高考数学一轮复习第九章解析几何9-4直线与圆圆与圆的位置关系学案理.doc

- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何精选高考数学一轮复习第九章解析几何 9-49-4 直直线与圆圆与圆的位置关系学案理线与圆圆与圆的位置关系学案理考纲展示 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想考点 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：_、_、_.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：过圆 x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.过圆(xa)2(yb)2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.过圆 x2y2r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0xy0yr2.答案：(1)相交 相切 相离(2)相交 相切 相离 相交 2r2d2相切 相离(1)教材习题改编圆(x1)2(y2)26 与直线 2xy50的位置关系是( )- 2 - / 15A相切B相交但直线不过圆心C相交过圆心D相离答案：B解析：由题意知，圆心(1，2)到直线 2xy50 的距离d0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点解 设直线与圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令 t，则 tk24k(t3)0，当 t0 时，k；当 t0 时，因为 kR，所以 164t(t3)0，解得1t4，且 t0，故 t的最大值为 4，此时|AB|最小为 2.则直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2.解法二：证明 因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 P(0,1)，而|PC|4，- 7 - / 15点 M 在圆 C 外部当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，即 x30.又点 C(1,2)到直线 x30 的距离 d312r，即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心 C 到切线的距离 dr2，解得 k.切线方程为 y1(x3)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x30 或 3x4y50.|MC| ，过点 M 的圆 C 的切线长为1.点石成金 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0 进而求得k.(2)几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 dr，进而求出 k.提醒 若点 M(x0，y0)在圆 x2y2r2 上，则过点 M 的圆的切线方程为 x0xy0yr2.2弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2.- 8 - / 15提醒 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.2017·重庆调研过点(2,3)的直线 l 与圆x2y22x4y0 相交于 A，B 两点，则|AB|取得最小值时 l 的方程为( )Axy50 Bxy10Cxy50 D2xy10答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心 C(1,2)过圆心与点(2,3)的直线 l1 的斜率为 k1.当直线 l 与 l1 垂直时，|AB|取得最小值，故直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y3x(2)，即 xy50.2过原点 O 作圆 x2y26x8y200 的两条切线，设切点分别为 P，Q，则线段 PQ 的长为_答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x3)2(y4)25，则圆心为(3,4)，半径为.由题意可设切线方程为 ykx，则圆心(3,4)到直线 ykx 的距离等于半径，即，解得 k或 k，则切线方程为 yx 或 yx.联立切线方程与圆的方程，解得两切点 P，Q 的坐标分别为(4,2)，由两点间的距离公式得|PQ|4.考点 3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系- 9 - / 15设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).方法位置 关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_外切_相交_内切_内含_答案：d>r1r2 无解 dr1r2 一组实数解 |r1r2|0)相切，则a_.答案：或3 22解析：两圆的圆心距为 a，半径分别为 r11，r22.当两圆内切时， a211，得 a；当两圆外切时， a213，得 a.典题 3 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为( )A. B.3 2C. D23答案 C解析 由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得213，即(ab)29，根据基本(均值)ab2222不等式可知，ab2，当且仅当 ab 时等号成立故选 C.题点发散 1 把本例中的“外切”变为“内切” ，求 ab 的最大值解：由 C1 与 C2 内切，得1.ab2222即(ab)21，又 ab2，当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最大值为.题点发散 2 把本例条件“外切”变为“相交” ，求公共弦所在的直线方程- 11 - / 15解：由题意得，把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程圆 C1：x2y22ax4ya20，圆 C2：x2y22bx4yb230，由，得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直线方程题点发散 3 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线” ，试判断直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 的位置关系解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故>3.(ab)2>9，即 ab>3 或 ab1，直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离点石成金 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( )A内切 B相交C外切 D相离答案：B解析：两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d.32<d<32，两圆相交2过两圆 x2y24xy1，x2y22x2y10 的交点的圆中面积最小的圆的方程为_- 12 - / 15答案：22 解析：由 得 2xy0，代入得 x或1，两圆两个交点为，(1，2)过两交点的圆中，以，(1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小该圆圆心为，半径为，圆的方程为 22.方法技巧 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2r2d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|x1x2|.2两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0 条；内切：1条；相交：2 条；外切：3 条；外离：4 条3当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程易错防范 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程注意：斜率不存在的情形2过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解真题演练集训 12016·新课标全国卷圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a( )- 13 - / 15B A D2C. 答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得 d1，解得a，故选 A.22015·新课标全国卷过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|( )B8 A2 D10C4 答案：C解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则Error!解得Error! 圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y22 或 y22， M(0，22)，N(0，22)或 M(0，22)，N(0，22)， |MN|4，故选 C.32015·重庆卷已知直线 l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10 的对称轴过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|( )B4 A2 D2C6 10答案：C解析：直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对- 14 - / 15称轴， 圆心 C(2,1)在直线 xay10 上， 2a10， a1， A(4，1) |AC|236440.又 r2， |AB|240436. |AB|6.42016·新课标全国卷已知直线 l：mxy3m0 与圆x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于C，D 两点若|AB|2，则|CD|_.答案：4解析：设圆心到直线 l：mxy3m0 的距离为 d，则弦长|AB|22，得 d3，即3，解得 m，则直线 l：xy60，数形结合可得|CD|4.52015·江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案：(x1)2y22解析：直线 mxy2m10 经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径 r 满足 r2(12)2(01)22.课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用典例 如果点 P 在平面区域上，点 Q 在曲线 x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_审题视角 求解本题应先画出点 P 所在的平面区域，再画出点- 15 - / 15Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值解析 由点 P 在平面区域上，画出点 P 所在的平面区域由点 Q 在圆 x2(y2)21 上，画出点 Q 所在的圆，如图所示由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10 的距离减去半径 1.又圆心(0，2)到直线 x2y10 的距离为，|02 × 11|1222 此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为1.答案 1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题