高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值教师用书理.doc

- 1 -第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。2016，天津卷，13,5 分(函数的单调性、奇偶性)2014，全国卷，16,5 分(函数单调性)1.主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题；2.题型多以选择题、填空题为主，若与导数知识交汇命题则以解答题的形式出现，属中高档题。微知识 小题练自|主|排|查1增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。3函数的最大值与最小值- 2 -一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。(2)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么我们称M是函数yf(x)的最小值。4函数单调性的两个等价结论设x1，x 2D(x1x 2)，则(1)>0(或>0)f(x)在D上单调递增；fx1fx2 x1x2(x1x2)fx1fx2(2)0)的递增区间为(，和，)；递减区间为，0)和a xaaa(0，且对勾函数为奇函数。a6函数单调性常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1f(x2)图象法函数图象上升的函数图象下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增递增递减递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反微点提醒1函数的单调性是对某个区间而言的，如函数y 分别在(，0)，(0，)内都1 x是单调递减的，但它在整个定义域即(，0)(0，)内不单调递减，单调区间只能分开写或用“和”连接，不能用“”连接，也不能用“或”连接。- 3 -2一个函数在某个区间上是增函数，但它的递增区间的范围有可能大，例如f(x)x在0，)上是增函数，但是f(x)的递增区间是(，)。3闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值，求函数最值的基本方法是利用函数的单调性。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 1P39B 组 T3改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )Ayx3，xR R Bysinx，xR RCyx，xR R Dyx，xR R(1 2)【解析】 选项 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项 C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项 D 在其定义域内不是奇函数，是减函数。故选 A。【答案】 A2(必修 1P45B 组 T4改编)设函数f(x)Error!是 R R 上的减函数，那么实数a的取值范围是( )A(0,1) B.(0，1 3)C. D.1 7，1 3)1 7，1)【解析】 当x1 时，f(x)(3a1)x4a为减函数，则 3a11 时，1 3f(x)logax为减函数，则 00 时，由题意得 2a1(a1)2，即a2；当a0,20，从而f(x2)f(x1)>0，1 x1x2即f(x2)>f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。解法二：因为f(x)2ax，而x1,2，1 x2所以1 ，1 x21 4又因为a(1,3)，所以 20，即f(x)>0，1 x2故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。【答案】 单调递增，证明见解析反思归纳 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：1可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解。2可导函数则可以利用导数判断。但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断。【变式训练】 讨论函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性。ax x21【解析】 法一(定义法) 设1x1x21，则f(x1)f(x2)ax1 x2 11ax2 x2 21ax1x2 2ax1ax2x2 1ax2 x2 11x2 21。ax2x1x1x21 x2 11x2 211x1x21，a0，x2x10，x1x210，(x1)(x1)0。2 12 2f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1,1)上为减函数。法二(导数法) f(x)。ax212ax2 x212ax21 x212当a0 时，f(x)0；所以当a0 时，f(x)在(1,1)上是单调递减的。【答案】 单调递减- 6 -考点二 确定函数的单调区间母题发散【典例 2】 (2016·黄冈模拟)函数yf(x)(xR R)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(01” ，则函数g(x)的单调递减区间如何？【解析】 由本典例解析知，需 logax0 或 logax ，解得x1 或x，又因为1 2ax>0，所以单调递减区间为(0,1，)。a【答案】 (0,1，)a反思归纳 确定函数的单调区间的三种方法定义法：先求函数定义域，再利用单调性定义来求解；图象法：图象上升区间为增区间；图象下降区间为减区间；导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。【拓展变式】 (1)函数f(x)log (x24)的单调递增区间是( )1 2A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)(2)yx22|x|3 的单调增区间为_。- 7 -【解析】 (1)令tx24，则ylogt。因为ylogt在定义域上是减函数，所以求1 21 2原函数的单调递增区间，即求函数tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)。故选 D。(2)由题意知，当x0 时，yx22x3(x1)24；当x0)，且f(x)在0,1上的最小值为g(a)，求g(a)的1 a最大值。【解析】 (1)当x1 时，函数f(x) 为减函数，所以f(x)在x1 处取得最大值，1 x为f(1)1；当x1 时，a >0，此时f(x)在0,1上为增函数，1 ag(a)f(0) ；1 a当 02 时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2 时取得最大值h(2)1。【答案】 1考点四 函数单调性的应用 多维探究角度一：比较函数值或自变量的大小【典例 4】 已知函数f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于y轴对称，当x2x11 时，f(x2)f(x1)·(x2x1)0 恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小(1 2)关系为( )Acab BcbaCacb Dbac【解析】 由于函数f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象本身关于直线x1 对称，所以aff。(1 2)(5 2)当x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，等价于函数f(x)在(1，)上单调递减，所以bac。故选 D。【答案】 D角度二：解函数不等式【典例 5】 定义在 R R 上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，则满足(1 2)- 9 -f(logx)0 的x的集合为_。1 9【解析】 由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，得函数yf(x)在(1 2)(，0)上递增，且f0。(1 2)由f(logx)0，得 logx 或 logx0，1 91 91 21 21 9解得 0x 或 1x3。1 3所以满足条件的x的取值集合为Error!。【答案】 Error!角度三：求参数的值或取值范围【典例 6】 已知函数f(x)Error!满足对任意的实数x1x2，都有0 成立，则实数a的取值范围为_。fx1fx2 x1x2【解析】 函数f(x)是 R R 上的减函数，于是有Error!解得a，13 8即实数a的取值范围是。(，13 8【答案】 (，13 8反思归纳 1.含“f”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f” ，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内。2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解。3求参数的值或取值范围的思路根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解。微考场 新提升- 10 -1下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是( )Ay1x2 Byx2xCy Dyxx x1答案 D2下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是( )Af(x)x Bf(x)x31 2Cf(x)x Df(x)3x(1 2)解析 根据各选项知，选项 C，D 中的指数函数满足f(xy)f(x)·f(y)。又f(x)3x是增函数，所以 D 正确。答案 D3函数f(x)1( )1 x1A在(1，)上单调递增B在(1，)上单调递增C在(1，)上单调递减D在(1，)上单调递减解析 f(x)图象可由y 图象沿x轴向右平移一个单位，再向上1 x平移一个单位得到，如图所示。故选 B。答案 B4已知函数f(x)，则该函数的单调增区间为x22x3_。解析 设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3。所以函数的定义域为(，13，)。因为函数tx22x3 的图象的对称轴为x1，所以函数在(，1上单调递减，在3，)上单调递增。又因为y在0，)上单调递增。t所以函数f(x)的增区间为3，)。答案 3，)5已知函数f(x)Error!若f(x)在(0，)上单调递增，则实数a的取值范围为_。- 11 -解析 由题意，得 12a20，则a2，又axa是增函数，故a>1，所以a的取值1 2范围为 10，f(x2)，对任1 fx意xR R 恒成立，则f(2 015)( )A4 B3C2 D1【思路分析】 【解析】 因为f(x)>0，f(x2)，1 fx所以f(x4)f(x2)2)f(x)，即函数f(x)的周期是 4。1 fx21 1 fx- 12 -所以f(2 015)f(504×41)f(1)。因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 015)f(1)f(1)。当x1 时，f(12)，1 f1得f(1)，又f(x)>0，f(1)1。1 f1即f(1)1，所以f(2 015)f(1)1。【答案】 D【方法探究】 对于抽象函数，常常利用恰当赋值解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题之间的关系，有时需要进行多次赋值。【变式训练 1】 设函数f(x)的定义域为 R R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)f(x2)2f·f，f()1，则f(0)_。(x1x2 2)(x1x2 2)【解析】 令x1x2，则f()f()2f()f(0)，f(0)1。【答案】 12抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性就是要判断x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，恰当地赋值是解决这类问题的关键。【典例 2】 已知函数f(x)对任意x，yR R，都有f(xy)f(xy)2f(x)·f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数。【思路分析】 - 13 -【证明】 已知对任意x，yR R，都有f(xy)f(xy)2f(x)·f(y)，不妨取x0，y0，则有 2f(0)2f(0)2，因为f(0)0，所以f(0)1。取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)。又yR R，所以函数f(x)是偶函数。【方法探究】 在利用函数奇偶性的定义进行判断时，如果等式中还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，就需要令x，y取特殊值进行求解。【变式训练 2】 函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2)。(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论。【解析】 (1)对于任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0。(2)f(x)为偶函数。证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0。1 2令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数。【答案】 (1)0 (2)偶函数 证明见解析3抽象函数的单调性与抽象不等式抽象函数的单调性一直是高考考查的难点，常出现在一些综合性问题中，需要先对所含的参数进行分类讨论或根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式。【典例 3】 设函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)。若f(3)1，且f(a)>f(a1)2，求实数a的取值范围。【思路分析】 根据fxyfxfy及 f31转化fa12利用函数单调性去掉符号 “f”，可得不等式组求解不等式组，即得 实数a的取值范围【解析】 因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以 22f(3)f(3)f(3)f(9)。又f(a)>f(a1)2，- 14 -所以f(a)>f(a1)f(9)。再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)>f(9(a1)。因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有Error!解得 19(a1)。【变式训练 3】 函数f(x)对任意的m、nR R，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0 时，恒有f(x)>1。(1)求证：f(x)在 R R 上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)0，当x>0 时，f(x)>1，f(x2x1)>1。f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)1>0f(x1)<f(x2)，f(x)在 R R 上为增函数。(2)m，nR R，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)<2f(1)，f(x)在 R R 上为增函数，a2a5<13<a<2，即a(3,2)。【答案】 (1)证明见解析 (2)(3,2)