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第一章 第 2 节 第 2 页 第 2 节 库仑定律 学习目标 核心提炼 1.知道点电荷的概念，体会理想模型在科学研究中的意义。1 个方法探究实验中的控制变量法 1 个定律库仑定律 1 个模型点电荷理想模型 1 个常量静电力常量 2.掌握库仑定律的内容和条件，并会简单计算。3.掌握库仑力叠加原理，会计算静电力作用下的平衡问题。一、探究影响点电荷之间相互作用的因素 1.点电荷的特点(1)带电体间的距离比它们自身的大小大很多；(2)带电体的形状、大小及电荷分布状况对电荷之间的作用力的影响可以忽略。(3)点电荷是一个理想化的物理模型。2.实验探究 实验现象(1)小球带电荷量不变时，距离带电物体越远，丝线偏离竖直方向的角度越小(2)小球处于同一位置时，小球所带的电荷量越大，丝线偏离竖直方向的角度越大 实验结论 电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小 二、库仑定律 1.静电力：电荷间的相互作用力叫静电力，也叫库仑力。2.内容 适用条件 真空中两个静止的点电荷 库仑力大小 与它们的电荷量的乘积成正比 与它们的距离的二次方成反比 库仑力方向 在它们的连线上，吸引或排斥 3.表达式：FkQ1Q2r2，式中 k 叫做静电力常量，k9.0109_Nm2/C2。4.静电力的叠加 第 3 页(1)两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而有所改变。(2)两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。5.点电荷间的静电力遵循牛顿第三定律。思考判断 1.两点电荷的带电量越大，它们间的静电力就越大。()2.两点电荷的带电量一定时，电荷间的距离越小，它们间的静电力就越大。()3.根据 FkQ1Q2r2，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大。()4.若点电荷 Q1的电荷量大于 Q2的电荷量，则 Q1对 Q2的静电力大于 Q2对 Q1的静电力。()对点电荷的理解 要点归纳 1.点电荷是理想化模型 只有电荷量，没有大小、形状的理想化的模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。2.带电体看成点电荷的条件 如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。3.元电荷与点电荷(1)元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是电荷量的最小单位。(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是一个元电荷的整数倍。精典示例 例 1 下列关于点电荷的说法正确的是()A.任何带电球体，都可看成电荷全部集中于球心的点电荷 B.体积很大的带电体一定不能看成点电荷 C.当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷 第 4 页 D.一切带电体都可以看成点电荷 解析 能否把一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否考虑它的体积大小和形状。能否把一个带电体看成点电荷，不能以它的体积大小而论，应该根据具体情况而定。若它的体积和形状可不予考虑时，就可以将其看成点电荷。带电球体也不能看成电荷全部集中于球心的点电荷，故选项 C 正确。答案 C 针对训练 1(多选)关于点电荷，下列说法中正确的是()A.点电荷是电荷量和体积都很小的带电体 B.点电荷是一种理想模型 C.点电荷的最小带电量等于元电荷 D.球形带电体都可以看成点电荷 解析 点电荷是一种物理模型，实际中并不存在，B 正确；一个带电体能否看成点电荷，不是看它的大小和形状，而是看它的大小和形状对所研究的问题的影响是否可以忽略不计。若可以忽略不计，则它就可以看作点电荷；否则就不能看作点电荷，A、D 错误；所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，C 正确。答案 BC 库仑定律的理解与应用 要点归纳 1.静电力的确定方法(1)大小计算：利用库仑定律计算静电力大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入 q1、q2的绝对值即可。(2)方向判断：利用同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来判断。2.库仑定律的两个应用(1)计算在真空中两个可视为点电荷的带电体间的库仑力。(2)分析两个带电球体间的库仑力。两个规则的均匀带电球体，相距比较远时，可以看成点电荷，库仑定律也适用，二者间的距离就是球心间的距离。第 5 页 两个规则的带电金属球体相距比较近时，不能被看成点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随电荷的分布发生改变。如图 1 甲，若带同种电荷，由于排斥作用距离变大，此时 FkQ1Q2r2。图 1 精典示例 例 2 甲、乙两导体球，甲球带有 4.81016 C 的正电荷，乙球带有 3.21016 C的负电荷，放在真空中相距为 10 cm 的地方，甲、乙两球的半径远小于 10 cm。(结果保留三位有效数字)(1)试求两球之间的静电力，并说明是引力还是斥力？(2)将两个导体球相互接触一会儿，再放回原处，其作用力能求出吗？是斥力还是引力？(3)如果两个导体球完全相同，接触后放回原处，两球之间的作用力如何？解析(1)因为两球的半径都远小于10 cm，因此可以作为两个点电荷考虑。由库仑定律可求 FkQ1Q2r2109错误!1019 N。两球带异种电荷，它们之间的作用力是引力。(2)将两个导体球相互接触，首先正、负电荷相互中和，还剩余(4.83.2)1016 C的正电荷，这些正电荷将重新在两导体球间分配。由于题中并没有说明两个导体球是否完全一样，因此我们无法求出力的大小，但可以肯定两球放回原处后，它们之间的作用力变为斥力。1016 C，代入公式得 FkQ1Q2r2109错误!1021 N，即两个电荷之间的斥力为F1021 N。答案(1)1.381019 N 引力(2)不能 斥力(3)5.761021 N 斥力 第 6 页(1)库仑定律适用于点电荷间的相互作用，当 r0 时，电荷不能再看成点电荷，库仑定律不再适用。(2)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律。不要认为电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大。针对训练 2 A、B、C 三点在同一直线上，ABBC12，B 点位于 A、C 之间，在 B 处固定一电荷量为 Q 的点电荷。当在 A 处放一电荷量为q 的点电荷时，它所受到的电场力为 F；移去 A 处电荷，在 C 处放一电荷量为2q 的点电荷，其所受电场力为()A.F2 B.F2 C.F D.F 解析 在 A 处放电荷量为q 的点电荷时，Q 所受电场力大小为 FkQqr2AB；在 C处放一电荷量为2q 的点电荷时，Q 所受电场力大小为 FkQ2qr2BC2kQq（2rAB）2kQq2r2ABF2。且不管电荷 Q 是正还是负，两种情况下，Q 受力方向相同，故选项 B正确，A、C、D 错误。答案 B 库仑力的叠加 要点归纳 当多个带电体同时存在时，每两个带电体间的库仑力都遵守库仑定律。某一带电体同时受到多个库仑力作用时可利用力的平行四边形定则求出其合力。这就是库仑力的叠加原理。精典示例 例 3 如图 2 所示，在 A、B 两点分别放置点电荷 Q121014 C 和 Q221014 C，在 AB 的垂直平分线上有一点 C，且 ABACBC6102 m。如果有一个电子在 C 点，它所受到的库仑力的大小和方向如何？图 2 解析 电子在 C 点同时受 A、B 点电荷对其的作用力 FA、FB，如图所示，由库仑 第 7 页 定律 FkQ1Q2r2得 FAFBkQ1er2109210141019（6102）21021 N。由平行四边形定则和几何知识得：静止在 C 点的电子受到的库仑力 FFAFB1021 N，方向平行于 AB 向左。答案 8.01021 N 方向平行于 AB 向左 针对训练 3 在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球 A、B、C 位于等边三角形的三个顶点上，小球 D 位于三角形的中心，如图 3 所示。现让小球 A、B、C 带等量的正电荷 Q，让小球 D 带负电荷 q，使四个小球均处于静止状态，则 Q 与 q 的比值为()图 3 A.13 B.33 C.3 D.3 解析 设三角形边长为 L，故 AB、AC 距离为 L，AD 距离为33L。以小球 A 为研究对象，由库仑定律知，B、C 对 A 球的库仑力大小均为 FkQ2L2，两力的合力F合2Fcos 30 3kQ2L2。球 A、D 间的库仑力 FkQq33L23kQqL2。根据平衡知识得：F合F，即 3kQ2L23kQqL2，所以 Q 3q，Q 与 q 的比值为 3，D 正确。答案 D 静电力作用下的平衡问题 精典示例 例 4 如图 4 所示，质量为 m、电荷量为 Q 的带电小球 A 用绝缘细线悬挂于 O点，带有电荷量也为 Q 的小球 B 固定在 O 点正下方绝缘柱上。其中 O 点与小球A 的间距为 l，O 点与小球 B 的间距为 3l，当小球 A 平衡时，悬线与竖直方向夹角 30。带电小球 A、B 均可视为点电荷，静电力常量为 k。则()图 4 A.A、B 间库仑力大小 FkQ22l2 第 8 页 B.A、B 间库仑力大小 F3mg3 C.细线拉力大小 TkQ23l2 D.细线拉力大小 T 3mg 解析 带电小球 A 受力如图所示，OC32l，即 C 点为 OB 中点，根据对称性 ABl。由库仑定律知 A、B 间库仑力大小 FkQ2l2，细线拉力 TFkQ2l2，选项 A、C 错误；根据平衡条件得Fcos 3012mg，得 F3mg3，绳子拉力 T3mg3，选项 B 正确，D 错误。答案 B 处理静电力作用下的平衡问题的方法(1)确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。(2)对研究对象进行受力分析，多了库仑力(FkQ1Q2r2)。(3)列平衡方程(F合0 或 Fx0，Fy0)。例 5 如图 5 所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为 L 的点电荷 A、B，带电荷量分别为4Q 和Q，今引入第三个点电荷 C，使三个点电荷都处于平衡状态，则 C 的电荷量和放置的位置是()图 5 A.Q 在 A 左侧距 A 为 L 处 B.2Q 在 A 左侧距 A 为L2处 C.4Q 在 B 右侧距 B 为 L 处 D.2Q 在 A 右侧距 A 为3L2处 解析 要使三点电荷处于平衡，可知 C 应放在 B 的右侧，且与 A 电性相同带负 第 9 页 电，由 FABFCB得 k4Q2L2kQCQr2BC；由 FACFBC得 k4QQC（rBCL）2kQQCr2BC；解得 rBCL，QC4Q，故选项 C 正确。答案 C 三电荷平衡模型(1)模型构建 三个点电荷共线。三个点电荷彼此间仅靠电场力作用达到平衡，不受其他外力。任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力。(2)模型规律“三点共线”三个点电荷分布在同一直线上。“两同夹异”正负电荷相互间隔。“两大夹小”中间电荷的电荷量最小。“近小远大”中间电荷靠近电荷量较小的电荷。1.(点电荷的理解)下列说法正确的是()A.点电荷是客观存在的，任何带电体在任何情况下都可看成点电荷 B.点电荷就是体积和带电荷量都很小的带电体 C.两带电荷量分别为 Q1、Q2的球体间的作用力在任何情况下都可用公式 FkQ1Q2r2计算 D.一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计 解析 点电荷是一种理想化模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小，而是应具体问题具体分析，是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计。因此大的带电体一定不能看成点电荷和小的带电体一定能看成点电荷的说法都是 第 10 页 错误的，所以选项 D 正确。答案 D 2.(库仑定律的理解)两个完全相同的金属小球 A、B(均可视为点电荷)带有相等的电荷量，相隔一定距离，两小球之间相互吸引力的大小是 F。今让第三个不带电的相同金属小球先后与 A、B 两小球接触后移开。这时 A、B 两小球之间的相互作用力的大小是()A.F8 B.F4 C.3F8 D.3F4 解析 设 A、B 两球间的距离为 r，因为开始时 A、B 两球间的作用力是吸引力，所以设 A 所带电荷量为 Q，B 所带电荷量为Q，由库仑定律知，开始时 A、B两球之间的作用力 FkQQr2。当第三个不带电的小球与 A 接触时，据电荷均分原理可知，两球均带电荷量为12Q。当第三个小球与 B 球接触时，两球均带电荷量为12(12 QQ)14Q。故这时 A、B 两球间的作用力大小 Fk12Q14Qr218F。答案 A 3.(“三点共线”模型)(2019金华高二检测)如图 6 所示三个点电荷 Q1、Q2、Q3在一条直线上，Q2和 Q3的距离为 Q1和 Q2距离的两倍，每个点电荷所受静电力的合力为零，由此可以判定，三个点电荷的电荷量之比 Q1Q2Q3为()图 6 A.(9)4(36)B.9436 C.(3)2(6)D.326 解析 由三电荷平衡模型的特点“两同夹异”可知，Q1和 Q3为同种电荷，它们与Q2互为异种电荷。设 Q1和 Q2距离为 r，则 Q2和 Q3的距离为 2r，电荷量均取绝对值，对 Q1有：kQ1Q2r2kQ1Q3（3r）2 第 11 页 对 Q2有：kQ1Q2r2kQ2Q3（2r）2 对 Q3有：kQ2Q3（2r）2kQ1Q3（3r）2 联立可解得：Q1Q2Q39436。所以每个点电荷的电荷量之比 Q1Q2Q3为(9)4(36)或 9(4)36，只有 A 项正确。答案 A 4.(静电力的平衡问题)(2019西安高二检测)如图 7 所示，把质量为 m 的带负电小球 A，用绝缘细绳悬挂。若将带电荷量为 Q 的带正电球 B 靠近 A，当两个带电小球在同一高度相距 r 时，绳与竖直方向成 角。试求：图 7(1)A 球受到的绳子拉力多大？(2)A 球带电荷量是多少？解析(1)带负电的小球 A 处于平衡状态，A 受到库仑力 F、重力 mg 以及绳子的拉力T 的作用，受力如图所示。竖直方向：mgTcos 0，水平方向：FTsin 0 解得 Tmgcos Fmgtan (2)设 A 球带电荷量为 q，根据库仑定律 FkqQr2 联立解得 qmgr2tan kQ 答案(1)mgcos (2)mgr2tan kQ 第 12 页 基础过关 1.(多选)下列关于点电荷的说法正确的是()A.点电荷是一个带电体的几何点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化的模型 B.带电体如果本身大小和形状对它们间的相互作用的影响可忽略，则可视为点电荷 C.真空中两个静止点电荷间的相互作用力，跟它们之间的距离成反比 D.真空中两个静止点电荷间的相互作用力，跟它们所带的电荷量的乘积成正比 解析 点电荷是为了研究物理问题方便而引入的物理模型，是由实际物体抽象所得，A 正确；一个带电体，无论它多大，只要它的大小和形状对它们间的相互作用的影响可忽略，它就可视为点电荷，B 正确；由 FkQ1Q2r2知，真空中两个静止点电荷间的相互作用力，跟它们之间的距离的二次方成反比，跟它们所带的电荷量的乘积成正比，C 错误，D 正确。答案 ABD 2.如图 1 所示，两个质量均为 m 的完全相同的金属球壳 a 和 b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离 l 为球半径的 3 倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为 Q，那么关于 a、b 两球之间的万有引力 F引和库仑力 F库的表达式正确的是()图 1 A.F引Gm2l2，F库kQ2l2 B.F引Gm2l2，F库kQ2l2 C.F引Gm2l2，F库kQ2l2 D.F引Gm2l2，F库kQ2l2 解析 由于 a、b 两球所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布较密集，又 l3r，不满足 lr 的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律，故 F库kQ2l2。虽然不满足 lr，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看成质量集中于球心的质点，可以应 第 13 页 用万有引力定律，F引Gm2l2，故选项 D 正确。答案 D 3.如图 2 所示，在一条直线上的 A、B、C 三点分别放置 QA3109 C、QB4109 C、QC3109 C 的点电荷，则作用在点电荷 A 上的作用力的大小为()图 2 A.9.9104 N B.9.9103 N C.1.17104 N D.2.7104 N 解析 点电荷 A 同时受到 B 和 C 的库仑力作用，因此作用在 A 上的力应为两库仑力的合力。可先根据库仑定律分别求出 B、C 对 A 的库仑力，再求合力。A 受到 B、C 电荷的库仑力如图所示，根据库仑定律有 FBAkQBQAr2BA9109410931092 N 103 N FCAkQCQAr2CA9109310931092 N9105 N 规定沿这条直线由 A 指向 C 为正方向，则点电荷 A 受到的合力大小为 FAFBAFCA1039105104 N。故选项 A 正确。答案 A 4.如图 3，电荷量为 Q1和 Q2的两个点电荷分别位于 P 点和 Q 点。已知放在 P、Q连线上某点 R 处的点电荷 q 受力为零，且 PR2RQ。则()图 3 A.Q12Q2 B.Q14Q2 C.Q12Q2 D.Q14Q2 第 14 页 解析 由于 R 处的点电荷 q 受力平衡，根据库仑定律得kQ1q（PR）2kQ2q（RQ）2，PR2RQ，解得 Q14Q2。Q1、Q2一定为同种电荷，所以选项 B 正确。答案 B 5.(多选)如图 4，光滑绝缘水平面上有三个带电小球 a、b、c(均可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下处于静止状态，则以下判断正确的是()图 4 A.a 对 b 的静电力一定是引力 B.a 对 b 的静电力可能是斥力 C.a 的电荷量可能比 b 的少 D.a 的电荷量一定比 b 的多 解析 根据三电荷平衡问题“两同夹异”的特点，a、b 带有异种电荷，它们之间一定是引力，A 正确，B 错误；根据“两大夹小”的特点，b 球带电荷量最少，C 错误，D 正确。答案 AD 6.如图 5 所示，半径为 R 的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为Q 的电荷，另一电荷为q 的点电荷放在球心 O 上，由于对称性，点电荷受力为零。现在球壳上挖去半径为 r(rR)的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受静电力的大小为多少？方向如何？(已知静电力常量为 k)图 5 解析 在球壳上与小圆孔相对的小圆面 B 的电荷量 qr24R2Qr24R2Q。根据库仑定律，它对位于球心的点电荷q 的作用力大小 FkqqR2kr24R2QqR2kqQr24R4，其方向由球心指向小圆孔中心。答案 kqQr24R4 由球心指向小圆孔中心 第 15 页 能力提升 7.三个相同的金属小球 A、B、C 分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。A、B 两球带同种电荷，A 所带电荷量为 Q，B 所带电荷量为 nQ，C不带电且离 A 和 B 很远，此时 A、B 两球之间作用力的大小为 F。现使 C 先与 A接触，与 A 分开后，C 再与 B 接触，然后将 C 移至远处，此时 A、B 两球之间作用力的大小仍为 F，方向不变。由此可知()A.n13 B.n3 C.n16 D.n6 解析 设 A、B 两球间的距离为 r，则 FknQ2r2，C 与 A 接触后，A、C 分别带的电荷量均为Q2，C 再与 B 接触后，B、C 所带的电荷量均为（2n1）Q4，则 Fk（2n1）Q28r2，联立两式可得 n16，C 正确。答案 C 8.如图 6 所示，直角三角形 ABC 中B30，点电荷 A、B 所带电荷量分别为QA、QB，测得在 C 处的某正点电荷所受静电力方向平行于 AB 向左，则下列说法正确的是()图 6 A.A 带正电，QAQB18 B.A 带负电，QAQB18 C.A 带正电，QAQB14 D.A 带负电，QAQB14 解析 要使 C 处的正点电荷所受静电力方向平行于 AB 向左，该正点电荷所受力的情况应如图所示，所以 A 带负电，B 带正电。设 AC 间的距离为 L，则 FBsin 30FA即 kQBQC（2L）2sin 30kQAQCL2 解得QAQB18，故选项 B 正确。第 16 页 答案 B 9.如图 7 所示，绝缘水平面上静止着两个质量为 m、电荷量均为Q 的物体 A 和B(A、B 均可视为质点)，它们间的距离为 r，与水平面间的动摩擦因数均为。求：图 7(1)A 受到的摩擦力为多大？(2)如果将 A 的电荷量增至4Q，两物体开始运动，当它们的加速度第一次为零时，A、B 各运动了多远距离？解析(1)由平衡条件知对A 有 fFkQ2r2。(2)当 a0 时，设 A、B 间距离为 r，k4Q2r2mg0，所以 r2Qkmg 由题意可知：A、B 运动的距离均为 xrr2，故 xQkmgr2。答案(1)kQr2(2)Qkmgr2