高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲导数的概念及运算学案.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用第应用第 1010 讲导数的概念及运算学案讲导数的概念及运算学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 函数 yf(x)在 xx0 处的导数1定义称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率 为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或limx0y| xx0，即 f(x0) .2几何意义函数 f(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)考点 2 基本初等函数的导数公式考点 3 导数的运算法则若 yf(x)，yg(x)的导数存在，则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)必会结论1f(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同2f(x0)不一定为 0，但f(x0)一定为 0.3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数2 / 13的导数还是周期函数4函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同( )(2)f(x0)是导函数 f(x)在 xx0 处的函数值( )(3)cos.( )(4)若(ln x)，则ln x( )答案 (1)× (2) (3)× (4)×2课本改编f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a 的值等于( )B. A. D.C. 10 3答案 D解析 因为 f(x)3ax26x，所以 f(1)3a64，解得 a.故选 D.32018·九江模拟已知曲线 y3ln x 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )B2 A3 D.C1 1 2答案 B解析 因为 y3ln x，所以 y.再由导数的几何意义，令，解得 x2 或 x3(舍去)故选 B.4课本改编若曲线 yexaxb 在点(0,2)处的切线 l 与直线 x3y10 垂直，则 ab( )B1 A3 3 / 13D3C1 答案 A解析 因为直线 x3y10 的斜率为，所以切线 l 的斜率为 3，即 y|x0e0a1a3，所以 a2；又曲线过点(0,2)，所以 e0b2，解得 b1.故选 A.52018·秦皇岛模拟函数 f(x)exln x 在点(1，f(1)处的切线方程是( )Byex1Ay2e(x1) DyxeCye(x1) 答案 C解析 f(1)0，f(x)ex，f(1)e，切线方程是ye(x1)故选 C.62018·烟台诊断已知曲线 yasinxcosx 在 x0 处的切线方程为 xy10，则实数 a 的值为_答案 1解析 因为 yacosxsinx，y|x0a，根据题意知a1.板块二 典例探究·考向突破考向 导数的基本运算例 1 求下列函数的导数：(1)y； (2)yx；(3)yxsincos； (4)yln x.解 (1)y.(2)因为 yx31，所以 y3x2.(3)因为 yxsinx，所以 y1cosx.(4)y(ln x).触类旁通导数的运算方法4 / 13(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导【变式训练】 已知函数 f(x)在 x1 处的导数为，则 f(x)的解析式可能为( )Af(x)x2ln xBf(x)xexCf(x)(3x24x)(2x1)Df(x)x答案 D解析 A 中 f(x)x，B 中 f(x)(xex)exxex，C 中 f(x)6x35x24x，所以 f(x)18x210x4，D 中 f(x).分别将 x1 代入检验，知 D 符合考向 导数几何意义的应用命题角度 1 求切线的方程例 2 2017·全国卷曲线 yx2在点(1,2)处的切线方程为_答案 xy10解析 y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k1，切线方程为 y2x1，即 xy10.命题角度 2 求切点的坐标例 3 2018·江西模拟若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平5 / 13行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_答案 (e，e)解析 设 P(x0，y0)，yxln x，yln xx·1ln xk1ln x0.又 k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.点 P 的坐标是(e，e)命题角度 3 求参数的值例 4 已知 f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m 的值为( )B3 A1 D2C4 答案 D解析 f(x)，直线 l 的斜率为 kf(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得 m2.故选 D.触类旁通求解曲线切线方程应注意的问题(1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握(2)对于已知的点，首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解核心规律1.f(x0)代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值；f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即f(x0)0.6 / 132.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误满分策略1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1 与指数函数的求导公式(ax)axln a 混淆2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点.7 / 13板块三 启智培优·破译高考易错警示系列 3求曲线的切线方程考虑不全面致错2018·浙江杭州质检若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx3和 yax2x9 都相切，则 a 等于( )B1 或A1 或 21 4D或 7C或 错因分析 (1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系解析 yx3，y3x2.设过点(1,0)的直线与 yx3 相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为 k3x，所以切线方程为：yx3x(xx0)，即 y3xx2x.又点(1,0)在切线上，则 x00 或 x0.当 x00 时，由 y0 与 yax2x9 相切可得 a；当 x0时，由 yx与 yax2x9 相切，得 a1.综上，a1 或 a.故选 A.答案 A答题启示 1 求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异.2 求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.跟踪训练2018·山西师大附中质检已知曲线 yx3.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程解 (1)根据已知得点 P(2,4)是切点且 yx2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为 y4.8 / 13所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线 yx3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A，则切线的斜率为 yx.所以切线方程为 yx(xx0)，即 yx·xx.因为点 P(2,4)在切线上，所以 42xx，即 x3x40，所以 xx4x40，所以 x(x01)4(x01)(x01)0，所以(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标1曲线 y3ln xx2 在点 P0 处的切线方程为4xy10，则点 P0 的坐标是( )B(1，1)A(0,1) D(1,0)C(1,3) 答案 C解析 由题意知 y14，解得 x1，此时4×1y10，解得 y3，故点 P0 的坐标是(1,3)22018·海南文昌中学模拟曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为( )By3x1Ay3x1 Dy2x1Cy3x1 答案 A解析 依题意得 y(x1)ex2，则曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为 y13x，即y3x1.故选 A.9 / 1332018·大同模拟已知函数 f(x)xsinxax，且 f1，则 a( )B1 A0 D4C2 答案 A解析 f(x)sinxxcosxa，且 f1，sincosa1，即 a0.42018·陕西检测已知直线 yxm 是曲线 yx23ln x 的一条切线，则 m 的值为( )B2 A0 D3C1 答案 B解析 因为直线 yxm 是曲线 yx23ln x 的切线，所以令 y2x1，得 x1 或 x(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线 yxm 上，所以 m2，故选 B.52018·金版创新已知 f(x)x22xf(2017)2017ln x，则 f(1)( )B6045 A2016 D6048C2017 答案 D解析 因为 f(x)x2f(2017)，所以 f(2017)20172f(2017)，即 f(2017)201712016.故 f(x)x2×2016，f(1)12×201620176048.故选 D.6直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则2ab 的值为( )B2 A1 D1C5 答案 A10 / 13解析 由题意可得 3k1,31ab，则 k2.又曲线的导函数 y3x2a，所以 3a2，解得 a1，b3，所以2ab1.故选 A.72018·上饶模拟若点 P 是曲线 yx2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx2 的最小值为( )B. A1 D.C. 3答案 B解析 因为定义域为(0，)，所以 y2x1，解得x1，则在 P(1,1)处的切线方程为 xy0，所以两平行线间的距离为 d.82015·全国卷已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.答案 1解析 因为 f(x)ax3x1，所以 f(x)3ax21，所以f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 k3a1，又 f(1)a2，所以切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)，因为点(2,7)在切线上，所以 7(a2)3a1，解得 a1.9直线 x2ym0 与曲线 y相切，则切点的坐标为_答案 (1,1)解析 yx) ，yx) ，令 yx) ，则 x1，则y1，即切点坐标为(1,1)102018·江苏模拟在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线yax2(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_答案 3解析 由曲线 yax2过点 P(2，5)，得4a5.11 / 13又 y2ax，所以当 x2 时，4a，由得所以 ab3.B 级 知能提升12018·南昌模拟已知 f(x)2exsinx，则曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为( )By2xAy0 Dy2xCyx 答案 B解析 f(x)2exsinx，f(0)0，f(x)2ex(sinxcosx)，f(0)2，曲线 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y2x.2曲线 f(x)在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则实数a( )B1 A1 D7C7 答案 C解析 f(x)，f(1)tan1，即1，a7.32018·陕西模拟设曲线 yex 在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_答案 (1,1)解析 yex，则 yex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1，又曲线 y(x0)上点 P 处的切线与 yex 在点(0,1)处的切线垂直，所以 y(x0)在点 P 处的切线的斜率为1，设 P(a，b)，则曲线y(x0)上点 P 处的切线的斜率为 y|xaa21，可得a1，又 P(a，b)在 y上，所以 b1，故 P(1,1)4已知函数 f(x)x1(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a的值；12 / 13(2)当 a1 时，若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)相切，求l 的直线方程解 (1)f(x)1，因为曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 f(1)10，解得 ae.(2)当 a1 时，f(x)x1，f(x)1.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01kx01，f(x0)1k，得 x0kx01k，即(k1)(x01)0.若 k1，则式无解，x01，k1e.l 的直线方程为 y(1e)x1.52018·苏州十校联考设函数 f(x)ax，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值解 (1)方程 7x4y120 可化为 yx3，当 x2 时，y.又f(x)a，故解得故 f(x)x.(2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f(x)1知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即 y(xx0)令 x0 得，y，从而得切线与直线 x0 交点坐标为.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.13 / 13