第八章第1节.pdf

第八章 第 1 节 第 2 页 第 1 节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；，了解空间图形的不同表示形式.知 识 梳 理 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形的一边所在的直线 圆锥 直角三角形 直角三角形的一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 半圆直径所在的直线 (1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法 基本要求：长对正，高平齐，宽相等.在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴、y轴所在平面垂直.第 3 页(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.常用结论与微点提醒 1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的主视图和左视图分别均为全等的等腰三角形、等腰梯形、矩形.诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A 时，若A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示图形不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的A 时，把 x，y 轴画成相交成 45或 135，平行于 x 轴的线还平行于 x 轴，平行于 y 轴的线还平行于 y 轴，所以A 也可能为 135.(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的主视图和左视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)如图，长方体 ABCDABCD中被截去一部分，其中 EHAD.剩下的几何体是()第 4 页 A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案 C 3.(2019天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体的左视图为()解析 先根据主视图和俯视图还原出几何体，故其左视图为图.答案 B 4.(一题多解)(2019全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()B.63 D.36 解析 法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点 A，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V3243261263.法二(估值法)由题意知，12V圆柱V几何体V圆柱，又 V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合.答案 B 5.正AOB 的边长为 a，建立如图所示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面积是_.解析 画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图).D为OADB12DB(D为OA的中点)，SOAB1222SOAB2434a2616a2.第 5 页 答案 616a2 考点一 空间几何体的结构特征【例 1】(1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 (2)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知错误，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.答案(1)A(2)B 规律方法，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.第 6 页 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练 1】给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.答案 考点二 空间几何体的三视图(多维探究)命题角度 1 由空间几何体的直观图判断三视图【例 21】“牟合方盖”，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，它的俯视图可能是()解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B 可以是几何体的俯视图.答案 B 命题角度 2 由三视图判断几何体【例 22】(1)(2019全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()第 7 页 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱(2)(2019北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()2 B.2 3 2 解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为 DBCC1B1，最长棱为 DB1，且 DB1DC2BC2BB21 4442 3.答案(1)B(2)B 规律方法，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据主视图或左视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练 2】(1)(2019潍坊模拟)如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 PBCD 的主视图与左视图的面积之和为()A.1 B.2 (2)(2019浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()第 8 页 A.21 B.23 C.321 D.323 解析(1)设点 P 在平面 A1ADD1的射影为 P，在平面 C1CDD1的射影为 P，如图所示.三棱锥 PBCD 的主视图与左视图分别为PAD 与PCD，因此所求面积 SSPADSPCD 121212122.(2)由三视图可知，该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为 1，高为 3，三棱锥的底面积为12211，高为 3.故原几何体体积为：V1212313131321.答案(1)B(2)A 考点三 空间几何体的直观图【例 3】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.解析 如图 1，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E.在 RtABE 中，AB1，ABE45，BE22.又四边形 AECD 为矩形，ADEC1.BCBEEC221.由此还原为原图形如图 2 所示，是直角梯形 ABCD.在梯形 ABCD中，AD1，BC221，AB2.这块菜地的面积 S12(ADBC)AB 第 9 页 1211222222.答案 222 规律方法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成 45或 135)和“二测”(平行于 y轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图24S原图形.【训练 3】已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB 2，下底 AB3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为_.解析 如图所示，作出等腰梯形 ABCD 的直观图.因为 OE（2）211，所以 OE12，EF24.则直观图 ABCD的面积 S1322422.答案 22 基础巩固题组(建议用时：25 分钟)一、选择题 1.某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形.答案 A 2.(2019衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该 第 10 页 几何体的左视图为()解析 易知左视图的投影面为矩形，又 AF 的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，该几何体的左视图为选项D.答案 D 3.(2019北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.60 B.30 解析 由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1BCD，VA1BCD131235410.答案 D 4.如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，该几何体的左视图为()解析 由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且 EC投影在面 PAD 上且为实线，点 E 的投影点为 PA 的中点，故 B 正确.答案 B 5.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析 如图 1 知，A，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则 B 不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，选项 D 正确.答案 D 6.某几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.B.第 11 页 C.D.解析 由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故正确.答案 A 7.(2019全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18 B.17 C.16 D.15 解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，则三棱锥的体积为 V1131211116.剩余部分的体积 V2131656，因此，V1V215.答案 D 8.(2019泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其左视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于()2 B.34 C.41 2 解析 根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥 PABC(如图所示).棱锥最长的棱长 PA2516 41.答案 C 二、填空题 9.(2019龙岩联考)一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 面积为_.第 12 页 解析 因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为 1，所以原图形的面积为 2 2.答案 2 2 10.已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，左视图是一个面积为 2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于_.解析 由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为 2.答案 2 11.(2019包头模拟)正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长均为 3，其主视图和左视图是全等的等腰三角形，则主视图的周长为_.解析 由题意知，主视图就是如图所示的截面 PEF，其中 E，F 分别是 AD，BC 的中点，连接 AO，易得 AO 2，又 PA 3，于是解得 PO1，所以 PE 2，故其主视图的周长为 22 2.答案 22 2 12.(2019山东卷)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_.解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体和两个半径为 1，高为 1 的14圆柱体构成.所以 V21121412122.答案 22 能力提升题组(建议用时：10 分钟)13.(2019沈阳质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图 第 13 页 可能为()解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面 BCD.所以该三棱锥的左视图可能为选项 D.答案 D 14.如图是一个体积为 10 的空间几何体的三视图，则图中 x 的值为()A.2 B.3 解析 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V3211332x10，解之得 x2.答案 A 15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_.解析 由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中 PA平面 ABC，M为 AC 的中点，且 BMAC.故该三棱锥的最长棱为 PC.在 RtPAC 中，PCPA2AC222222 2.答案 2 2 16.(2019北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.解析 由题中三视图可画出长为 2、宽为 1、高为 1 的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCDABCD.故该四棱柱的体积 VSh12(12)1132.答案 32