(完整版)圆锥曲线方程知识点总结.pdf
8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF 椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在 x 轴上：)0(12222 babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222 babxay.一般方程：)0,0(122BAByAx.椭圆的标准方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.焦距：2221,2baccFF.准线：cax2或cay2.离心率：)10(eace.焦点半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222 babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则 ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222 baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc 共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，)0 ba的离心率也是ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）.若是双曲线，则面积为2cot2b.0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF 二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF 双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.i.焦点在 x 轴上：顶点：)0,(),0,(aa 焦点：)0,(),0,(cc 准线方程cax2 渐近线方程：0byax或02222byax ii.焦点在y轴上：顶点：),0(),0(aa.焦点：),0(),0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx.轴yx,为对称轴，实轴长为 2a,虚轴长为 2b，焦距 2c.离心率ace.准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.参数关系acebac,222.焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aexMFaexMF0201 构成满足aMFMF221 aexFMaexFM0201 aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201 等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为asinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆yxMMF1F2yxMMF1F20byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线12222byax，则常用结论 1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.2：P 到焦点的距离为 m=n，则 P 到两准线的距离比为 mn.简证：ePFePFdd2121 =nm.yxF1F21234533 三、抛物线方程.3.设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0）离心率 1e 焦点 12xpPF 12xpPF 12ypPF 12ypPF 注：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义.4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10 e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1 到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a|F1F2|)的点的轨迹 2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.方 程 标准方程 12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)y2=2px 参数方程 为离心角）参数(sincosbyax 为离心角）参数(tansecbyax ptyptx222(t 为参数)范围 axa，byb|x|a，yR x0 中心 原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴 焦点 F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF 焦距 2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eace e=1 准线 x=ca2 x=ca2 2px 渐近线 y=abx 焦半径 exar)(aexr 2pxr 通径 ab22 ab22 2p 焦参数 ca2 ca2 P 1.方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.2.共渐近线的双曲线系方程.
