2019学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教通用版.doc
120192019 高二年级期末考试高二年级期末考试数学试卷（理科）数学试卷（理科）时量：120 分钟 总分：150 分 命题人：班级_ 姓名_ 考号_一选择题 （每小题 5 分，共 60 分）1已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ） 242 izaaaR2a zA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件2已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线22 13xy b28yx方程为( )A. B. C. D. 1 3yx 3yx 3 3yx 3yx 3已知，如果，则( ) > = + + 3 = + 1 + + 2A. B. C. D. > 1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为，则等于( )na233445201520169999 a aa aa aaaA. B. C. D. 2012 20132013 20122014 20152014 201311已知函数 f（x）=，给出下列结论：（1，+）是 f（x）的单调递减区间；当 k（， ）时，直线 y=k 与 y=f（x）的图象有两个不同交点；3函数 y=f（x）的图象与 y=x2+1 的图象没有公共点其中正确结论的序号是（ ）A B C D12如图，已知抛物线的焦点为，直线 过且依次交抛物线及圆24yxFlF于点四点，则的最小值为（ ）22114xy, ,A B C D4ABCDA. B. C. D. 11 213 215 217 2二.填空题 （每小题 5 分，共 20 分）13设 为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相i12azi aRi反数，则_a 14由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中 = = 2 的阴影部分）的面积是_15点为双曲线的右焦点，以为圆F2222:10,0xyCababF心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是OCAB、OAFB菱形，则双曲线的离心率为_C16已知函数满足，且的导函数，则 f xxR 11f f x 1( )3fxfx满足的解集为_ 2 33xf x 4三解答题 （ 17 题 10 分，18 题至 22 题每小题 12 分，共 70 分）17设函数. 222f xxx（1）求不等式的解集； 2f x （2）， 恒成立，求实数 的取值范围.xR 27 2f xttt18如图，有一边长为 6 的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为 的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒（1）试用 表示方盒的容积，并写出 的范围；()（2）求方盒容积的最大值及相应 的值()19在直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（为参数)，以原点 O 为xoy3 xcosysin极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 C2的极坐标方程为sin4 24(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程.(2)设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点 P 坐标.20如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与PABCDABCDPD ABCD2PB PB5面成角， 与面成角. PCD045PBABD030（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请PBEPC ADEE说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值. EPBPAED21.已知椭圆经过点，离心率。2222:10xyCabab31,2P 3 2e （）求椭圆的标准方程；C（）设过点的直线 与椭圆相交于两点，0 为坐标原点，求的0, 2ElCPQ、OPQ面积的最大值。22已知函数 f（x）=x2（a+2）x+alnx（a 为实常数）（1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）在1，e上的单调性；（3）若存在 x1，e，使得 f（x）0 成立，求实数 a 的取值范围62019 高二年级期末考试数学试卷参考答案一选择题。1已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ） 242 izaaaR2a zA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】D2已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线22 13xy b28yx方程为( )A. B. C. D. 1 3yx 3yx 3 3yx 3yx 【答案】C3已知，如果，则( ) > = + + 3 = + 1 + + 2A. B. C. D. > 1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于( )233445201520169999 a aa aa aaa8A. B. C. D. 2012 20132013 20122014 20152014 2013【答案】C11已知函数 f（x）=，给出下列结论：（1，+）是 f（x）的单调递减区间；当 k（， ）时，直线 y=k 与 y=f（x）的图象有两个不同交点；函数 y=f（x）的图象与 y=x2+1 的图象没有公共点其中正确结论的序号是（ ）A B C D【答案】C12如图，已知抛物线的焦点为，直线 过且依次交抛物线及圆24yxFlF于点四点，则的最小值为（ ）22114xy, ,A B C D4ABCDA. B. C. D. 11 213 215 217 2【答案】B二.填空题13设 为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则i12azi aRi_【答案】 a 5 314由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积 = = 2 9是_【答案】3 2 115点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，F2222:10,0xyCababFO且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离CAB、OAFBC心率为_【答案】216已知函数满足，且的导函数，则 f xxR 11f f x '1 3fx 的解集为（ ） 2 33xf x 【答案】 1x x 三解答题17设函数. 222f xxx（1）求不等式的解集； 2f x （2）， 恒成立，求实数 的取值范围.xR 27 2f xttt10【答案】 (1) f(x)= ,当 x2 时，x>2.综上：x。 5 分2-63 （，）（，）（2）由（1）f（x）最小值为 f(-1)=-3,即： 解得 27t32t 3t22 10 分18如图，有一边长为 6 的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为 的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒（1）试用 表示方盒的容积，并写出 的范围；()（2）求方盒容积的最大值及相应 的值()【答案】（1），；（2）方盒容积的最大值为 16，() = 43 242+ 360 0 6 2 > 0? 0 01 < < 3'() < 011在上单调递增，在上单调递减 ()(0,1)(1,3)在处取得极大值，也是最大值 () = 1()= (1) = 16故方盒容积的最大值为 16，相应 的值为 1。12 分()19在直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（为参数)，以原点 O 为xoy3 xcosysin极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 C2的极坐标方程为sin4 24(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程.(2)设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点 P 坐标.【答案】(1) (2) ， 2 2 12:1;:803xCyCxy3 23 1,2 2P试题解析：(1) 对于曲线有1C，即的方程为： ； 3xcosysin2 222cossin13xy1C2 213xy对于曲线有 2C2sincossin4 242cossin8，所以的方程为. 6 分80xy2C80xy(2) 显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的1C2C3cos ,sinP80xy距离为： ，2sin83cossin8322d当时， 取最小值为，此时点的坐标为.12 分sin13d3 2P3 1,2 21220如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与PABCDABCDPD ABCD2PB PB面成角， 与面成角. PCD045PBABD030（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请PBEPC ADEE说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值. EPBPAED【答案】（1）见解析（2）3 3试题解析：（1）法一：要证明 PC面 ADE，易知 AD面 PDC，即得 ADPC，故只需即可，0DE PC 所以由,即存在点 E 为 PC 中点 001DPPEPCDP PCPE PCPE 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 DXYZ， 由题意知 PDCD1，2CE 设， ，PEPB 2,1, 1PEPB ,0,1, 1PC 由，得，()0,1, 12 , ,10PC DEPCDPPE 1 2即存在点 E 为 PC 中点。 6 分（2）由（）知， ， ， 0,0,0D2,0,0A2 1 1,22 2E 0,0,1P13， ， ， 2,0,0DA 2 1 1,22 2DE 2,0, 1PA 2 11,222PE 设面 ADE 的法向量为，面 PAE 的法向量为1111,nx y z2222,nxyz 由的法向量为得， 得110 0n DAn DE 111120 112022xxyz10,1, 1n 同理求得 所以21,0,2n 11113cos3|n nnn 故所求二面角 PAED 的余弦值为. 12 分3 321已知椭圆经过点，离心率。2222:10xyCabab31,2P 3 2e （1）求椭圆的标准方程；C（2）设过点的直线 与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。0, 2ElCPQ、OPQ试题解析：（）由点在椭圆上得， 31,2P 221314ab33,22cea又所以由得，故椭圆的标准方程为4 分2223,4,1cabC2 214xy1122: =2,.IIlxl y kxP x yQ xy（）当轴时不合题意，故设142 2214xykxy将代入得224116120.kxkx2214 43=.241OPQkSd PQk2 24443,0,.44474,20.2 1OPQtkttStttttkt OPQ 设则因为当且仅当，即时等号成立，且满足的面积最大值为12 分22已知函数 f（x）=x2（a+2）x+alnx（a 为实常数）（1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）在1，e上的单调性；（3）若存在 x1，e，使得 f（x）0 成立，求实数 a 的取值范围【答案】（1）y1=0；（2）见解析；（3）a1解：（1 1）当 a=2 时，f（x）=x22lnx，f（x）=2x2 ，f（1）=0，又 f（1）=1，所求切线方程为 y1=0；2 分（2 2）求导数可得，x1，e，当即 a2 时，x1，e，f（x）0，此时，f（x）在1，e上单调增；当即 2a2e 时，时，f（x）0，f（x）上单调减；15时，f（x）0，f（x）在上单调增；当即 a2e 时，x1，e，f（x）0，此时，f（x）在1，e上单调减；7 分（3 3）当 a2 时，f（x）在1，e上单调增，f（x）的最小值为 f（1）=a1，1a2当 2a2e 时，f（x）在上单调减，在上单调增，f（x）的最小值为，2a2e当 a2e 时，f（x）在1，e上单调减，f（x）的最小值为 f（e）=e2（a+2）e+a，f（e）0，a2e综上可得 a1 12 分
