高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训9空间几何体表面积或体积的求解文.doc

1 / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习第精选高考数学二轮复习第 1 1 部分重点强化部分重点强化专题限时集训专题限时集训 9 9 空间几何体表面积或体积的求解文空间几何体表面积或体积的求解文建议 A、B 组各用时：45 分钟AA 组组 高考达标高考达标 一、选择题1(2017·唐山一模)一个几何体的三视图如图 9­13 所示，则其体积为( )图 9­13A2 B24C4 D22A A 该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆柱，其该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆柱，其体积体积 V V×2×1×2×2×1×2×12×2×12×22 2.故选故选 A.A.2已知三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的体积之比为( )A1 B123C123 D1827C C 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 a a，则其内切球半径，则其内切球半径 R1R1；棱切球直径；棱切球直径为正方体各面上的对角线长，则半径为正方体各面上的对角线长，则半径 R2R2a a；外接球直径为正；外接球直径为正方体的体对角线长，所以半径方体的体对角线长，所以半径 R3R3a a，所以这三个球的体积之，所以这三个球的体积之2 / 10比为比为 13()3()313()3()3123.123.故选故选 C.C.3(2016·郑州一模)一个几何体的三视图如图 9­14 所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( ) 【导学号：04024089】图 9­14A. B C2 D83 3B B 由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥 P­ABCDEP­ABCDE，体体积积 V V××××，故选，故选 B.B.4(2017·郑州二模)刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 21，这个比率是不变的如图 9­15 是一个阳马的三视图，则其表面积为( )图 9­15A2 B22C3 D32B B 由三视图可得该四棱锥的底面是边长为由三视图可得该四棱锥的底面是边长为 1 1 的正方形，有一的正方形，有一条长度为条长度为 1 1 的侧棱垂直于底面，四个侧面三角形都是直角三角的侧棱垂直于底面，四个侧面三角形都是直角三角形，侧面积为形，侧面积为 2××1×12××1×12×××12×××11 1，底面积是，底面积是 1 1，所以，所以其表面积为其表面积为 2 2，故选，故选 B.B.5(2016·湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图 9­16 所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )图 9­163 / 10A. B2 C.3 D43B B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1ABC­A1B1C1 截去四棱锥截去四棱锥 A­BEDCA­BEDC 得到的，故其体积得到的，故其体积V V×22×3×22×3××2×××2×2 2，故选，故选 B.B.二、填空题6(2017·济南一模)已知某几何体的三视图及相关数据如图 9­17所示，则该几何体的体积为_图 9­17由三视图得该几何体是底面半径为 1，高为 2 的圆锥体的4 4 3 3一半和一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱体的一半的组合体，所以其体积为×××12×2××12×2.7(2017·呼和浩特一模)已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，ASAB1，BC，则球 O 的表面积为_. 【导学号：04024090】55 因为因为 SASA平面平面 ABCABC，ABBCABBC，所以四面体，所以四面体 S­ABCS­ABC 的外接的外接球半径等于以长、宽、高分别为球半径等于以长、宽、高分别为 SASA，ABAB，BCBC 三边长的长方体的三边长的长方体的外接球半径，因为外接球半径，因为 SASAABAB1 1，BCBC，所以，所以 2R2R，则，则 R R，故球故球 O O 的表面积为的表面积为 S S4R24R25.5.8已知三棱锥 P­ABC 的顶点 P，A，B，C 在球 O 的球面上，ABC是边长为的等边三角形，如果球 O 的表面积为 36，那么 P 到平面 ABC 距离的最大值为_3 32 2 依题意，边长是的等边依题意，边长是的等边ABCABC 的外接圆半径的外接圆半径r r··1.1.球球 O O 的表面积为的表面积为 36364R24R2，4 / 10球 O 的半径 R3，球心 O 到平面 ABC 的距离 d2，球面上的点 P 到平面 ABC 距离的最大值为 Rd32.三、解答题9(2016·合肥二模)如图 9­18，P 为正方形 ABCD 外一点，PB平面 ABCD，PBAB2，E 为 PD 的中点图 9­18(1)求证：PACE；(2)求四棱锥 P­ABCD 的表面积解 (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，则EFADBC，即 EF，BC 共面PB平面 ABCD，PBBC，又 BCAB 且 PBABB，BC平面 PAB，BCPA.3 分PBAB，BFPA，又 BCBFB，PA平面 EFBC，PACE6 分(2)设四棱锥 P­ABCD 的表面积为 S，PB平面 ABCD，PBCD，又 CDBC，PBBCB，CD平面 PBC，CDPC，即PCD 为直角三角形，8 分由(1)知 BC平面 PAB，而 ADBC，AD平面 PAB，故 ADPA，即PAD 也为直角三角形SABCD2×24，SPBCSPAB×2×22，SPCDSPDA×2×2，10 分S 表SABCDSPBCSPDASPABSPCD8412 分10如图 9­19，一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABC­A1B1C1 容器中盛5 / 10有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1 的中点 D，E，F，G.图 9­19(1)求证：平面 DEFG平面 ABB1A1；(2)当底面 ABC 水平放置时，求液面的高【导学号：04024091】解 (1)证明：因为 D，E 分别为棱 AC，BC 的中点，所以 DE 是ABC 的中位线，所以 DEAB.又 DE平面 ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以 DE平面 ABB1A1.同理 DG平面 ABB1A1，又DEDGD，所以平面 DEFG平面 ABB1A16 分(2)当直三棱柱 ABC­A1B1C1 容器的侧面 AA1B1B 水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC­A1B1C1 容器的高，即侧棱长 l，当底面 ABC 水平放置时，设液面的高为 h，ABC 的面积为 S，则由已知条件可知，CDEABC，且 SCDES，所以 S 四边形 ABEDS.9 分由于两种状态下液体体积相等，所以 V 液体ShS 四边形ABEDlSl，即 hl.因此，当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 l12分BB 组组 名校冲刺名校冲刺 一、选择题1(2017·重庆二模)某几何体的三视图如图 9­20 所示，则该几何体的体积为( )图 9­206 / 10A. B4 3C. D.7 3B B 根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形( (直角边长直角边长分别为分别为 1,21,2，高为，高为 1)1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形；该三棱锥的底面是一个直角三角形( (腰长腰长分别为分别为 1,21,2，高为，高为 1)1)，因此该几何体的体积为，因此该几何体的体积为×2×1×1×2×1×1××2×1×1××2×1×1，选，选 B.B.2(2016·唐山二模)某几何体的三视图如图 9­21 所示，则该几何体的体积为( )图 9­21A64 B4C. D2D D 由三视图知，该几何体为一个底面半径为由三视图知，该几何体为一个底面半径为 1 1，高为，高为 1 1 的圆的圆柱体，与底面半径为柱体，与底面半径为 1 1，高为，高为 2 2 的半圆柱体构成，所以该三视的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为图的体积为 ×12×1×12×1×12×2×12×222，故选，故选 D.D.3(2017·深圳二模)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图 9­22 所示，则该几何体的体积为( ) 【导学号：04024092】图 9­22A24 B48C72 D96B B 由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为 6,4,46,4,4 的长的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中 C C，G G 均为均为长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为何体的体积为 V V×6×4×4×6×4×44848，故选，故选 B.B.7 / 104(2017·银川二模)点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，ABBC，ABC90°，若四面体 ABCD 体积的最大值为 3，则这个球的表面积为( )A2 B4C8 D16D D 因为因为 SABCSABC×()2×()23 3 为定值，要使四面体为定值，要使四面体 ABCDABCD 的体积的体积最大，只需点最大，只需点 D D 到平面到平面 ABCABC 的距离的距离 h h 最大由题意得最大由题意得 SSABCh3ABCh3，解得，解得 h3h3，所以，所以 h h 的最大值为的最大值为 3.3.当当 h h 最大时，设最大时，设 ACAC的中点为的中点为 E E，因为，因为 ABABBCBC，ABBCABBC，所以，所以 ACAC2 2，DEDE平面平面ABCABC，且球心在，且球心在 DEDE 上设球的半径为上设球的半径为 r r，则，则 r2r2(3(3r)2r)2()()2 2，解得，解得 r r2 2，所以这个球的表面积为，所以这个球的表面积为4r24r24×224×221616，故选，故选 D.D.二、填空题5(2016·广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_. 【导学号：04024093】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r1, 其5 56高 h1，球半径为 R，该球的体积VR3×3.6如图 9­23，在三棱锥 A­BCD 中，ACD 与BCD 都是边长为 4 的8 / 10正三角形，且平面 ACD平面 BCD，则该三棱锥外接球的表面积为_图 9­23 取 AB，CD 的中点分别为 E，F，连接 EF，AF，BF，由题80 3意知 AFBF，AFBF2，EF，易知三棱锥的外接球球心O 在线段 EF 上，所以 OEOF.设外接球的半径为 R，连接 OA，OC，则有R2AE2OE2，R2CF2OF2，所以 AE2OE2CF2OF2，()2OE222OF2，所以 OF2OE22，又 OEOF，则 OF2，R2，所以该三棱锥外接球的表面积为 4R2.三、解答题7如图 9­24，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直，BADADC90°，ABADCD，BEDF.图 9­24(1)若 M 为 EA 中点，求证：AC平面 MDF；(2)若 AB2，求四棱锥 E­ABCD 的体积解 (1)证明：设 EC 与 DF 交于点 N，连接 MN，在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 中点，因为 M 为 EA 中点，所以 MNAC2 分又因为 AC平面 MDF，MN平面 MDF，所以 AC平面 MDF6 分(2)取 CD 中点为 G，连接 BG，EG，9 / 10平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCDCD，AD平面 ABCD，ADCD，所以 AD平面 CDEF，同理 ED平面 ABCD，7 分所以 ED 的长即为四棱锥 E­ABCD 的高8 分在梯形 ABCD 中，ABCDDG，ABDG，所以四边形 ABGD 是平行四边形，BGAD，所以 BG平面 CDEF.又 DF平面 CDEF，所以 BGDF，又 BEDF，BEBGB，所以 DF平面 BEG，DFEG10分注意到 RtDEGRtEFD，所以 DE2DG·EF8，DE2，所以 VE­ABCDS 梯形 ABCD·ED412分8如图 9­25，在多面体 ABCDM 中，BCD 是等边三角形，CMD 是等腰直角三角形，CMD90°，平面 CMD平面 BCD，AB平面BCD，点 O 为 CD 的中点，连接 OM.图 9­25(1)求证：OM平面 ABD；(2)若 ABBC2，求三棱锥 A­BDM 的体积解 (1)证明：CMD 是等腰直角三角形，CMD90°，点O 为 CD 的中点，OMCD1 分平面 CMD平面 BCD，平面 CMD平面 BCDCD，OM平面CMD，OM平面 BCD2 分AB平面 BCD，OMAB.3 分10 / 10AB平面 ABD，OM平面 ABD，OM平面 ABD4 分(2)法一：由(1)知 OM平面 ABD，点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离.5 分过点 O 作 OHBD，垂足为点 H.AB平面 BCD，OH平面 BCD，OHAB6 分AB平面 ABD，BD平面 ABD，ABBDB，OH平面 ABD.7分ABBC2，BCD 是等边三角形，BD2，OD1，OHOD·sin 60°.9 分V 三棱锥 A­BDMV 三棱锥 M­ABD××AB·BD·OH××2×2×.11 分三棱锥 A­BDM 的体积为12分法二：由(1)知 OM平面 ABD，点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离.5 分ABBC2，BCD 是等边三角形，BD2，OD16 分连接 OB，则 OBCD，OBBD·sin 60°.7 分V 三棱锥 A­BDMV 三棱锥 M­ABDV 三棱锥 O­ABDV 三棱锥A­BDO××OD·OB·AB××1××2.11分三棱锥 A­BDM 的体积为12 分