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高二数学会考知识点总结大全高二数学会考知识点总结大全(必修必修)第第 1 1 章章空间几何体空间几何体 1 11.11.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1111 三视图：三视图：正视图：从前往后正视图：从前往后侧视图：从左往右侧视图：从左往右俯视图：从上往下俯视图：从上往下2222 画三视图的原则：画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等长对齐、高对齐、宽相等3333 直观图：斜二测画法直观图：斜二测画法4444 斜二测画法的步骤：斜二测画法的步骤：（1 1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2 2）.平行于平行于 y y 轴的线长度变半，平行于轴的线长度变半，平行于 x x，z z 轴的线长度不变；轴的线长度不变；（3 3）.画法要写好。画法要写好。5 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：用斜二测画法画出长方体的步骤：（1 1）画轴（）画轴（2 2）画底面（）画底面（3 3）画侧）画侧棱（棱（4 4）成图）成图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积（一（一）空间几何体的表面积）空间几何体的表面积1 1 棱柱、棱锥的表面积：棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和各个面面积之和2 2 圆柱的表面积圆柱的表面积S 2rl 2r23 3 圆锥的表面积圆锥的表面积S rl r24 4 圆台的表面积圆台的表面积S rl r2Rl R25 5 球的表面积球的表面积S 4R2（二）空间几何体的体积（二）空间几何体的体积1 1 柱体的体积柱体的体积V S底h2 2 锥体的体积锥体的体积V 13S底h3 3 台体的体积台体的体积V 13（S上S上S下 S下)h4 4 球体的体积球体的体积V 4R33第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2.12.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.12.1.11 1 平面含义：平面是无限延展的平面含义：平面是无限延展的2 2 平面的画法及表示平面的画法及表示（1 1）平面的画法：水平放置的平面通常画）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成成一个平行四边形，锐角画成 45450 0，且横边，且横边画成邻边的画成邻边的 2 2 倍长（如图）倍长（如图）DC（2 2）平面通常用希腊字母、等表）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、示，如平面、平面等，也可以用表示平平面等，也可以用表示平AB面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如如平面平面 ACAC、平面、平面 ABCDABCD 等。等。3 3三个公理：三个公理：（1 1）公理）公理 1 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内此平面内符号表示为符号表示为A AL LB BL =LL =LAA ALB B公理公理 1 1 作用：判断直线是否在平面内作用：判断直线是否在平面内（2 2）公理）公理 2 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。ABC符号表示为：符号表示为：A A、B B、C C 三点不共线三点不共线=有且只有一个平面，有且只有一个平面，使使 A A、B B、C C。公理公理 2 2 作用：确定一个平面的依据。作用：确定一个平面的依据。（3 3）公理公理 3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。有一条过该点的公共直线。符号表示为：符号表示为：P P=L=L，且，且 P PL LP公理公理 3 3 作用：判定两个平面是否相交的依据作用：判定两个平面是否相交的依据L2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 1 空间的两条直线有如下三种关系：空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；共 面 直异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。2 2 公理公理 4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设符号表示为：设 a a、b b、c c 是三条直线是三条直线a ab b=acc cb b强调：公理强调：公理 4 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。适用。公理公理 4 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。作用：判断空间两条直线平行的依据。3 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补相等或互补4 4 注意点：注意点：a a与与 bb所成的角的大小只由所成的角的大小只由 a a、b b 的相互位置来确定，与的相互位置来确定，与 O O 的选的选择无关，为了简便，点择无关，为了简便，点 O O 一般取在两直线中的一条上；一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(0(02，)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作相垂直，记作 a ab b；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。的角。2.1.32.1.3 2.1.4 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1 1、直线与平面有三种位置关系：、直线与平面有三种位置关系：（1 1）直线在平面内）直线在平面内 有无数个公共点有无数个公共点（2 2）直线与平面相交）直线与平面相交 有且只有一个公共点有且只有一个公共点（3 3）直线在平面平行）直线在平面平行 没有公共点没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示来表示a a a a=A a=A a2.2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：符号表示：a ab b =a =aa ab b2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定1 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。平行，则这两个平面平行。符号表示：符号表示：a ab ba ab b=P Pa ab b2 2、判断两平面平行的方法有三种：、判断两平面平行的方法有三种：（1 1）用定义；）用定义；（2 2）判定定理；）判定定理；（3 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.32.2.3 2.2.4 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质1 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：符号表示：a aa a a ab b=b=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。行。符号表示：符号表示：=a a=a ab b=b=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.32.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1 1、定义、定义如果直线如果直线 L L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L L与平面互相垂直，记作与平面互相垂直，记作 L L，直线，直线 L L 叫做平面的垂线，平面叫做平面的垂线，平面叫做直线叫做直线 L L 的垂面。如图，直线与平面垂直时的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点它们唯一公共点 P P 叫叫做垂足。做垂足。L L p p2 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线与此平面垂直。注意点：注意点：a)a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。直”互相转化的数学思想。2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A A梭梭 l lB B2 2、二面角的记法：二面角、二面角的记法：二面角-l-l-或或-AB-AB-3 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。这两个平面垂直。2.3.32.3.3 2.3.4 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质1 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 2 性质定理：性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。个平面垂直。本章知识结构框图本章知识结构框图平面（公理 1、公理 2、公理 3、空间直线、平面的位置关系第三章第三章直线与方程直线与方程直线与平面的位置关直线与直线的位置3.13.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率平面与平面3.13.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率1 1、直线的倾斜角的概念：当直线、直线的倾斜角的概念：当直线l l 与与 x x 轴相交时轴相交时,取取 x x 轴作为基准轴作为基准,x x轴正向与直线轴正向与直线 l l向上方向之间所成的角叫做直线向上方向之间所成的角叫做直线 l l的倾斜角的倾斜角.特别特别地地,当直线当直线 l l 与与 x x 轴平行或重合时轴平行或重合时,规定规定=0=0.2 2、倾斜角的取值范围：倾斜角的取值范围：0 0180180.当直线当直线 l l 与与 x x 轴垂直时轴垂直时,=90=90.3 3、直线的斜率、直线的斜率:一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角(9090)的正切值叫做这条直线的斜率的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母斜率常用小写字母 k k 表示表示,也就是也就是 k=tan k=tan当直线当直线 l l 与与 x x 轴平行或重合时轴平行或重合时,=0=0,k=tan0,k=tan0=0;=0;当直线当直线 l l 与与 x x 轴垂直时轴垂直时,=90=90,k,k 不存在不存在.由此可知由此可知,一条直线一条直线 l l 的倾斜角一定存在的倾斜角一定存在,但是斜率但是斜率 k k 不一定存在不一定存在.4 4、直线的斜率公式直线的斜率公式:给定两点给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,x2,用两点的坐标来表示用两点的坐标来表示直线直线 P1P2P1P2 的斜率：的斜率：斜率公式斜率公式:3.1.23.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直1 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等等；反反 之之，如如 果果 它它 们们 的的 斜斜 率率 相相 等等，那那 么么 它它 们们 平平 行行，即即注意注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2,k1=k2,那么一定有那么一定有 L1L1L2L22 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.13.2.1直线的点斜式方程直线的点斜式方程1 1、直线的点斜式方程：直线直线的点斜式方程：直线l经过点经过点P0(x0,y0)，且斜率为，且斜率为k2 2、直线的斜截式方程：已知直线、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为的斜率为k，且与，且与y轴的交点为轴的交点为(0,b)3.2.23.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程1 1、直直 线线 的的 两两 点点 式式 方方 程程：已已 知知 两两 点点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其其 中中(x1 x2,y1 y2)2 2、直线的截距式方程：已知直线、直线的截距式方程：已知直线l与与x轴的交点为轴的交点为 A A(a,0)，与，与y轴的轴的交点为交点为 B B(0,b)，其中，其中a 0,b 03.2.33.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程1 1、直线的一般式方程：直线的一般式方程：关于关于x,y的二元一次方程的二元一次方程Ax By C 0（A A，B B 不同时为不同时为 0 0）2 2、各种直线方程之间的互化。、各种直线方程之间的互化。3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.13.3.1 两直线的交点坐标两直线的交点坐标1 1、给出例题：两直线交点坐标、给出例题：两直线交点坐标L1L1：3x+4y-2=03x+4y-2=0L1L1：2x+y+2=02x+y+2=0解：解方程组解：解方程组3x4y2 02x2y2 0得得 x=-2 x=-2，y=2y=2所以所以 L1L1 与与 L2L2 的交点坐标为的交点坐标为 M M（-2-2，2 2）3.3.23.3.2 两点间距离两点间距离两点间的距离公式两点间的距离公式3.3.33.3.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式1 1点到直线距离公式：点到直线距离公式：点点P(xAx0 By0C0,y0)到直线到直线l:Ax By C 0的距离为：的距离为：d A2 B22 2、两平行线间的距离公式：、两平行线间的距离公式：已已 知知 两两 条条 平平 行行 线线 直直 线线l1和和l2的的 一一 般般 式式 方方 程程 为为l1：Ax By C1 0，lC1C22：Ax By C2 0，则，则l1与与l2的距离为的距离为d A2 B2第四章第四章圆与方程圆与方程4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程1 1、圆的标准方程：、圆的标准方程：(xa)2(y b)2 r2圆心为圆心为 A(a,b),A(a,b),半径为半径为 r r 的圆的方程的圆的方程2 2、点、点M(x0,y0)与圆与圆(xa)2(y b)2 r2的关系的判断方法：的关系的判断方法：（1 1）(x0a)2(y0b)2 r2，点在圆外，点在圆外（2 2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上，点在圆上（3 3）(x0a)2(y0b)2 r2，点在圆内，点在圆内4.1.24.1.2圆的一般方程圆的一般方程1 1、圆的一般方程：、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02 2、圆的一般方程的特点：、圆的一般方程的特点：(1)(1)x2x2 和和 y2y2 的系数相同，不等于的系数相同，不等于 0 0没有没有 xyxy 这样的二次项这样的二次项(2)(2)圆的一般方程中有三个特定的系数圆的一般方程中有三个特定的系数 D D、E E、F F，因之只要求出，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了这三个系数，圆的方程就确定了(3)(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几几何特征较明显。何特征较明显。4.2.14.2.1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系1 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线设直线l：ax by c 0，圆，圆C：x2 y2 Dx Ey F 0，圆的半，圆的半径为径为r，圆心，圆心(D2,E2)到直线的距离为到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：关系的依据有以下几点：（1 1）当）当d r时，直线时，直线l与圆与圆C相离；相离；（2 2）当）当d r时，直线时，直线l与圆与圆C相切；相切；（3 3）当）当d r时，直线时，直线l与圆与圆C相交；相交；4.2.24.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系两圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：几点：（1 1）当）当l r1 r2时，圆时，圆C1与圆与圆C2相离；相离；（2 2）当）当l r1 r2时，圆时，圆C1与圆与圆C2外切；外切；（3 3）当）当|r1 r2|l r1 r2时，圆时，圆C1与圆与圆C2相交；相交；（4 4）当）当l|r1 r2|时，圆时，圆C1与圆与圆C2内切；内切；（5 5）当）当l|r1 r2|时，圆时，圆C1与圆与圆C2内含；内含；4.2.34.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用1 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2 2、过程与方法、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：第一步：建立适当的平面直角坐标系，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论4.3.14.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系1 1、点点 M M 对应着唯一确定的有序实数组对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是分别是 P P、Q Q、R R 在在x、y、z轴上的坐标轴上的坐标2 2、有序实数组、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点，对应着空间直角坐标系中的一点3 3、空间中任意点空间中任意点 M M 的坐标都可以用有序实数组的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，来表示，该数组该数组叫做点叫做点 M M 在此空间直角坐标系中的坐标，在此空间直角坐标系中的坐标，记记 M M(x,y,z)，x叫做点叫做点 M M 的横的横坐标，坐标，y叫做点叫做点 M M 的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点 M M 的竖坐标。的竖坐标。4.3.24.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式1 1、空间中任意一点、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式之间的距离公式
