高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-5曲线与方程课时提升作业理.doc
- 1 - / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-58-5 曲线曲线与方程课时提升作业理与方程课时提升作业理(25(25 分钟分钟 4040 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016·沧州模拟)已知点 F,直线 l:x=-,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 ( )A.双曲线 B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】选 D.由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线.2.方程(x2-y2-1)=0 表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )【解析】选 B.原方程等价于或 x-y-1=0,前者表示等轴双曲线 x2-y2=1 位于直线 x-y-1=0 下方的部分(含交点),后者为直线 x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.【加固训练】方程(x2+y2-4)=0 的曲线形状是 ( )【解析】选 C.由题意可得 x+y+1=0 或它表示直线 x+y+1=0 和圆 x2+y2-4=0 在直线 x+y+1=0 右上方(含交点)的部分.3.若点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则点 P(x,y)的轨迹方程为 ( )- 2 - / 9A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y【解析】选 C.点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,说明点 P(x,y)到点 F(0,2)和到直线 y+2=0 的距离相等,所以 P 点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),其中 p=4,故所求的轨迹方程为 x2=8y.4.若曲线 C 上存在点 M,使 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为 8,则称曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是 ( )A.x+y=5B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16y【解题提示】可依据“好曲线”的定义,逐个验证即可得出结论.【解析】选 B.因为 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为 8,所以 M 的轨迹是以 A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.A 项,直线 x+y=5 过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B 项,x2+y2=9 的圆心为(0,0),半径为 3,与 M 的轨迹没有交点,不满足题意;C 项,+=1 的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D 项,方程代入-=1,可得 y-=1,即 y2-9y+9=0,所以>0,满足题意,为“好曲线”.5.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为 ( )A.x2-=1(x>1)B.x2-=1(x0)D.x2-=1(x>1)- 3 - / 9【解析】选 A.设另两个切点为 E,F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=21).【加固训练】1.(2016·洛阳模拟)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若=2,且·=1,则点 P 的轨迹方程是 ( )A.x2+3y2=1(x>0,y>0)B.x2-3y2=1(x>0,y>0)C.3x2-y2=1(x>0,y>0)D.3x2+y2=1(x>0,y>0)【解析】选 A.设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0.点 Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即 ax+by=1.将 a,b代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x2+3y2=1(x>0,y>0).2.(2016·保定模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射 f将 xOy 平面上的点 P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系 xOy上的点P(2xy,x2-y2),则当点 P 沿着折线 A-B-C 运动时,在映射 f 的作用下,动点 P的轨迹是 ( )【解析】选 D.当 P 沿 AB 运动时,x=1,设 P(x,y),则(0y1),所以 y=1-(0x2,0y1).当 P 沿 BC 运动时,y=1,则(0x1),- 4 - / 9所以 y=-1(0x2,-1y0),由此可知 P的轨迹如 D 所示.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴,y 轴上滑动,则 AB 中点的轨迹方程为 .【解析】设 A(m,0),B(0,n),则|AB|2=m2+n2=4a2,再设线段 AB 中点 P 的坐标为(x,y),则 x=,y=,即 m=2x,n=2y,所以 4x2+4y2=4a2,即 AB 中点的轨迹方程为 x2+y2=a2.答案:x2+y2=a2【加固训练】直线+=1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是 .【解析】直线+=1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0,2-a),设 AB 的中点为 M(x,y),则 x=,y=1-,消去 a,得 x+y=1.因为 a0 且 a2,所以 x0 且 x1.答案:x+y=1(x0 且 x1)7.如图,已知 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q,且·=·.则动点 P 的轨迹 C 的方程为 .【解析】设点 P(x,y),则 Q(-1,y),由·=·,得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得 C:y2=4x.答案:y2=4x【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:由·=·,得·(+)=0,- 5 - / 9所以(-)·(+)=0,-=0.所以,|=|.所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为 y2=4x.答案:y2=4x8.已知O 的方程是 x2+y2-2=0,O的方程是 x2+y2-8x+10=0,若由动点 P 向O 和O所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是 .【解题提示】可直接利用切线长相等,得出方程,注意切线长的求法,可利用勾股定理求解.【解析】设 P(x,y),切点分别为 A,B,由圆 O的方程为(x-4)2+y2=6 及已知|AP|=|BP|,故|OP|2-|AO|2=|OP|2-|OB|2,则|OP|2-2=|OP|2-6,所以 x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.所以 x=,故动点 P 的轨迹方程是 x=.答案:x=(15(15 分钟分钟 3030 分分) )1.(5 分)在平行四边形 ABCD 中,BAD=60°,AD=2AB,若 P 是平面 ABCD 内一点,且满足:x+y+=0(x,yR).则当点 P 在以 A 为圆心,|为半径的圆上时,实数 x,y应满足的关系式为 ( )A.4x2+y2+2xy=1 B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1【解析】选 D.如图,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设 AD=2.据- 6 - / 9题意, 得 AB=1,ABD=90°,BD=.所以 B,D 的坐标分别为(1,0),(1,),所以=(1,0),=(1,).设点 P 的坐标为(m,n),即=(m,n),则由 x+y+=0,得:=x+y,所以据题意,m2+n2=1,所以 x2+4y2+2xy=1.2.(5 分)(2016·晋城模拟)已知ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点 A 的轨迹方程为 .【解析】设 A(x,y),则 D,所以|CD|=3,化简得(x-10)2+y2=36,由于 A,B,C 三点构成三角形,所以 A 不能落在 x 轴上,即 y0.答案:(x-10)2+y2=36(y0)【误区警示】解答本题易出现如下错误没有考虑到三角形这一条件,即点 A 不能在 x 轴上,从而漏掉条件 y0.3.(5 分)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM=AB,点 P 在平面 ABCD 内,且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是 .【解题提示】可在正方体中求出点 P 到直线 A1D1 的距离,然后再求出 P 到点 M的距离,依据题设条件即可得出动点 P 的轨迹方程.【解析】过 P 作 PQAD 于 Q,再过 Q 作 QHA1D1 于点 H,连接 PH,可证PHA1D1,设 P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,得 x2+1-+y2=1,化简得 y2=x-.答案:y2=x-4.(15 分)(2016·承德模拟)在平面直角坐标系中,已知向量 a=(x,y-),b=(kx,y+)(kR),ab,动点 M(x,y)的轨迹为 T.(1)求轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状.- 7 - / 9(2)当 k=时,已知点 B(0,-),是否存在直线 l:y=x+m,使点 B 关于直线 l 的对称点落在轨迹 T 上?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为 ab,所以 a·b=(x,y-)·(kx,y+)=0 得 kx2+y2-2=0,即 kx2+y2=2.当 k=0 时,方程表示两条与 x 轴平行的直线;当 k=1 时,方程表示以原点为圆心,以为半径的圆;当 k>0 且 k1 时,方程表示椭圆;当 k0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线 C 上一点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径 r=|MA|=,- 9 - / 9则|TS|=2=2,因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0=,所以|TS|=2=2,是定值.
