高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3-6正弦定理和余弦定理课时提升作业理.doc
- 1 - / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形精选高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形 3-63-6正弦定理和余弦定理课时提升作业理正弦定理和余弦定理课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016·黄石模拟)在ABC 中,sinA=sinB 是ABC 为等腰三角形的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.当 sinA=sinB 时,则有 A=B,则ABC 为等腰三角形,故 sinA=sinB是ABC 为等腰三角形的充分条件,反之,当ABC 为等腰三角形时,不一定是A=B,若当 A=C60°时,则 sinAsinB,故 sinA=sinB 是ABC 为等腰三角形的充分不必要条件.2.(2016·十堰模拟)在ABC 中,若 A=,B=,BC=3,则 AC= ( )A.B.C.2D.4【解析】选 C.由正弦定理可得:=,即有 AC=2.3.(2016·潮州模拟)在ABC 中,若 a2+b2bB.a<bC.a=bD.a 与 b 的大小关系不能确定【解析】选 A.由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,即+-1=0,=<1,故 b<a.【一题多解】由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,b=,由 a<a+b 得,b<a.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.(2016·郴州模拟)在ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB= .【解析】由正弦定理可得=,- 3 - / 8所以 sinB=,再由 b<a,可得 B 为锐角,所以 cosB=.答案:7.(2016·淄博模拟)在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则 B= .【解析】在ABC 中,因为 sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=ac,所以 cosB=,所以 B=.答案:8.如图,在ABC 中,B=45°,D 是 BC 边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为 .【解析】在ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得 cosADC=-,所以ADC=120°,ADB=60°.在ABD 中,AD=5,B=45°,ADB=60°,由正弦定理得=,所以 AB=.答案:三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.ABC 中,点 D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC.(1)求.(2)若BAC=60°,求 B.- 4 - / 8【解析】(1)如图,由正弦定理得:=,=,因为 AD 平分BAC,BD=2DC,所以=.(2)因为 C=180°-(BAC+B),BAC=60°,所以 sinC=sin(BAC+B)=cosB+sinB,由(1)知 2sinB=sinC,所以 tanB=,即 B=30°.10.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.(1)求 cosB 的值.(2)若·=2,且 b=2,求 a 和 c 的值.【解析】(1)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即 sin(B+C)=3sinAcosB,可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA0,因此 cosB=.(2)由·=2,可得 accosB=2,又 cosB=,故 ac=6,- 5 - / 8由 b2=a2+c2-2accosB,可得 a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即 a=c,所以 a=c=.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则cosC= ( )A.B.-C.±D.【解析】选 A.由 C=2B 得 sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理及 8b=5c 得cosB=,所以 cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=.2.(5 分)(2016·长沙模拟)已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,3bcosA=ccosA+acosC,则 tanA 的值为 ( )A.-2 B.- C.2 D.【解析】选 C.因为 ccosA+acosC=b,所以 3bcosA=b,cosA=,所以 tanA=2.3.(5 分)(2016·荆门模拟)如图,在ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则 BD 的长为 .【解析】因为 sinBAC=,且 ADAC,所以 sin=,所以 cosBAD=,在BAD 中,由余弦定理得,BD=.答案:【加固训练】(2016·菏泽模拟)在ABC 中,C=90°,M 是 BC 的中点.若- 6 - / 8sinBAM=,则 sinBAC= .【解题提示】分别在 RtABC 和ABM 中应用勾股定理和正弦定理.【解析】设 AC=b,AB=c,BC=a,在ABM 中由正弦定理得=,因为 sinBMA=sinCMA=,又 AC=b=,AM=,所以 sinBMA=.又由得=,两边平方化简得 4c4-12a2c2+9a4=0,所以 2c2-3a2=0,所以 sinBAC=.答案:4.(12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sinA-sinB)+ysinB=csinC 上.(1)求角 C 的值.(2)若 2cos2-2sin2=,且 A<B,求.【解析】(1)将(a,b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC,由正弦定理=得:a(a-b)+b2=c2,即 a2+b2-c2=ab,由余弦定理得 cosC=,因为 0<C<,所以 C=.- 7 - / 8(2)因为 2cos2-2sin2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos=cosA+sinA=sin=,因为 A+B=,且 A<B,所以 0<A<,所以<A+<,即 A+=,所以 A=,B=,C=,则=.5.(13 分)(2016·十堰模拟)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求 cosCAD 的值.(2)若 cosBAD=-,sinCBA=,求 BC 的长.【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解.【解析】(1)在ADC 中,由余弦定理,得 cosCAD=.(2)设BAC=,则 =BAD-CAD.因为 cosCAD=,cosBAD=-,所以 sinCAD=,sinBAD=.于是 sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=×-×=.在ABC 中,由正弦定理得,=.- 8 - / 8故 BC=3.【加固训练】(2016·武汉模拟)已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,且满足 2asinB-b=0.(1)求角 A 的大小.(2)当 A 为锐角时,求函数 y=sinB+sin 的值域.【解析】(1)由正弦定理及已知 2asinB-b=0,得:2sinA·sinB=sinB,因为 sinB0,所以 sinA=,所以 A=或 A=.(2)因为 A=,所以 B+C=,则 0<B<,因为 y=sinB+sin=sinB+sin=sinB+cosB=2sin.因为 B,B+,所以 sin,所以,所求函数的值域为(1,2.
