高考数学一轮复习第7章立体几何第4讲直线平面平行的判定及性质学案.doc

1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 7 7 章立体几何第章立体几何第 4 4讲直线平面平行的判定及性质学案讲直线平面平行的判定及性质学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 直线与平面平行1判定定理2性质定理考点 2 平面与平面平行1判定定理2性质定理必会结论1垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 .2垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab.3平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则 .考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( )(4)平行于同一平面的两条直线平行( )(5)若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l.( )答案 (1)× (2) (3)× (4)× (5)×2 / 1722018·乌鲁木齐二诊已知直线 l，m，其中只有 m 在平面 内，则“l”是“lm”的( )B必要不充分条件A充分不必要条件 D既不充分也不必要条件C充分必要条件 答案 B解析 若 l，则 l 与 内的直线平行或异面；若 lm，l不在平面 内，则 l，所以“l”是“lm”的必要不充分条件故选 B.32018·湖南长沙模拟已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )Bmn，m，则 nAm，n，则 mn D，则Cm，m，则 答案 C解析 对于 A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故 A 不正确；对于 B，mn，m，则 n 或 n，故 B 不正确；对于 C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知 C 正确；对于 D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故 D 不正确故选 C.42017·全国卷如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )答案 A解析 A 项，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则QDAB.QD平面 MNQQ，QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDMQ，ABMQ.3 / 17又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.C 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDMQ，ABMQ.又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.D 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDNQ，ABNQ.又 AB平面 MNQ，NQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.故选 A.板块二 典例探究·考向突破考向 有关平行关系的判断 例 1 2016·全国卷， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么 .如果 m，n，那么 mn.如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 由 mn，m，可得 n 或 n 在 内，当 n 时， 与 可能相交，也可能平行，故错易知都正确触类旁通解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【变式训练 1】 2018·潍坊模拟已知 m，n，l1，l2 表示直线， 表示平面若4 / 17m，n，l1，l2，l1l2M，则 的一个充分条件是( )Bm 且 nAm 且 l1 Dml1 且 nl2Cm 且 nl2 答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项 D 可推知 .故选 D.考向 直线与平面平行的判定与性质 命题角度 1 用线线平行证明线面平行例 2 2016·全国卷如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积解 (1)证明：由已知得 AMAD2，取 BP 的中点 T，连接AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TNBC2.又 ADBC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD的距离为 PA.取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3，得 AEBC，AE.由 AMBC，得 M 到 BC 的距离为，故 SBCM×4×2.所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM·SBCM·.命题角度 2 用线面平行证明线线平行5 / 17例 3 2018·长春一调如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面(1)求证：EAEC；(2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F.求证：EFAB.证明 (1)E 是半圆上异于 A，B 的点，AEEB.又平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，CBAB，CB平面 ABE.又AE平面 ABE，CBAE.BCBEB，AE平面 CBE.又EC平面 CBE.AEEC.(2)CDAB，AB平面 ABE.CD平面 ABE.又平面 CDE平面 ABEEF.CDEF.又CDAB.EFAB.触类旁通判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)6 / 17考向 面面平行的判定及性质 例 4 2018·云南模拟如图所示的几何体 ABCDFE 中，ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC.(1)求几何体 ABCDFE 的体积；(2)证明：平面 ADE平面 BCF.解 (1)取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，连接 AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面 ABC，平面 BCED平面 ABC，AO平面 BCED.同理 FG平面 BCED.AOFG，VABCDFE×4××2.(2)证明：由(1)知 AOFG，AOFG，四边形 AOFG 为平行四边形，AGOF.又DEBC，DEAGG，DE平面 ADE，AG平面ADE，FOBCO，FO平面 BCF，BC平面 BCF，平面 ADE平面 BCF.触类旁通判定面面平行的方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)【变式训练 2】 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.7 / 17证明 (1)G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，GH 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E，F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.核心规律1.平行问题的转化关系2.判断直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线满分策略证明平行问题应注意的三个问题(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误(2)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件(3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.板块三 启智培优·破译高考规范答题系列 4证明线面平行的两种常用方法8 / 172015·山东高考如图，在三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点求证：BD平面 FGH.解题视点 证法一：证明四边形 DFCG 为平行四边形，结合 H为 BC 的中点，M 为 DC 的中点，可得 HMBD，进而得 BD平面FGH；证法二：利用四边形 HBEF 为平行四边形，证明平面 ABED平面 FGH，进而得 BD平面 FGH.证明 证法一：连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH.在三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DFGC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则 M 为 CD 的中点，又 H 为 BC 的中点，所以 HMBD.又 HM平面 FGH，BD平面 FGH，所以 BD平面 FGH.证法二：在三棱台 DEFABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点，可得 BHEF，BHEF，所以四边形 HBEF 为平行四边形，BEHF.在ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GHAB.又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.答题模板 证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾，检查关键点及答题规范证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；9 / 17第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾，检查答题规范跟踪训练如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M在 B1C 上，且 CMDN，求证：MN平面 AA1B1B.证明 证法一：如右图，作 MEBC，交 BB1 于 E，作 NFAD，交 AB 于 F，连接 EF，则 EF平面 AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又 MEBCADNF，四边形 MEFN 为平行四边形NMEF.又MN面 AA1B1B，EF平面 AA1B1B，MN平面 AA1B1B.证法二：如图所示，连接 CN 并延长交 BA 的延长线于点 P，连接 B1P，则 B1P平面 AA1B1B.NDCNBP，.又 CMDN，B1CBD，MNB1P.B1P平面 AA1B1B，MN平面 AA1B1B，MN平面 AA1B1B.证法三：如下图，作 MPBB1，交 BC 于点 P，连接 NP.BB1平面 ABB1A1，MP平面 ABB1A1，MP平面 ABB1A1.MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，10 / 17，NPDCAB.AB平面 ABB1A1，NP平面 ABB1A1，NP平面 ABB1A1，又MPNPP，平面 MNP平面 AA1B1B，MN平面 AA1B1B.11 / 17板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标12018·嘉兴月考对于空间的两条直线 m，n 和一个平面，下列命题中的真命题是( )A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mnC若 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn答案 D解析 对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A 错误；对B，直线 m 与 n 可能平行，也可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的两直线平行，故选 D.22018·揭阳模拟设平面 ，直线a，b，a，b，则“a，b”是“”的( )B必要不充分条件A充分不必要条件 D既不充分也不必要条件C充要条件 答案 B解析 由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 a，b 是平面 内两条相交直线，且有“a，b” ，则有“” ；当“” ，若 a，b，则有“a，b” ，因此“a，b”是“”的必要不充分条件故选 B.3过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线的条数是( )A2 B4 C6 D8答案 C解析 取 A1C1，B1C1，AC，BC 的中点 E，F，G，H，易知平面EFHG平面 ABB1A1，所以满足条件的直线有EF，FG，GH，HE，EG，FH，共 6 条直线故选 C.42015·安徽高考已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )12 / 17A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案 D解析 A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故 A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故 B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故 C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故选 D.5.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点，过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G，H，则 GH 与 AB 的位置关系是( )B相交A平行 D平行或异面C异面 答案 A解析 由长方体性质知：EF平面 ABCD，EF平面 EFGH，平面 EFGH平面 ABCDGH，EFGH.又EFAB，GHAB.故选 A.6设 ， 为三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题可以填入的条件有( )，n；m，n；n，m.A B C D答案 C解析 由面面平行的性质定理可知正确；当 n，m 时，n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故选 C.72018·云南统考设 a，b 为不重合的两条直线， 为13 / 17不重合的两个平面，给出下列命题：若 a，b，a，b 是异面直线，那么 b；若 a，b，a，b 共面，那么 ab；若 ，a，则 a.上面命题中，所有真命题的序号是_答案 解析 中的直线 b 与平面 也可能相交，故不正确；由线面平行的性质得正确；由面面平行的性质可得正确8正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1 cm，过 AC 作平行于对角线 BD1 的截面，则截面面积为_cm2.答案 64解析 如图所示，截面 ACEBD1，平面 BDD1平面 ACEEF，其中 F 为 AC 与 BD 的交点，E 为 DD1 的中点，SACE××(cm2)92018·延安模拟已知四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60°，SASD，SB，点 E 是棱 AD 的中点，点 F 在棱 SC 上，且，SA平面 BEF.(1)求实数 的值；(2)求三棱锥 FEBC 的体积解 (1)连接 AC 交 EB 于 M，连接 FM.MAEMCB，.SA平面 BEF.平面 SAC平面 BEFFM.SAFM.，即 .(2)SASD，E 为 AD 中点SEAD 且 SE2.BE，SB，SE2BE2SB2.14 / 17SEBE.SE平面 ABCD.VFEBCVSEBCVSABCD×2××2××2.10.2016·山东高考在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.(1)已知 ABBC，AEEC，求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面 ABC.证明 (1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF.连接 DE，因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF.因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.(2)设 FC 的中点为 I.连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.GI平面 ABC.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.HI平面 ABC.又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC.因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.B 级 知能提升12018·大同模拟设 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 内的两条不同直线，l1，l2 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是( )Bm 且 nl2Aml1 且 nl2 Dm 且 l1Cm 且 n 答案 A解析 由 ml1，m，l1，得 l1，同理 l2，又l1，l2 相交，所以 ，反之不成立，所以 ml1 且 nl2 是 的一个充分不必要条件故选 A.2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B15 / 17和 AC 上的点，若 A1MAN，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( )A相交 B平行 C垂直 D不能确定答案 B解析 连接 CD1，在 CD1 上取点 P，使 D1P，MPBC，PNAD1.AD1BC1，PNBC1.MP面 BB1C1C，PN面 BB1C1C.面 MNP面 BB1C1C，MN面 BB1C1C.故选 B.3.空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC，BD 的长分别为 5 和 4，则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是_答案 (8,10)解析 设k(0<k<1)，1k，GH5k，EH4(1k)，周长82k.又0<k<1，周长的范围为(8,10)4.2018·银川模拟如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2.点 G，E，F，H 分别是棱PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积解 (1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接OP，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC.同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内，16 / 17所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD.从而 GKEF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB2，得 EBABKBDB14.从而 KBDBOB，即 K 为 OB 的中点再由 POGK，得 GKPO.即 G 是 PB 的中点，且 GHBC4.由已知可得 OB4，PO6，所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 S·GK×318.5.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，ABBC，D 为 AC 的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面 BC1D；(2)设 BC3，求四棱锥 BDAA1C1 的体积解 (1)证明：连接 B1C，设 B1C 与 BC1 相交于点 O，连接 OD，如图所示四边形 BCC1B1 是平行四边形，点 O 为 B1C 的中点D 为 AC 的中点，OD 为AB1C 的中位线，ODAB1.OD平面 BC1D，AB1平面 BC1D.AB1平面 BC1D.(2)AA1平面 ABC，AA1平面 AA1C1C，17 / 17平面 ABC平面 AA1C1C.平面 ABC平面 AA1C1CAC，连接 A1B，作 BEAC，垂足为 E，则 BE平面 AA1C1C.ABAA12，BC3，ABBC，在 RtABC 中，AC.BE.四棱锥 BAA1C1D 的体积V×(A1C1AD)·A1A·BE××2×3.