高考数学大一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质教师用书.doc

1 / 24【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何精选高考数学大一轮复习第八章立体几何 8-58-5直线平面垂直的判定与性质教师用书直线平面垂直的判定与性质教师用书1直线与平面垂直(1)定义如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行Error!ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0°的角(2)范围：0，3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念2 / 24二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直3 / 24【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( × )(2)垂直于同一个平面的两平面平行( × )(3)直线 a，直线 b，则 ab.( )(4)若 ，aa.( × )(5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直( )1(教材改编)下列命题中不正确的是( )A如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么l答案 A解析 根据面面垂直的性质，知 A 不正确，直线 l 可能平行平面，也可能在平面 内2设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b在平面 内，且 bm，则“”是“ab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 / 24答案 A解析 若 ，因为 m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b，又 a，所以 ab；反过来，当am 时，因为 bm，且 a，m 共面，一定有 ba，但不能保证b，所以不能推出 .3(2016·宝鸡质检)对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：若 ABAC，BDCD，则 BCAD；若 ABCD，ACBD，则 BCAD；若 ABAC，BDCD，则 BCAD；若 ABCD，ACBD，则 BCAD.其中为真命题的是( )A B C D答案 D解析 如图，取 BC 的中点 M，连接 AM，DM，由ABACAMBC，同理 DMBCBC平面 AMD，而AD平面 AMD，故 BCAD.设 A 在平面 BCD 内的射影为 O，连接 BO，CO，DO，由 ABCDBOCD，由 ACBDCOBDO为BCD 的垂心DOBCADBC.4(教材改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心答案 (1)外 (2)垂5 / 24解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB，所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心(2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面 PAB，AB平面 PAB，PCAB，又 ABPO，POPCP，AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 的高同理可证 BD，AH 为ABC 底边上的高，即 O 为ABC 的垂心.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例 1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置OD.证明：DH平面 ABCD.证明 由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得，故 ACEF.因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC6 得 DOBO4.6 / 24由 EFAC 得.所以 OH1，DHDH3.于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH.又 DHEF，而 OHEFH，且 OH，EF平面 ABCD，所以 DH平面 ABCD.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2016·××市高三质检) 在三棱锥 ABCD 中，AB平面BCD，DBDC4，BDC90°，P 在线段 BC 上，CP3PB，M，N 分别为 AD，BD 的中点求证：BC平面 MNP.证明 因为 MN 是ABD 的中位线，所以 MNAB.又 AB平面 BCD，所以 MN平面 BCD，又因为 BC平面 BCD，所以 MNBC.7 / 24取 BC 的中点 Q，连接 DQ，则 DQBC.由 PN 是BDQ 的中位线知 PNDQ，所以 PNBC.由可得 BC平面 MNP.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例 2 如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为PB，AB，BC，PD，PC 的中点(1)求证：CE平面 PAD；(2)求证：平面 EFG平面 EMN.证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.又 E 为 PB 的中点，所以 EH 綊 AB.又 CD 綊 AB，所以 EH 綊 CD.所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD.所以 CE平面 PAD.方法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AFAB.8 / 24又 CDAB，所以 AFCD.又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形因此 CFAD，又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点，所以 EFPA.又因为 ABPA，所以 EFAB，同理可证 ABFG.又因为 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG.所以 AB平面 EFG.又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG.又因为 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.引申探究1在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC.证明 因为 ABPA，ABAC，且 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，9 / 24所以 AB平面 PAC.又 MNCD，CDAB，所以 MNAB，所以 MN平面 PAC.又 MN平面 EMN，所以平面 EMN平面 PAC.2在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC.证明 因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点，所以 EFPA，FGAC，又 EF平面 PAC，PA平面 PAC，所以 EF平面 PAC.同理，FG平面 PAC.又 EFFGF，所以平面 EFG平面 PAC.思维升华 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2016·江苏) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且B1DA1F，A1C1A1B1.10 / 24求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)由已知，DE 为ABC 的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得 ACA1C1，DEA1C1，又DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1平面 A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且 A1B1AA1A1，A1B1平面 ABB1A1，AA1平面 ABB1A1，A1C1平面 ABB1A1，B1D平面 ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且 A1FA1C1A1，A1F平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，B1D平面 A1C1F，又B1D平面 B1DE，平面 B1DE平面 A1C1F.题型三 求空间角命题点 1 求两条异面直线所成的角和二面角例 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是11 / 24AD，AA1 的中点(1)求直线 EF 和直线 AB1 所成的角的大小；(2)求二面角 DA1C1D1 的正切值解 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，因为 E，F 分别是 AD，AA1 的中点，所以 EFA1D.因为 ADB1C1，ADB1C1，所以四边形 ADC1B1 为平行四边形所以 AB1DC1.所以A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角因为A1DC1 是等边三角形，所以A1DC160°，即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60°.(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，连接 B1D1 交 A1C1 于点 M，连接DM，则 D1MA1C1.又 DD1平面 A1C1，所以 DD1A1C1，且 D1MDD1D1，所以 A1C1平面 DD1M，又 DM平面 DD1M，所以 DMA1C1.故DMD1 为二面角 DA1C1D1 的平面角，故 tanDMD1.12 / 24命题点 2 求直线和平面所成的角例 4 (2016·温州一模)如图，在三棱锥 DABC 中，DADBDC，点 D 在底面 ABC 上的射影为点 E，ABBC，DFAB 于点 F.(1)求证：平面 ABD平面 DEF；(2)若 ADDC，AC4，BAC60°，求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值(1)证明 如图，由题意知 DE平面 ABC，所以 ABDE，又 ABDF，DEDFD，所以 AB平面 DEF，又 AB平面 ABD，所以平面 ABD平面 DEF.(2)解 由 DADBDC，知 EAEBEC，E 为 AC 的中点，所以 E 是ABC 的外心过点 E 作 EHDF 于点 H，则由(1)知 EH平面 DAB，所以EBH 即为 BE 与平面 DAB 所成的角由 AC4，BAC60°，得 DE2，EF，所以 DF，EH，所以 sinEBH.所以直线 BE 与平面 DAB 所成角的正弦值为.思维升华 求空间角的策略(1)利用定义将空间角转化为两条相交直线所成的角，然后在三角形中计算13 / 24(2)要遵循求角的四个步骤：作、指、算、答；注意不要忽略角的范围在如图所示的多面体 ABCDE 中，已知 ABDE，ABAD，ACD 是正三角形，ADDE2AB2，BC，F 是 CD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求直线 CE 与平面 ABED 所成角的余弦值(1)证明 如图所示，取 CE 的中点为 M，连接 BM，MF，因为 F 为 CD的中点，所以 MF 綊 ED.又 ABDE，DE2AB，所以 MF 綊 AB，所以四边形 ABMF 为平行四边形所以 BMAF.因为 BM平面 BCE，AF平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)解 因为ACD 是正三角形，所以 ACADCD2.在ABC 中，AB1，AC2，BC，所以 AB2AC2BC2，故 ABAC.又 ABAD，ACADA，所以 AB平面 ACD.如图所示，取 AD 的中点 H，连接 CH，EH，则 ABCH.又 ACCD，所以 CHAD.又 ABADA，所以 CH平面 ABED，14 / 24所以CEH 是直线 CE 与平面 ABED 所成的角在 RtCHE 中，CH，EH，CE2，所以 cosCEH.所以直线 CE 与平面 ABED 所成角的余弦值为.1919立体几何证明问题中的转化思想立体几何证明问题中的转化思想典例 (14 分) 如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AB，CD，C1D1 的中点求证：(1)AN平面 A1MK；(2)平面 A1B1C平面 A1MK.思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范规范解答证明 (1) 如图所示，连接 NK.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，15 / 24C1D1CD，C1D1CD.2 分N，K 分别为 CD，C1D1 的中点，DND1K，DND1K，四边形 DD1KN 为平行四边形，4 分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形 AA1KN 为平行四边形，ANA1K.6 分A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK，AN平面 A1MK.8 分(2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABC1D1，ABC1D1.M，K 分别为 AB，C1D1 的中点，BMC1K，BMC1K，四边形 BC1KM 为平行四边形，MKBC1.10 分在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B1C.12 分MKB1C.A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面 A1MK，平面 A1B1C平面 A1MK.14 分16 / 241(2016·嘉兴期末)设 ， 是两个不同的平面，m 是直线，且m，则“m”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 m，m，则 ；反之，若 ，m，则 m与 的位置关系不确定，所以“m”是“”的充分不必要条件，故选 A.2设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若 ，m，n，则 mnB若 ，m，n， ，则 mnC若 mn，m，n，则 D若 m，mn，n，则 答案 D解析 A 中，m 与 n 可垂直、可异面、可平行；B 中，m 与 n 可平行、可异面；C 中，若 ，仍然满足 mn，m，n，故 C 错误故选 D.3. (2016·芜湖模拟)如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC90°，BC1AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上17 / 24C直线 AC 上DABC 内部答案 A解析 由 ACAB，ACBC1，AC平面 ABC1.又AC平面 ABC，平面 ABC1平面 ABC.C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上4(2016·包头模拟) 如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是( )ACC1 与 B1E 是异面直线BAC平面 ABB1A1CAE 与 B1C1 是异面直线，且 AEB1C1DA1C1平面 AB1E答案 C解析 A 不正确，因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面 ABC 是一个正三角形，故 AC 不可能垂直平面 ABB1A1；C 正确，因为 AE，B1C1 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，易得 AEBC,而 B1C1 BC，所以 AEB1C1 ；D 不正确，因为 A1C1 所在的平面与平面 AB1E 相交，且 A1C1 与交线有公共点，故 A1C1平面 AB1E 不正确，故选 C.5如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：18 / 24BDAC；BAC 是等边三角形；三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( )A BC D答案 B解析 由题意知，BD平面 ADC，故 BDAC，正确；AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以ABACBC，BAC 是等边三角形，正确；易知 DADBDC，由知正确；由知错故选 B.6已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AC1 与底面 ABC 所成角的余弦值等于( )A. B.73C. D.53答案 B解析 设三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长为 a，A1 在底面 ABC 内的射影为 O.则依题意，得 AO，由题意得四面体 A1ABC 为四面体，所以A1AC60°，AA1C1120°.19 / 24在菱形 ACC1A1 中，AC1a.又点 C1 到底面 ABC 的距离等于 A1 到底面 ABC 的距离，且 A1O a，因此 AC1 与底面 ABC 所成角的正弦值为，AC1 与底面 ABC 所成角的余弦值为.7. 如图，BAC90°，PC平面 ABC，则在ABC 和PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_答案 AB、BC、AC AB解析 PC平面 ABC，PC 垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面 PAC，与 AP 垂直的直线是 AB.8. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90°，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为_答案 1 2解析 设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1DF.由已知可得 A1B1，设 RtAA1B1 斜边 AB1 上的高为 h，则 DEh.20 / 24又 2×h，所以 h，DE.在 RtDB1E 中，B1E .由面积相等得× x，得 x.9. 如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确结论的序号是_答案 解析 由题意知 PA平面 ABC，PABC.又 ACBC，且 PAACA，BC平面 PAC，BCAF.AFPC，且 BCPCC，AF平面 PBC，AFPB，又 AEPB，AEAFA，PB平面 AEF，PBEF.故正确10(2016·保定模拟) 在直二面角 MN 中，等腰直角三角形ABC 的斜边 BC，一直角边 AC，BC 与 所成角的正弦值为，则 AB 与 所成的角是_21 / 24答案 3解析 如图所示，作 BHMN 于点 H，连接 AH，则 BH，BCH 为 BC 与 所成的角sinBCH，设 BC1，则 BH.ABC 为等腰直角三角形，ACAB，AB 与 所成的角为BAH.sinBAH，BAH.11(2016·四川) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PACD，ADBC，ADCPAB90°，BCCDAD.(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由；(2)证明：平面 PAB平面 PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：连接 BM，CM.因为 ADBC，BCAD，所以 BCAM，且 BCAM，所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB.又 AB平面 PAB，CM平面 PAB.所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)22 / 24(2)证明 由已知，PAAB，PACD.因为 ADBC，BCCDAD，所以直线 AB 与 CD 相交，因为 AB平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PA平面 ABCD，又因为 BD平面 ABCD，从而 PABD.又 BCMD，且 BCMD.所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BMCDAD，所以 BDAB.又 ABAPA，AB平面 PAB，AP平面 PAB，所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.12(2016·××市高三下学期 5 月调测)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，AC1平面 ABC，BCCAAC1.(1)求证：AC平面 AB1C1；(2)求直线 A1B 与平面 AB1C1 所成角的余弦值(1)证明 由三棱柱的性质知，BCB1C1.因为ACB90°，所以 ACB1C1.因为 AC1平面 ABC，AC平面 ABC，23 / 24所以 AC1AC.因为 AC1B1C1C1，AC1平面 AB1C1，B1C1平面 ABC1，所以 AC平面 AB1C1.(2)解 因为三棱柱 ABCA1B1C1 中 ACA1C1，又由(1)知，AC平面 AB1C1，所以 A1C1平面 AB1C1.设 A1B 交 AB1 于点 O，所以AOC1 为直线 A1B 与平面 AB1C1 所成角设 BCCAAC1a，RtAC1O 中，OC1a，A1Oa.因此，cosA1OC1，故直线 A1B 与平面 AB1C1 所成角的余弦值为.13(2016·北京) 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面CEF？说明理由(1)证明 PC平面 ABCD，DC平面 ABCD，PCDC.又 ACDC，PCACC，PC平面 PAC，AC平面PAC，DC平面 PAC.(2)证明 ABCD，CD平面 PAC，AB平面 PAC，又 AB平面 PAB，24 / 24平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又E 为 AB 的中点，EF 为PAB 的中位线，EFPA.又 PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面 CEF.