高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-7函数的图象学案理.doc

- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数基本初等函数2-72-7 函数的图象学案理函数的图象学案理考纲展示 1.理解点的坐标与函数图象的关系2会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象3会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题考点 1 作函数的图象1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)(3)描点，连线2图象变换(1)平移变换：yf(x)的图象 y_的图象；yf(x)的图象 y_的图象(2)对称变换：yf(x)的图象 y_的图象；yf(x)的图象 y_的图象；yf(x)的图象 y_的图象；- 2 - / 15yax(a>0 且 a1)的图象 ylogax(a>0 且 a1)的图象(3)伸缩变换：yf(x)的图象y_的图象；yf(x)的图象y_的图象(4)翻转变换：yf(x)的图象 y_的图象；yf(x)的图象 y_的图象答案：(1)f(xa) f(x)b(2)f(x) f(x) f(x)(3)f(ax) af(x)(4)|f(x)| f(|x|)(1)教材习题改编对于函数 f(x)有下列三个说法：图象是一个点和一条直线(去掉点(0,0)；图象是两条直线；图象是一个点和两条射线其中正确的说法是_(填序号)答案：解析：当 x0 时，图象是一条直线去掉点(0,0)，当 x0 时，图象是一个点(2)教材习题改编为了得到函数 ylog3(x3)2 的图象，只需把函数 ylog3x 的图象上所有的点向_平移_个单位长度，再向_平移_个单位长度答案：左 3 下 2图象变换中的误区：平移的方向；平移的大小(1)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到函数- 3 - / 15_的图象答案：yf(x1)解析：将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到函数yf(x1)f(x1)的图象(注意平移方向)(2)把函数 yf(2x)的图象向右平移_个单位长度得到函数 yf(2x3)的图象答案：3 2解析：本题易理解为向右平移 3 个单位长度，事实上把函数yf(2x)的图象向右平移 3 个单位长度后得到的是函数 yf(2(x3)f(2x6)的图象.典题 1 分别画出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2；(4)y；(5)y10|lg x|.解 (1)首先作出 ylg x 的图象 C1，然后将 C1 向右平移 1 个单位，得到 ylg(x1)的图象 C2，再把 C2 在 x 轴下方的图象作关于 x 轴对称的图象，即为所求图象 C3：y|lg(x1)|.如图所示(实线部分) (2)y2x11 的图象可由 y2x 的图象向左平移 1 个单位，得y2x1 的图象，再向下平移一个单位得到，如图所示(3)yx2|x|2Error!其图象如图所示- 4 - / 15 (4)y2.可由函数 y向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图所示(5)y10|lg x|如图所示点石成金 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响考点 2 识图与辨图考情聚焦 高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中主要有以下几个命题角度：角度一借助实际问题情境探究函数图象典题 2 2017·云南昆明模拟如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离 y 与行走时间 x 的函数 yf(x)的图象若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )A BC D- 5 - / 15答案 D解析 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离 y 随行走时间 x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小点石成金 解决此类问题的关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域角度二借助动点探究函数图象典题 3 2015·新课标全国卷如图，长方形 ABCD 的边AB2，BC1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则yf(x)的图象大致为( )A BC D答案 B解析 排除法排除错误选项当 x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除 A，C.当 x时，ff1，f2. 21， fff，从而排除D，故选 B.点石成金 解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动” ，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择角度三同一坐标系下辨析不同函数的图象典题 4 (1)在同一坐标系中画出函数ylogax，yax，yxa 的图象，可能正确的是( )- 6 - / 15A BC D答案 D解析 当 a>1 时，A 中的直线位置错误，排除 A，D 中的三个函数图象都正确；当 00 时，f(x)>0，故函数 f(x)x3ax2cx 在(0，)上单调递增，但图象中函数 f(x)在(0，)上不具有单调性，排除 C.故选 B.点石成金 解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查角度四函数图象与解析式对应关系的识别典题 5 (1)2017·湖南师大附中月考函数 f(x)cos x 的图象的大致形状是( )A BC D答案 D- 7 - / 15解析 因为 f(x)f(x)，所以函数 yf(x)是奇函数，且当 x 时，f(x)>0，故选 D.(2)2017·山东潍坊模拟已知定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x2)2f(x)当 x0,2时，f(x)则函数 yf(x)在2,4上的大致图象是( )A BC D答案 A解析 当 2x3 时，0x21，又 f(x2)2f(x)，所以 f(x)2f(x2)2x4，当 3x4 时，1x22，又 f(x2)2f(x)，所以 f(x)2f(x2)2(x2)24(x2)2x212x16，所以 f(x)故选 A.点石成金 此类问题往往从以下几方面判断：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项角度五考查图象变换问题典题 6 已知定义在区间0,4上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(1x)的图象为( )- 8 - / 15A BC D答案 D解析 解法一：把函数 yf(x)的图象上的所有的点向左平移1 个单位长度，得到 yf(x1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到 yf(1x)的图象，故选 D.解法二：取函数 yf(x)的图象上的点(2,4)，则有 f(2)4，因为f1(1)f(2)4，所以函数 yf(1x)的图象过点(1，4)，排除 A，B，C，故选 D.解法三：把函数 yf(x)的图象关于原点对称，得到 yf(x)的图象，再把所得的图象上的所有的点向右平移 1 个单位长度，可得到yf(x1)f(1x)的图象点石成金 本例中，已知函数 yf(x)的图象，求变换后的函数 yf(1x)的图象的易错点有两处：一是先作平移变换后作对称变换时，误以为函数 yf(x)的图象上的所有的点向右平移 1 个单位长度，得到 yf(x1)图象，误选 C；二是先作对称变换后作平移变换时，把函数 yf(x)的图象关于原点对称，误选 C.要避免此类错误，应熟练掌握图象的变换规律考点 3 函数图象的应用函数图象对称问题的误区：图象的自对称与互对称(1)函数 ylog2(x21)的图象关于_对称答案：y 轴解析：函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称这是图象的自对称问题，自对称函数的图象的对称轴一定垂直于 x 轴- 9 - / 15(2)函数 yln x 与 yln x 的图象关于_对称答案：x 轴解析：函数 yln x 与 yln x 的图象关于 x 轴对称，这里涉及两个函数，是图象的互对称问题一般地，yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称，yf(x)与 yf(x)的图象关于 x 轴对称考情聚焦 函数图象的应用也是高考命题的一个热点，题型多为选择题和填空题主要有以下几个命题角度：角度一利用图象研究函数的性质典题 7 已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是( )Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案 C解析 将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值，得 f(x)Error!画出函数 f(x)的图象，如图所示观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减点石成金 利用函数图象可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质角度二利用图象研究方程的根或不等式求解问题典题 8 (1)已知函数 y的图象与函数 ykx 的图象恰有两个- 10 - / 15交点，则实数 k 的取值范围是_答案 (0,1)(1,2)解析 将函数 y化成分段函数，并作出其图象如图所示利用图象可得，实数 k 的取值范围为(0,1)(1,2)(2)设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案 1，)解析 如图，要使 f(x)g(x)恒成立，则a1，a1.(3)已知 f(x)则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_答案 5解析 方程 2f2(x)3f(x)10 的解为 f(x)或 1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为 5.点石成金 函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图象的对称性，分析函数的奇偶性从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图象与 x 轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下- 11 - / 15关系问题，从而利用数形结合求解.方法技巧 1.识辨函数图象的方法(1)知式选图从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置从函数的单调性，判断图象的变化趋势从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复(2)知图选式从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域从图象的变化趋势，观察函数的单调性从图象的对称性，观察函数的奇偶性从图象的循环往复，观察函数的周期性2常见结论(1)函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于直线 y0 对称(2)函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于坐标原点对称(3)如果函数 yf(x)对于一切 xR，都有 f(ax)f(ax)，那么 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(4)如果函数 yf(x)对于一切 xR，都有 f(ax)f(ax)0，那么 yf(x)的图象关于点(a,0)对称易错防范 1.图象左右平移仅仅是相对 x 而言的，即发生变化的只是 x 本身，利用“左加右减”进行操作如果 x 的系数不是 1，需要把系数提出来，再进行变换2图象上下平移仅仅是相对 y 而言的，即发生变化的只是 y 本身，利用“上加下减”进行操作但平时我们是对 yf(x)中的 f(x)- 12 - / 15进行操作，满足“上加下减” 3要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别真题演练集训 12016·新课标全国卷函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为( )A BC D答案：D解析：当 x0 时，令函数 f(x)2x2ex，则 f(x)4xex，易知 f(x)在0，ln 4)上单调递增，在ln 4,2上单调递减，又 f(0)10，f(1)4e>0，f(2)8e2>0，所以存在 x0是函数 f(x)的极小值点，即函数 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为 D.22016·新课标全国卷已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 y与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)( )BmA0D4mC2m答案：B解析：因为 f(x)f(x)2，y1，所以函数 yf(x)与y的图象都关于点(0,1)对称，所以 i0，i×2m，故选 B.32015·安徽卷函数 f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )Aa>0，b>0，c0，c>0Ca0，c0， c0， b>0.令 f(x)0，得x，结合图象知>0， a0，a1)的图象关于 y 轴对称，函数 ylogax 与 ylogx(a>0，a1)的图象关于x 轴对称，原因是 yxax，ylogxlogax.推广到一般，可以得到：函数 f(x)的图象与函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，函数f(x)的图象与函数f(x)的图象关于 x 轴对称2平移变换(1)左右平移变换一般地，函数图象左右平移变换时，当 h>0 时，将函数 f(x)的图象向右平移 h 个单位长度后，得到函数 f(xh)的图象；向左平移 h个单位长度后，得到函数 f(xh)的图象(2)上下平移变换一般地，函数图象上下平移变换时，当 h>0 时，将函数 f(x)的图象向上平移 h 个单位长度后，得到函数 f(x)h 的图象；向下平移 h个单位长度后，得到函数 f(x)h 的图象3翻折变换(1)画函数 f(|x|)的图象时，先画出函数 f(|x|)在 y 轴右侧的图- 15 - / 15象，再将此部分图象关于 y 轴翻折，即得函数 f(|x|)在 y 轴左侧的图象(2)画函数|f(x)|的图象时，先画出函数 f(x)的图象，再将 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折，即得函数|f(x)|的图象典例 1 为了得到函数 ylg 的图象，只需把函数 ylg x 的图象上所有的点( )A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度思路分析 ylg x310lgx31解析 因为 ylg lg(x3)1，所以只需将 ylg x 的图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，即可得到函数 ylg 的图象答案 C典例 2 已知函数 yf(x)的周期为 2，当 x1,1时 f(x)x2.那么函数 yf(x)的图象与函数 y|lg x|的图象的交点共有( )B9 个A10 个D1 个C8 个思路分析 解析 画出两个函数图象如图所示，可看出交点有 10 个答案 A