高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书理苏教.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-54-5 简单的三角恒等变换第简单的三角恒等变换第 1 1 课时两角和与差的正弦余课时两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书理苏教弦和正切公式教师用书理苏教1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin ，(C()cos()cos cos sin sin ，(C()sin()sin cos cos sin ，(S()sin()sin cos cos sin ，(S()tan()，(T()tan().(T()2.二倍角公式sin 22sin cos ，(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2，(C2)tan 2.(T2)【知识拓展】1.降幂公式：cos2，sin2.2.升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.3.辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中 sin ，cos .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立.( )2 / 12(2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( × )(3)若 45°，则 tan tan 1tan tan .( )(4)对任意角 都有 1sin (sin cos )2.( )(5)y3sin x4cos x 的最大值是 7.( × )(6)在非直角三角形中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.( )1.tan 20°tan 40°tan 20°tan 40° .答案 3解析 tan 60°tan(20°40°)，tan 20°tan 40°tan 60°(1tan 20°tan 40°)tan 20°tan 40°，原式tan 20°tan 40°tan 20°tan 40°.2.(2016·四川)cos2sin2 .答案 22解析 由题意可知，cos2sin2cos(二倍角公式).3.(2016·全国丙卷改编)若 tan ，则 cos 2 .答案 4 5解析 tan ，则 cos 2cos2sin2.4.(2015·江苏)已知 tan 2，tan()，则 tan 的值为 .答案 3解析 tan tan()3.5.(2016·全国甲卷改编)函数 f(x)cos 2x6cos 的最大值为 .3 / 12答案 5解析 由 f(x)cos 2x6cos12sin2x6sin x22，所以当 sin x1 时函数的最大值为 5.第第 1 1 课时课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用例 1 (2016·盐城模拟)已知 为锐角，cos().(1)求 tan()的值；(2)求 sin(2)的值.解 (1)因为 (0，)，所以 (，)，所以 sin() ，所以 tan()2.(2)因为 sin(2)sin 2()2sin()cos()，cos(2)cos 2()2cos2()1，所以 sin(2)sin(2)sin(2)cos cos(2)sin .思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)(2016·全国丙卷改编)若 tan ，则 cos22sin 2 .(2)计算：的值为 .答案 (1) (2)1 24 / 12解析 (1)tan ，则 cos22sin 2cos22sin 2 cos2sin2.(2)sin 70°sin 20° cos 310°.题型二 和差公式的综合应用命题点 1 角的变换例 2 (1)设 、 都是锐角，且 cos ，sin()，则cos .(2)(2016·镇江期末)由 sin 36°cos 54°，可求得 cos 2 016°的值为 .答案 (1) (2)514解析 (1)依题意得 sin ，cos()±±.又 ， 均为锐角，所以 0cos().因为>>，所以 cos().于是 cos cos()cos()cos sin()sin ××.(2)由 sin 36°cos 54°，得 sin 36°2sin 18°cos 18°cos(36°18°)cos 36°cos 18°sin 36°sin 18°(12sin218°)·cos 18°2sin218°cos 18°cos 18°4sin218°·cos 18°，即 4sin218°2sin 18°10，解得sin 18°，cos 2 016°cos(6×360°144°)cos 144°cos 36°2sin218°1.5 / 12命题点 2 三角函数式的变形例 3 (1)(2016·无锡调研)若 tan ，tan()，则tan(2) .答案 1 7解析 方法一 因为 tan ，所以 tan 2.又 tan()，故 tan 1.所以 tan(2).方法二 tan(2)tan(2)tan().(2)求值：sin 10°(tan 5°).解 原式sin 10°()sin 10°·cos25°sin25° sin 5°cos 5°sin 10°·cos 10° 1 2sin 10°2cos 10°cos 10°2sin 20° 2sin 10°cos 10°2sin30°10° 2sin 10°cos 10°212cos 10°32sin 10°2sin 10°.引申探究化简： (00，(，)，sin().sin(2)sin2()sin 2()cos cos 2()sin 4sin()cos()2cos2()1××2×()21.(2)sin3102sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5sin cos cos 5sin5 sin cos cos 5sin58 / 122·sin5cos5cos5sin52·sin5cos5cos5sin53.答案 (1) (2)31.(2016·苏州暑假测试)已知 (0，)，cos ，则tan() .答案 1 7解析 由 (0，)，cos ，得 tan ，则 tan().2.(2016·盐城三模)若角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 yx 上，则 tan 的值为 .答案 1 3解析 若角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 yx 上，则 tan()，又 tan()，所以 tan .3.(2015·重庆改编)若 tan ，tan()，则 tan _.答案 1 7 解析 tan tan(). 4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若 、 均为锐角，且 cos ，cos()，则 cos .答案 1 39 / 12解析 由于 、 都是锐角，所以 (0，)，又 cos ，cos()，所以 sin ，sin()，所以 cos cos()cos()cos sin()sin ××.5.的值是 .答案 3解析 原式2cos30°20°sin 20° sin 70°2cos 30°·cos 20°sin 30°·sin 20°sin 20° sin 70°.6.已知锐角 ， 满足 sin cos ，tan tan tan tan ，则 ， 的大小关系是 .答案 0，>.又 tan tan tan tan ，tan()，又 >，0)个单位长度后，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 .答案 6解析 ycos xsin x2sin(x)，所以此函数的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后得到y2sin(xm)的图象，由题意得 mk(kZ)，m>0，mk(kZ 且 k0)，11 / 12m 的最小值是.11.已知 (，)，sin .(1)求 sin()的值；(2)求 cos(2)的值.解 (1)因为 (，)，sin ，所以 cos .故 sin()sin cos cos sin ×()×.(2)由(1)知 sin 22sin cos 2××()，cos 212sin212×()2，所以 cos(2)cos cos 2sin sin 2()××().12.已知 (0，)，tan ，求 tan 2 和 sin(2)的值.解 tan ，tan 2，且，即 cos 2sin ，又 sin2cos21，5sin21，而 (0，)，sin ，cos .sin 22sin cos 2××，cos 2cos2sin2，sin(2)sin 2cos cos 2sin 3××.*13.已知 cos()cos()，(，).(1)求 sin 2 的值；12 / 12(2)求 tan 的值.解 (1)cos()·cos()cos()·sin()sin(2)，即 sin(2).(，)，2(，)，cos(2)，sin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin .(2)(，)，2(，)，又由(1)知 sin 2，cos 2.tan sin2cos2 sin cos 2×2.