高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线学案.doc

1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析章平面解析几何第几何第 6 6 讲双曲线学案讲双曲线学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 双曲线的概念平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a、c 为常数且 a>0，c>0：(1)当 ac 时，P 点不存在考点 2 双曲线的标准方程和几何性质必会结论双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2 构成的ABF2 的周长为 4a2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为 e.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)平面内到两点 F1(1,0)，F2(1,0)的距离之差等于 1 的点2 / 19的轨迹是双曲线( )(2)方程1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )(3)与双曲线1(mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)( )(4)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直( )(5)若双曲线1(a>0，b>0)与1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( )答案 (1)× (2)× (3) (4) (5)2课本改编双曲线 y2x22 的渐近线方程是( )By±xAy±x Dy±2xCy±x 答案 A解析 由题意知1，y±x.32018·广东模拟已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则 C 的方程是( )B.1A.1 D.1C.1 答案 B解析 由题意设 C 的方程为1(a>0，b>0)由右焦点为 F(3,0)，可知 c3，又因为离心率等于，所以，所以 a2.由 c2a2b2，知 b25，故双曲线 C 的方程为1.故选 B.42018·福州质检设 F1、F2 分别是双曲线 x21 的左、右焦点若点 P 在双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|( )A5 B3 C7 D3 或 7答案 D解析 |PF1|PF2|2，|PF2|7 或 3.52017·北京高考若双曲线 x21 的离心率为，则实数m_.3 / 19答案 2解析 由双曲线的标准方程知 a1，b2m，c，故双曲线的离心率 e，1m3，解得 m2.62017·全国卷双曲线1(a>0)的一条渐近线方程为yx，则 a_.答案 5解析 双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为 y±x.又双曲线的一条渐近线方程为 yx，a5.板块二 典例探究·考向突破考向 双曲线的定义及标准方程 例 1 (1)2017·天津高考已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )B.1 A.1 D.1C.1 答案 B解析 由题意可得，即 ca.又左焦点 F(c,0)，P(0,4)，则直线 PF 的方程为，化简即得 yx4.结合已知条件和图象易知直线 PF 与 yx 平行，则，即 4abc.故解得Error!故双曲线方程为1.故选 B.(2)2017·全国卷已知双曲线 C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为 yx，且与椭圆1 有公共焦点，则 C 的方程为( )4 / 19B.1A.1 D.1C.1 答案 B解析 由 yx 可得.由椭圆1 的焦点为(3,0)，(3,0)，可得 a2b29.由可得 a24，b25.所以 C 的方程为1.故选 B.触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义(2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值与双曲线1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0)【变式训练 1】 (1)已知双曲线 C：1 的焦距为 10，点P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( )B.1A.1 D.1C.1 答案 A解析 由已知可得双曲线的焦距 2c10，a2b225，排除C，D，又由渐近线方程为 yxx，得，解得 a220，b25.(2)求与双曲线1 有共同渐近线，并且经过点(3,2)的双曲线的方程解 设所求双曲线方程为，将点(3,2)代入双曲线方程，得，解得 ，所求双曲线方程为1.考向 双曲线的几何性质命题角度 1 双曲线的离心率问题 5 / 19例 2 (1)2017·全国卷若 a1，则双曲线y21 的离心率的取值范围是( )B(，2)A(，) D(1,2)C(1，) 答案 C解析 由题意得双曲线的离心率 e.e21.a>1，00，b>0)若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_答案 2解析 由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为 2|AB|3|BC|，所以6c，又 b2c2a2，所以 2e23e20，解得 e2，或 e(舍去)命题角度 2 双曲线的渐近线问题 例 3 (1)已知双曲线 C：1(a>0，b>0)的离心率为，则 C 的渐近线方程为( )By±xAy±x Dy±xCy±x 答案 C解析 e，即.c2a2b2，.双曲线的渐近线方程为 y±x，渐近线方程为 y±x.故选 C.(2)2018·深圳调研在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x2y0，则它的离心6 / 19率为( )A. B. C. D2答案 A解析 依题意设双曲线的方程是1(其中 a>0，b>0)，则其渐近线方程是 y±x，由题知，即 b2a，因此其离心率e.触类旁通与双曲线的几何性质有关的问题(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a>0，b>0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k±满足关系式 e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和 e转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围【变式训练 2】 (1)若双曲线 C：1 的焦点分别为F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的一个交点为 M，且sinMF1F2，则双曲线的离心率为( )A. B. C2 D.5答案 D解析 由题意知，F1MF2，不妨设点 M 在第一象限，则解得Error! 又|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，即 16a24a24c2，所以 e.故选 D.(2)已知双曲线1 的两条渐近线与以椭圆1 的左焦点为圆心、为半径的圆相切，则渐近线方程为_答案 4x±3y0解析 双曲线的渐近线方程为 ax±3y0，椭圆的左焦点为F(4,0)，因为渐近线 ax3y0 与以 F 为圆心、为半径的圆相切，7 / 19所以，解得 a±4，故渐近线方程为 4x±3y0.考向 双曲线中焦点三角形 例 4 (1)已知 F1，F2 是双曲线y21 的两个焦点，P 是双曲线上一点，且F1PF290°，则F1PF2 的面积是( )A1 B. C2 D.5答案 A解析 解法一：设|PF1|d1，|PF2|d2，由双曲线的定义可知|d1d2|4.又F1PF290°，于是有 dd|F1F2|220，因此，SF1PF2d1d2(dd|d1d2|2)1.解法二：由y21，知|F1F2|2.设 P 点的纵坐标为 yP，由于F1PF290°，则 P 在以|F1F2|为直径的圆上，即在 x2y25 上由消去 x 得|yP|.故F1PF2 的面积 S|F1F2|·|yP|1.(2)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，P 点在C 上，F1PF260°，则 P 到 x 轴的距离为( )A. B. C. D.6答案 B解析 设|PF1|m，|PF2|n，不妨设 m>n，P(x，y)，|PF1|PF2|mn2.在F1PF2 中，由余弦定理得(2)2m2n22mncos60°，8(mn)2mn.mn4.由F1PF2 的面积相等，得×2×|y|mnsin60°，即|y|×4×.1 2|y|.即 P 到 x 轴的距离为.8 / 19触类旁通【变式训练 3】 (1)2018·哈尔滨质检已知双曲线 x21的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2 的面积为( )A48 B24 C12 D6答案 B解析 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，因此 SPF1F2|PF1|×|PF2|24.(2)2016·全国卷已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )A(1,3) B(1，) C(0,3) D(0，)答案 A解析 解法一：由题意可知：c2(m2n)(3m2n)4m2，其中 c 为半焦距，2c2×2|m|4，|m|1.方程1 表示双曲线，(m2n)·(3m2n)>0，m20，b>0)交于9 / 19A，B 两点，且|AB|，又 l 关于直线 l1：yx 对称的直线 l2 与 x轴平行(1)求双曲线 C 的离心率 e；(2)求双曲线 C 的方程解 (1)设双曲线 C：1 过第一、三象限的渐近线l1：0 的倾斜角为 .因为 l 和 l2 关于 l1 对称，记它们的交点为 P，l 与 x 轴的交点为 M.而 l2 与 x 轴平行，记 l2 与 y 轴的交点为 Q.依题意有QPOPOMOPM.又 l：y(x2)的倾斜角为 60°，则 260°，所以 tan30°.于是 e211，所以 e.(2)由于，于是设双曲线方程为1(k0)，即 x23y23k2.将 y(x2)代入 x23y23k2 中，得 x23×3(x2)23k2.化简得到 8x236x363k20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|22×.解得 k21.故所求双曲线 C 的方程为y21.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类10 / 19问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题(2)利用点差法【变式训练 4】 设双曲线 C：y21(a>0)与直线l：xy1 相交于两个不同点 A，B.(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，取，求 a 的值解 (1)将 yx1 代入双曲线y21(a>0)中，得(1a2)x22a2x2a20.所以解得 0且 e，即 e(，)(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为，所以(x1，y11)(x2，y21)，由此得 x1x2.由于 x1，x2 是方程(1a2)x22a2x2a20 的两根，且1a20，所以 x1x2x2，x1x2x，消去 x2 得，由 a>0，解得 a.核心规律1.当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为1(mn0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为(0)3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双11 / 19曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0 就是双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线方程满分策略1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合 x2，y2 前系数的正负2.关于双曲线中离心率范围问题，不要忘记双曲线离心率固有范围 e>1.3.双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程是y±x，1(a>0，b>0)的渐近线方程是 y±x.4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5.当直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 15函数方程数学思想方法的应用(1)2015·全国卷已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6)当APF 周长最小时，该三角形的面积为_解题视点 利用双曲线定义寻求APF 周长最小时 P 点位置解析 设 F1 为双曲线的左焦点，由双曲线方程 x21 可知，a1，c3，故 F(3,0)，F1(3,0)当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF 的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15 为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF1 与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线 AF1 的方程为 y2x6，由Error!12 / 19得 y26y960，解得 y2 或 y8(舍去)，所以 SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×212.答案 126(2)已知双曲线1，其中 a>1，求 e 的取值范围解题视点 带参量的双曲线问题，需寻找 e 与参量的依存关系，即函数关系，e 的范围由 ef(a)来确定解 e212，a>1，100，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C的离心率为_答案 23解析 不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为 y(xc)，与C 交于 P(x0，y0)x02a，y0(2ac)又 P(x0，y0)在双曲线 C 上，1，整理得 a24acc20，设双曲线 C 的离心率为 e，则 14ee20.e12(舍去)，e22，即双曲线 C 的离心率为 2.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标13 / 1912018·安徽模拟下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y±2x 的是( )B.y21Ax21 D.x21Cy21 答案 D解析 由题意，选项 A，B 的焦点在 x 轴，故排除 A，B；D 项的渐近线方程为x20，即 y±2x.22018·湖北模拟若双曲线1 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5 3答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为 y±x，点(3，4)在渐近线上，又 a2b2c2，c2a2a2a2，e.故选 D.32017·全国卷已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF 的面积为( )A. B. C. D.3 2答案 D解析 因为 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，所以 F(2,0)因为 PFx 轴，所以可设 P 的坐标为(2，yP)因为 P 是 C 上一点，所以 41，解得 yP±3，所以 P(2，±3)，|PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以 SAPF×|PF|×1×3×1.故选 D.42018·广东模拟已知双曲线 C：1 的离心率 e，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为( )B.1A.1 14 / 19D.1C.1 答案 C解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5,0)，所以 c5.因为离心率 e，所以 a4.又 a2b2c2，所以 b29.故双曲线 C 的方程为1.5P 为双曲线1(a>0，b>0)右支上的一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )B(1,3A(1,3) D3，)C(3，) 答案 B解析 如图，由题意可知Error!10，b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_答案 y±x解析 根据已知可得，|PF1|且|PF2|，故2a，所以2，双曲线的渐近线方程为 y±x.72018·海口调研已知点 F1，F2 分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|2|PF1|，若PF1F2 为等腰三角形，则双曲线的离心率为_答案 2解析 |PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|，|PF2|4a，|PF1|2a，15 / 19PF1F2 为等腰三角形，|PF2|F1F2|，即 4a2c，2.82016·北京高考双曲线1(a>0，b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解析 由 OA，OC 所在直线为渐近线，且 OAOC，知两条渐近线的夹角为 90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2y2a2.OB 是正方形的对角线，且点 B 是双曲线的焦点，则c2，根据 c22a2 可得 a2.9设 A，B 分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 yx2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使t，求 t 的值及点 D 的坐标解 (1)由题意知 a2，又一条渐近线为 yx，即 bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.b23，双曲线的方程为1.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则 x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程 yx2 代入双曲线方程1 得x216x840，则 x1x216，y1y2(x1x2)412.Error!t4，点 D 的坐标为(4，3)102018·广西模拟已知双曲线方程 2x2y22.(1)求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点 B(1,1)能否作直线 l，使 l 与所给双曲线交于Q1，Q2 两点，且点 B 是弦 Q1Q2 的中点？这样的直线 l 如果存在，16 / 19求出它的方程；如果不存在，说明理由解 (1)由 2·22127>2 可知点 A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以 A(2,1)为中点的弦两端点分别为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有 x1x24，y1y22.由对称性知 x1x2.P1、P2 在双曲线上，两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.x1x24，y1y22.4.所求中点弦所在直线方程为y14(x2)，即 4xy70.(2)由 2·121210，b>0)的右焦点为F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )B.1A.1 Dx21C.y21 答案 D解析 根据题意画出草图如图所示.由AOF 是边长为 2 的等边三角形得到AOF60°，c|OF|2.又点 A 在双曲线的渐近线 yx 上，tan60°.17 / 19又 a2b24，a1，b，双曲线的方程为 x21.故选 D.2已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M(12，15)，则 E的方程为( )B.1A.1 D.1C.1 答案 B解析 由已知易得 l 的斜率为 kkFM1.设双曲线方程为1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减并结合x1x224，y1y230，得，从而1，即 4b25a2.又a2b29，解得 a24，b25，故选 B.32018·武汉模拟过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点 F的直线与双曲线相交于 A，B 两点，当 ABx 轴，称|AB|为双曲线的通径若过焦点 F 的所有焦点弦 AB 中，其长度的最小值为，则此双曲线的离心率的范围为( )B(1，A(1，) D，)C(，) 答案 B解析 当经过焦点 F 的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令 xc，可得 y±b±，即有最小值为；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为 0 时，即为实轴，最小为 2a.由题意可得 2a，即为 a2b2c2a2，即有 ca，则离心率 e(1，18 / 1942018·承德模拟已知点 M(2,0)，N(2,0)，动点 P 满足条件|PM|PN|2，记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程；(2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求·的最小值解 (1)由|PM|PN|2 知动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a.又焦距 2c4，所以虚半轴长 b.所以 W 的方程为1(x)(2)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当 ABx 轴时，x1x2，y1y2，从而·x1x2y1y2xy2.当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykxm(k±1)，与 W 的方程联立，消去 y 得(1k2)x22kmxm220，则 x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22.又因为 x1x2>0，所以 k21>0.所以·>2.综上所述，当 ABx 轴时，·取得最小值 2.5已知双曲线 ：1(a>0，b>0)经过点 P(2,1)，且其中一焦点 F 到一条渐近线的距离为 1.(1)求双曲线 的方程；(2)过点 P 作两条相互垂直的直线 PA，PB 分别交双曲线 于A，B 两点，求点 P 到直线 AB 距离的最大值解 (1)双曲线1 过点(2,1)，1.19 / 19不妨设 F 为右焦点，则 F(c,0)到渐近线 bxay0 的距离db，b1，a22，所求双曲线的方程为y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 ykxm.将ykxm 代入 x22y22 中，整理得(2k21)x24kmx2m220.x1x2，x1x2.·0，(x12，y11)·(x22，y21)0，(x12)(x22)(kx1m1)(kx2m1)0，(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)m22m50.将代入，得 m28km12k22m30，(m2k1)(m6k3)0.而 PAB，m6k3，从而直线 AB 的方程为 ykx6k3.将 ykx6k3 代入 x22y220 中，判别式 8(34k236k10)>0 恒成立，ykx6k3 即为所求直线P 到 AB 的距离 d.212.d4，即点 P 到直线 AB 距离的最大值为 4.