选修22第2章第2节直接证明与间接证明理学案含答案.pdf

选修 2-2 第 2 章第 2 节直接证明与间接证明（理）（学案含答案）第 2 页 年级 高二 学科 数学 版本 苏教版（理）课程标题 选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明 一、学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。二、重点、难点 重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。三、考点分析：对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。它可以和很多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力。对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。三种证明方法的定义与步骤：1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 第 3 页 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3.假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。知识点一：综合法 例 1 对于定义域为 0,1的函数()f x，如果同时满足以下三个条件：对任意的0,1x，总有()0f x；(1)1f；若12120,0,1xxxx，都 有1212()()()f xxf xf x成立，则称函数()f x为理想函数。（1）若函数()f x为理想函数，求(0)f的值；（2）判断函数()21xg x（1,0 x）是否为理想函数，并予以证明。思 路 分 析：（1）取021 xx可 得0)0()0()0()0(ffff。由此可求出 f（0）的值。（2）12)(xxg在0，1满足条件0)(xg；也满足条件1)1(g。若01x，02x，121 xx，满足条件，收此知故 g（x）理想函数。第 4 页 解 题 过 程：（1）取021 xx可 得0)0()0()0()0(ffff。又由条件0)0(f，故0)0(f。（2）显然12)(xxg在0，1满足条件0)(xg；也满足条件1)1(g。若01x，02x，121 xx，则 0)12)(12(1222122121xxxxxx，即满足条件，故)(xg为理想函数。解题后反思：要证明函数()21xg x（1,0 x）满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。知识点二：分析法 例 2 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，求证：cbacbba311 思路分析：本题的关键是将cbacbba311等价转换，以及三个内角 A、B、C 成等差数列的应用。解题过程：证明：要证cbacbba311，需证3cbcbabacba。即证1cbabac。需证)()()(cbbabaacbc，需证222bacac ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。B60。由余弦定理，有60cos2222caacb，即acacb222。222bacac成立，命题得证。解题后反思：注意分析法的书写“格式”是 第 5 页“要证只需证”，而不是“因为所以”知识点三：反证法 例 3 已知，,(0,1)a b c，求证：(1),(1),(1)a bb cc a不能同时大于14。思路分析：求证：(1),(1),(1)a bb cc a不能同时大于14，可用反证法假设可以同时大于14，让三个等式左边右边分别相乘得到 111164a bb cc a，根据211124aaa a可以判断错误，故假设不成立，即得证。解题过程：证法一：假设三式同时大于14，即114a b，114b c，114c a,0,1a b c，三 式 同 向 相 乘 得 111164a bb cc a，又 211124aaa a，同理114b b，114c c 111164a bb cc a，这与假设矛盾，故原命题得证。证法二：假设三式同时大于14，01,10aa，同理11,22bc11,22ca三式相加得3322，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得证。解题后反思：“不能同时大于14”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则反：（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至 第 6 页 多、至少等类型问题时，常用反证法。（2）用反证法的步骤是：否定结论ABC；而C不合理与公理矛盾 与题设矛盾 与假设自相矛盾；因此结论不能否定，原结论成立。反证法属于“间接证明法”，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。知识点四：综合法、分析法综合应用 例 4 设a，b，c为 正 实 数，求 证：32111333abccba。思路分析：由333111cba想到可应用不等式33 abccba。解题过程：因为,a b c为正实数，由平均不等式可得33333331113111cbacba，即 3331113abcabc，所以3331113abcabcabcabc，而32323abcabcabcabc，所以32111333abccba。解题后反思：综合法是从已知到未知的逻辑 第 7 页 推理方法，即从题设中的已知条件或从已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论。证明不等式常用的性质有)0,0(2baabba，abba222等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“”取得的充要条件。例 5 如图，倾斜角为的直线经过抛物线xy82的焦点 F，且与抛物线交于A、B两点。（1）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明2cosFPFP 为定值，并求此定值。思路分析：使用常规思路，即可以采用综合法解决问题。解题过程：（1）抛物线的标准方程为xy82，则焦点的坐标为（2，0），准线 l 的方程为2x。（2）证明：如图，作lAC，lBD，垂足为C、D，则由抛物线的定义知ACFA，BDFB，记A、B的横坐标分别为Ax，Bx，则 解得4|.1 cosFAa类似地，解得aFBcos14|。记直线m与AB的交点为E，则 aaaaFBFA2sincos4cos14cos1421|)|(|21，所以aaFEFP2sin4cos|。故。解题后反思：本题是应用综合法解决解析几 第 8 页 何问题，掌握综合法证明的基本方法是“由因导果”，即由已知条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是表述简单，条理清晰，它常用的是“，”，或“因为，所以”，或“”等表述方法。（天津高考）对实数a与b，定义新运算“”：,1,1.a ababb ab 设函数 22()2,.f xxxxxR若函数()yf xc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A.3,21,2 B.3,21,4 C.11,44 D.311,44 解题思路：在新定义下给出分段函数，利用数形结合求出参数 C 的取值范围。解答过程：12,12,2)(222222xxxxxxxxxxf 则 xf的图象如图 cxfy)(的图象与x轴恰有两个公共点，)(xfy 与cy 的图象恰有两个公共点，由图象知2c，或431c。解题后反思：新定义问题考查的是即时反应能力，数形结合能使问题形象化。1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知。2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知。3.分析法和综合法各有优缺点：分析法思考 第 9 页 起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来。4.对证明的考查往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明方法综合法和分析法，又要结合相关的数学知识，证明时把两种方法结合起来综合应用。下节课同学们将学习直接证明当中的一种非常重要的方法数学归纳法，请同学们阅读课本，思考：数学归纳法与多米诺骨牌之间有什么联系呢？根据多米诺骨牌的原理，你能理解数学归纳法吗？