高考数学一轮复习第八章立体几何8-2空间几何体的表面积与体积理.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-28-2 空空间几何体的表面积与体积理间几何体的表面积与体积理1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh1 3台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V (S上S下1 3)hS上S下球S4R2V R34 3【知识拓展】1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2 / 142几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2Ra；若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积( × )(3)球的体积之比等于半径比的平方( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )(5)长方体既有外接球又有内切球( × )(6)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.( × )1(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1 cm B2 cmC3 cm D. cm答案 B解析 S 表r2rlr2r·2r3r212，r24，r2 cm.2某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )3 / 14A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2答案 D解析 该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为 6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为 3 cm,4 cm，5 cm，所以表面积 S2×(4×64×3)3×63×3(5×34×32××4×3)9939138(cm2)3(2016·全国甲卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )A12 B.C8 D4答案 A解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线 2 即为球的直径，所以球的表面积为 4R2(2R)212，故选 A.4 九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 寸，容纳米 2 000 斛(1 丈10 尺，1 尺10 寸，斛为容积单位，1 斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为( )A1 丈 3 尺 B5 丈 4 尺C9 丈 2 尺 D48 丈 6 尺答案 B解析 设圆柱底面半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为Vr2h2 000×1.623×r2×13.33，所以 r281，即 r9，所以圆柱底面圆周长为 2r54,54 尺5 丈 4 尺，即圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺，故选 B.5(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三4 / 14视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为_答案 11解析 由三视图可知半球的半径为 2，圆锥底面圆的半径为 2，高为2，所以 V 圆锥××23，V 半球××23，所以 V 剩余V 半球V 圆锥，故剩余部分与挖去部分的体积之比为 11.题型一 求空间几何体的表面积例 1 (1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A21 B183C21 D18(2)一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案 (1)A (2)12解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×(4)2××()221.故选 A.(2)设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h.由题意，得×6××2××h2，h1，斜高 h2，S 侧6××2×212.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接5 / 14部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_答案 26解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为 1，高为 1，所以表面积为 SS 长方体表2S 半圆柱底S 圆柱轴截面S半圆柱侧2×4×12×1×22×4×2×122×1×2×126.题型二 求空间几何体的体积命题点 1 求以三视图为背景的几何体的体积例 2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.C. D1答案 C解析 由三视图知，半球的半径 R，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为 1，高为 1，V×1×1×1××3，故选 C.命题点 2 求简单几何体的体积例 3 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_答案 76 / 14解析 设新的底面半径为 r，由题意得r2·4r2·8×52×4×22×8，解得 r.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_(2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.3 2答案 (1) (2)A解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为 h1，则体积VSh×(×2×1)×1.(2)如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，容易求得 EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC××1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC××7 / 14×2×1.故选 A.题型三 与球有关的切、接问题例 4 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为( )A. B210C. D310答案 C解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AMBC，OMAA16，所以球 O 的半径 ROA .引申探究1已知棱长为 4 的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4，从而 V 外接球R3×(2)332，V 内切球r3×23.2已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？解 正四面体的表面积为 S14··a2a2，其内切球半径 r 为正四面体高的，即 r·aa，因此内切球表面积为 S24r2，则.8 / 143已知侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3×6，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2 求解(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( )A4 B. C6 D.32 3答案 B解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为 3，V 的最大值为.15巧用补形法解决立体几何问题典例 (2016·青岛模拟)如图，在ABC 中，AB8，BC10，AC6，DB平面 ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_9 / 14思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成 “补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥” ，将不规则的几何体补成规则的几何体等解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以 V 几何体V 三棱柱×SABC×AA×24×896.答案 961已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A4 B4 C4 D4答案 C解析 由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱的体积的，即·12·32·2·1·12·14.2(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A. B. C. D(4)3答案 B解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为 1，四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，它们的高均为.则 V··.故选 B.3(2015·山东)在梯形 ABCD 中，10 / 14ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D2答案 C解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱V 圆锥·AB2·BC··CE2·DE×12×2×12×1，故选 C.4(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A1 B23C12 D22答案 B解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，该四面体的表面积为 S 表2××2×12××()22，故选 B.5(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A. B6 C. D.答案 C解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V××4×1×××4×2.故选 C.6(2016·福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，ABAC，侧面 BCC1B1 是半球11 / 14底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )A. B. C2 D1答案 A解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为 1，则正方形的边长为.ABCA1B1C1 为直三棱柱，平面 ABC平面BCC1B1，BC 为截面圆的直径，BAC90°.ABAC，AB1.侧面 ABB1A1 的面积为×1.故选 A.7.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为，以顶点 A 为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为_答案 解析 由题意，图中弧为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为A1AEBAF，所以EAF，由弧长公式知弧的长为 2×.弧为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为 B，因为球心到平面 BCC1B1 的距离 d，球的半径 R2，所以小圆的半径r1，又GBF，所以弧的长为 1×.故两段弧长之和为.8(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体 ABCD 满足ABCD，ACADBCBD2，则四面体 ABCD 的外接球的表面积是_答案 7解析 (图略)在四面体 ABCD 中，取线段 CD 的中点为 E，连接AE，BE.ACADBCBD2，AECD，BECD.在 RtAED 中，CD，AE.同理 BE.取 AB 的中点为 F，连接 EF.由 AEBE，得EFAB.在 RtEFA 中，AFAB，AE，EF1.取 EF 的中点为O，连接 OA，则 OF.在 RtOFA 中，OA.OAOBOCOD，该12 / 14四面体的外接球的半径是，外接球的表面积是 7.9. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB 是圆 O 的直径，点C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且POOB1.则三棱锥 PABC 体积的最大值为_答案 1 3解析 VPABCPO·SABC，当ABC 的面积最大时，三棱锥PABC 体积达到最大值当 COAB 时，ABC 的面积最大，最大值为×2×11，此时 VPABCPO·SABC.10(2016·浙江)如图，在ABC 中，ABBC2，ABC120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PDDA，PBBA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是_答案 1 2解析 设 PDDAx，在ABC 中，ABBC2，ABC120°，ACAB2BC22·AB·BC·cosABC2，CD2x，且ACB(180°120°)30°，SBCDBC·DC·sinACB×2×(2x)×(2x)要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而 P 到平面 BCD 的最大距离为 x.则 V 四面体 PBCD×(2x)x(x)23，由于 0x2，故当 x时，V 四面体 PBCD 的最大值为×3.11(2015·课标全国)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD的交点，BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；13 / 14(2)若ABC120°，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积(1)证明 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE.因为 BEBDB，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)解 设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因为 AEEC，所以在 Rt AEC 中，可得 EGx.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BEx.由已知得，三棱锥 EACD 的体积VEACD·AC·GD·BEx3.故 x2.从而可得 AEECED.所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为.故三棱锥 EACD 的侧面积为 32.*12.如图，ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，DC平面 ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面 ADC；(2)设 ACx，V(x)表示三棱锥 BACE 的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值(1)证明 四边形 DCBE 为平行四边形，CDBE，BCDE.14 / 14DC平面 ABC，BC平面 ABC，DCBC.AB 是圆 O 的直径，BCAC，且 DCACC，BC平面 ADC.DEBC，DE平面 ADC.(2)解 DC平面 ABC，BE平面 ABC.在 RtABE 中，AB2，EB.在 RtABC 中，ACx，BC(0<x<2)，SABCAC·BCx·，V(x)VEABCx·(0<x<2)x2(4x2)()24，当且仅当 x24x2，即 x时，取等号，x时，体积有最大值.