高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-7离散型随机变量及其分布列学案理.doc

- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布概率随机变量及其分布 11-711-7 离散型随机变量及其分布列学案离散型随机变量及其分布列学案理理考纲展示 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用考点 1 离散型随机变量的分布列的性质1.随机变量的有关概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序_，这样的随机变量叫做离散型随机变量答案：一一列出2离散型随机变量的分布列(1)概念若离散型随机变量 X 可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2,3，n)的概率 P(Xxi)pi，如下表：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时也用等式 P(Xxi)pi，i1,2，n 表示 X 的分布列- 2 - / 12(2)性质pi_，i1,2,3，n；i1.答案：(2)03常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布X01P_p若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，就称 X 服从两点分布，并称 pP(X1)为_(2)超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)_，k0,1,2，m，其中 mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP_如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布答案：(1)1p 成功概率(2) Cm MCnmNM Cn N(1)教材习题改编已知离散型随机变量 的分布列为123nPk nk nk nk n则 k 的值为_答案：1解析：由1，得 k1.- 3 - / 12(2)教材习题改编设随机变量 X 等可能取 1,2,3，n，如果P(X<4)0.3，那么 n_.答案：10解析：由题意知×30.3，n10.典题 1 设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1 的分布列；(2)|X1|的分布列解 由分布列的性质知，020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2X1 的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列为|X1|0123P0.10.30.30.3点石成金 1.利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证各个概率值均为非负数2若 X 是随机变量，则 |X1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列- 4 - / 12考点 2 离散型随机变量分布列的求法离散型随机变量的分布列易错点：随机变量的取值不全；分布列的概率之和不为 1.下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是_答案：解析：利用离散型随机变量的分布列的性质可排除，.离散型随机变量的分布列：随机变量的取值；求概率；列表检验某射手射击一次所得环数 X 的分布列如下：X78910P0.10.40.30.2现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 ，则 的分布列为_答案：78910P0.010.240.390.36解析： 的可能取值为 7,8,9,10.P(7)0.120.01，P(8)2×0.1×0.40.420.24，P(9)2×0.1×0.32×0.4×0.30.320.39，P(10)2×0.1×0.22×0.4×0.22×0.3×0.20.220.36， 的分布列为78910P0.010.240.390.36典题 2 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件)0123- 5 - / 12频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列解 (1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 1 件).(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3.P(X2)P(当天商品销售量为 1 件)；P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3 件).所以 X 的分布列为X23P1 43 4点石成金 求离散型随机变量分布列的步骤考点 3 超几何分布典题 3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛(1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会” ，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列解 (1)由已知得，- 6 - / 12P(A).所以事件 A 发生的概率为.(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以随机变量 X 的分布列为X1234P1 143 73 71 14点石成金 超几何分布的两个特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.2017·山东济南调研PM2.5 是指悬浮在空气中的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方米)25，35(35，45(45，55(55，65(65，75(75，85频数311113(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 的分布列- 7 - / 12解：(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 A，则P(A).(2)依据条件，随机变量 的可能取值为 0,1,2,3，P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3).因此 的分布列为0123P7 2421 407 401 120方法技巧 1.随机变量的线性关系若 X 是随机变量，YaXb，a，b 是常数，则 Y 也是随机变量2分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值(2)随机变量 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率3求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 取各个值的概率易错防范 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件” ，下为“事件发生的概率” ，只不过“事件”是- 8 - / 12用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误真题演练集训 12016·新课标全国卷某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与n20 之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04.- 9 - / 12所以 X 的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知，P(X18)0.44，P(X19) 0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.当 n20 时，E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.04 4 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于当 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.22016·山东卷甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X)解：(1)记事件 A：“甲第一轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜- 10 - / 12对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” 由题意，EABCDBCDACDABDABC.由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD) P(ABD) P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()×××2×××××××.所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为.(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)×××，P(X1)2×××××××，P(X2)××××××××××××，P(X3)××××××，P(X4)2×××××××，P(X6)×××.可得随机变量 X 的分布列为X012346P1 1445 7225 1441 125 121 4所以数学期望 E(X)0×1×2×3×4×6×.课外拓展阅读 离散型随机变量的分布列答题模板典例 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测- 11 - / 12将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X的分布列解 (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 P1×.(2)由题意，X 的可能取值为 200,300,400.则 P(X200)；P(X300)；P(X400)1P(X200)P(X300).X 的分布列如下：X200300400P1 103 103 5答题模板 求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤：第一步：找出随机变量 X 的所有可能取值；第二步：求出 X 取每一个值时的概率；第三步：列出分布列(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1.- 12 - / 12方法点睛