在这两个“到另一个“”字形，已知线段 AD与 AB的比和要求的线段 ND与”字形转化”字形，利用 M 为 DE中点的条件将条件由一个“”字形，从而解决问题.21.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 18 m，已知小明的身高是 m，他的影长是 2 m(1)图中ABC 与ADE是否相似为什么(2)求古塔的高度解：解：(1)ABCADEBCAE，DEAEACB=AED=90A=AABCADE(2)由(1)得ABCADEAC=2m，AE=2+18=20m，BC=DE=16m答：答：古塔的高度为 16m.22.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=，窗口高 AB=，求窗口底边离地面的高 BC思路点拨：思路点拨：光线 AD，利用边的比例关系求出 BC.又因为解：解：作 EFDC 交 AD于 F.因为 ADBE，所以，所以，所以.因为 ABEF，ADBE，所以四边形 ABEF是平行四边形，所以 EF=AB=.所以m.23已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD 与 AB相交于 E点，且 AEEB=12，EFBC交 AC 于 F点，ADE的面积为 1，求BCE和AEF的面积思路点拨：思路点拨：利用ADEBCE，以及其他有关的已知条件，可以求出BCE的面积ABC的边 AB 上的高也是BCE的高，根据 ABBE=32，可求出ABC的面积最后利用AEFABC，可求出AEF的面积解：解：DABC，ADEBCESADESBCE=AE2BE2AEBE=12，SADESBCE=14SADE=1，SBCE=4SABCSBCE=ABBE=32，SABC=6EFBC，AEFABCAEAB=13，SAEFSABC=AE2AB2=19SAEF=总结升华：总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方举一反三举一反三24.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1200和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：解：设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2.ABCA1B1C1A2B2C2且，.25.如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ长相等，(2)SPQC的周长与四边形 PABQ 的周PC+CQ=PA+AB+QB=(ABC 的周长)=6PQAB，PQCABC，即：解得，CP=【经典练习】【经典练习】1.如图，已知 PNSABC2SAPNsAPNs四边边形PBC1AE阅读下面材料，并回答问题。2AD三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。已知：如图，在ABC 中，AD 是角平分线，试说明BDAB。DCAC3.如图，D 为ABC 的边 AB 上一点，已知 AB=12,AC=15,AD=E，使ADE 与原三角形相似，求 AE 的长。2AB，如果 AC 上有一点34.如图所示，ABC=ADB，若 AB=5cm，AC=9cm，DB=3cm，那么 AD=，BC=，SABC：SABD=。5在ABC 中，B=250，AD 是 BC 边上的高，并且 AD2=BDDC，则BCA为。6在ABC 中，BC=8cm，AC=6cm，点 P 从 B 出发，沿 BC 方向以 2m/s 的速度移动。点Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1m/s 的速度移动，若点 P、Q 分别从 B、C 同时出发，设运动的时间为 t，则CPQ 能否与CBA 相似？若能，求出 BP 的长；若不能，请说明理由。7如图所示，在ABC 中，AB=10cm，BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 点以 4cm/s 的速度移动，如果 P，Q分别从 A，B 同时出发，多长时间后PBQ 与ABC 相似？8晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自已被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时（如图），自已右边的影子长 3 米，左边的影子长米，又知自已身高米，两盏路灯之间的距离为 12 米，则路灯的高度为多少米？9如图，ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与CE 交于点 E。（1）求证：ABDCED。（2）若 AB=6，AD=2CD，求 BE 的长。10如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB=4.（1）求 AD 的长。（2）求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比。11如图，在矩形 ABCD 中，AB=51，AD=2，且四边形 ABEF 是一个正方形，则矩形EFDC矩形 ADCB 吗？说明你的现由。12.如图，在直角坐标系中，第一次将OAB 变换成OA1B1，第二次将OA1B1变换成OA2B2，第三次将 OA2B2变换成 OA3B3，已知 A（1，3）、A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）、B（2，0）、B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）.（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将OA3B3变换成 OA4B4，则点 A4的坐标是，B4的坐标是。（2）若按第（1）题找到的规律将OAB 进行了 n 次变换，得到OAnMn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测 An的坐标为，Bn的坐标为。