待定系数法分解因式(含答案)-.pdf

.待定系数法分解因式待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。例例 1 1 分解因式思路 1 因为所以设原式的分解式是求出 m,n,的值。解法 1 因为所以可设比较系数，得由、解得把代入式也成立。然后展开，利用多项式的恒等，思路 2 前面同思路 1，然后给 x,y 取特殊值，求出 m,n 的值。解法 2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y 都成立，那么无妨令得令得或解、得把它们分别代入恒等式检验，得.说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例例 2 2 分解因式积。解 设思路 本题是关于 x 的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之由恒等式性质有：由、解得说明 若设原式代入中，式成立。由待定系数法解题知关于a 与 b 的方程组无解，故设原式例例 3 3 在关于 x 的二次三项式中，当时，其值为 10，求这个二次三项式。思路 1 先设出关于 x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。解法 1 设关于 x 的二次三项式为把已知条件分别代入，得时，其值为 0；当时，其值为 0；当解得故所求的二次三项为思路 2 根据已知后再求出 a 的值。解法 2 由已知条件知当次三项式为.时，其值 0 这一条件可设二次三项式为然时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二.解得把代入上式，得即是奇数，证明这个多项故所求的二次三项式为例例 4 4 已知多项式说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。的系数都是整数。若式不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。证明：设（m,n,r 都是整数）。比较系数，得因为在式中令由，得是奇数，得是奇数，则与 d 都为奇数，那么 mr 也是奇数，由奇是奇数。而 m 为奇数，故是偶数，所以数的性质得出 m,r 也都是奇数。是偶数。这样 的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例例 5 5 已知能被整除，求证：思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设展开，比较系数，得由、，得代入、得：，例例 6 6 若 a 是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1 和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求 a 的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得.由于 a 是自然数，且解得当当时，时，是一个质数，不是质数。是质数。=11.练习练习A A 级级1、分解因式2、若多项式3、二次三项式当时其值为-3，当_.能被整除，则 n=_.时其值为 2，当能被B B 级级5、多项式6、若多项式7、若多项式也是 0。8、求证：不能分解为两个一次因式的积。.时其值为 5，整除？这个二次三项式是 _.4、m,n 是什么数时，多项式能分解为两个一次因式的积，则k=_.能被当整除，则_.2 时的值均为 0，则当 x=_ 时，多项式的值.参考答案或提示：参考答案或提示：1.提示：设原式比较两边系数，得由、解得将原式2、-4。提示：设原式=比较系数，得代入式成立。由、解得代入得3、提示：设二次三项式为把已知条件代入，得解得所求二次三项式为4.设.比较系数，得解得当 m=-11，n=4 已知多项式能被5.-2提示：设原式比较系数，得整除。.解得6.-7提示：设原式比较系数，得解得7.3.提示：设原式比较系数，得解得 c=3.当 x=3 时，多项式的值也是 0.8.设原式且展开后比较系数，得2m n 13m n 14mn 15由、得代入，再由、得将上述入得.而这与矛盾，即方程组无解。故命题得证。.