高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型文.doc

1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 7 7 解析几何第解析几何第 2828 练椭圆问题中最练椭圆问题中最值得关注的基本题型文值得关注的基本题型文题型分析·高考展望 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解体验高考体验高考1(2015·广东)已知椭圆1(m>0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m等于( )A2 B3 C4 D9答案 B解析 由题意知 25m216，解得 m29，又 m>0，所以 m3.2(2015·福建)已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A. B.(0，3 4C. D.3 4，1)答案 A解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边2 / 16形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设 M(0，b)，则，1b2.离心率 e，故选 A.3(2016·课标全国丙)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为椭圆 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.3 4答案 A解析 设 M(c，m)，则 E，OE 的中点为 D，则 D，又 B，D，M 三点共线，所以，a3c，e.4(2015·浙江)已知椭圆y21 上两个不同的点A，B 关于直线 ymx对称(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)解 (1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 yxb.由消去 y，得 x2xb210.因为直线 yxb 与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b220，3 / 16将线段 AB 中点 M 代入直线方程 ymx，解得 b，由得 m或 m.(2)令 t，则|AB|·，且 O 到直线 AB 的距离为 d.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)|AB|·d.当且仅当 t2时，等号成立故AOB 面积的最大值为.5(2016·北京)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|·|BM|为定值(1)解 由已知，ab1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c.椭圆 C 的方程为y21.(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点 P(x0，y0)，则y1.当 x00 时，直线 PA 方程为 y(x2)，令 x0 得 yM.从而|BM|1yM|.直线 PB 方程为 yx1，令 y0 得 xN.4 / 16|AN|2xN|.|AN|·|BM|·|12y0 x02|·|x02y02 x02|x2 04y2 04x0y04x08y04 x0y0x02y02|4.当 x00 时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|·|BM|4.故|AN|·|BM|为定值高考必会题型高考必会题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例 1 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率e，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值解 设 P 点坐标为(x0，y0)由题意知 a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又 F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，PA·xx02yxx01(x02)2.当 x02 时，·取得最小值 0，当 x02 时，·取得最大值 4.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心5 / 16率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用 a、b、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程变式训练 1 如图，F1、F2 分别是椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260°.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若AF1B 的面积为 40，求椭圆 C 的方程解 (1)由题意可知，AF1F2 为等边三角形，a2c，所以 e.(2)方法一 a24c2，b23c2，直线 AB 的方程可为 y(xc)，将其代入椭圆方程 3x24y212c2，得 B(c，c)，所以|AB|·|c0|c，由 SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·a·a240，解得 a10，b5，所以椭圆 C 的方程为1.方法二 设|AB|t，因为|AF2|a，所以|BF2|ta，由椭圆定义|BF1|BF2|2a 可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta，由 SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·a·a240 知，a10，b5，所以椭圆 C 的方程为1.题型二 直线与椭圆相交问题6 / 16例 2 (2015·课标全国)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值(1)解 由题意得，1，解得 a28，b24.所以椭圆 C 的方程为1.(2)证明 设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故 xM，yMk·xMb.于是直线 OM 的斜率 kOM，即 kOM·k.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决求范围或最值问题，也可考虑求“交点” ，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式变式训练 2 椭圆 C：1(a>b>0)的离心率为，且过其右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l：yx与椭圆 C 交于A，B 两点，求PAB 面积的最大值7 / 16解 (1)椭圆 C：1(a>b>0)的离心率为，e，2ca，即 4c23a2，又过椭圆右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2，1，1，即 b24，又 a2b2c2，a2b2c24a2，即 a216，椭圆 C 的方程为1.(2)联立直线 l：yx与椭圆 C 的方程，得消去 y，整理可得 7x212x520，即(7x26)(x2)0，解得 x2 或 x，不妨设 A(2，)，B(，)，则|AB|，设过 P 点且与直线 l 平行的直线 L 的方程为 yxC，L 与 l 的距离就是 P 点到 AB 的距离，即PAB 的边 AB 上的高，只要 L 与椭圆相切，就有 L 与边 AB 的最大距离，即得最大面积将 yxC 代入1，消元整理可得：7x28Cx16C2640，令判别式 (8C)24×7×(16C264)256C228×640，解得 C± ± .L 与 AB 的最大距离为| 732|3421，8 / 16PAB 面积的最大值为××2 192 7 319(2)题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题例 3 已知椭圆1(a>b>0)的一个顶点为 B(0,4)，离心率 e，直线 l 交椭圆于 M，N 两点(1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦|MN|的长；(2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式解 (1)由已知得 b4，且，即，解得 a220，椭圆方程为1.则 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y 得 9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)如图，椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，BF又 B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得 x03，y02，即得 Q 的坐标为(3，2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，y1y24，且1，1，9 / 16以上两式相减得0，x1x2x1x2 20kMN·×，故直线 MN 的方程为 y2(x3)，即 6x5y280.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解变式训练 3 已知椭圆1(a>b>0)，焦点在直线 x2y20 上，且离心率为.(1)求椭圆方程；(2)过 P(3,1)作直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程解 (1)椭圆1(a>b>0)，焦点在直线 x2y20 上，令 y0，得焦点(2,0)，c2，离心率 e，解得 a4，b216412，椭圆方程为1.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，过 P(3,1)作直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，P 为线段 AB 的中点，由题意，x1x26，y1y22，0，kl，l 的方程为 y1(x3)，即 9x4y310.10 / 16高考题型精练高考题型精练1(2016·课标全国乙)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A. B.1 2C. D.3 4答案 B解析 如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD×2bb.在 RtOFB 中，|OF|×|OB|BF|×|OD|，即 cba·b，代入解得 a24c2，故椭圆离心率 e，故选 B.2已知椭圆1，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点，则|PA|PF1|的最大值是( )A6 B622C6D62答案 D解析 |PA|PF1|PA|2a|PF2|2a|AF2|6，当 P，A，F2 共线时取最大值，故选 D.3已知椭圆1 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，点 A(0,2)，当APF 的周长最大时，直线 AP 的方程为( )Ayx2Byx23Cyx2Dyx23答案 D解析 椭圆1 中 a3，b，c2，11 / 16由题意，设 F是左焦点，则APF 周长|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|46|PA|PF|10|AF|(A，P，F三点共线，且 P 在 AF的延长线上时，取等号)，直线 AP 的方程为1，即 yx2，故选 D.4如果椭圆1 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )Ax2y0Bx2y40C2x3y140Dx2y80答案 D解析 设这条弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则Error!两式相减再变形得k0，又弦中点坐标为(4,2)，故 k，故这条弦所在的直线方程为 y2(x4)，整理得 x2y80，故选 D.5设 F1、F2 分别是椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF1F230°，则椭圆的离心率为( )A. B.36C. D.1 6答案 A12 / 16解析 线段 PF1 的中点在 y 轴上，设 P 的横坐标为 x，F1(c,0)，cx0，xc，P 与 F2 的横坐标相等，PF2x 轴，PF1F230°，|PF2|PF1|，|PF2|PF1|2a，|PF2|a，tan PF1F2，e.6过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆 C：1 于 A，B 两点，F1 为椭圆的左焦点，当ABF1 周长最大时，直线 l 的方程为_答案 xy10解析 设右焦点为 F2(1,0)，则|AF1|4|AF2|，|BF1|4|BF2|，所以|AF1|BF1|AB|8|AB|(|AF2|BF2|)，显然|AF2|BF2|AB|，当且仅当 A，B，F2 共线时等号成立，所以当直线 l 过点 F2 时，ABF1 的周长取最大值 8，此时直线方程为 yx1，即 xy10.7(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆1(ab0)的右焦点，直线 y与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_答案 63解析 联立方程组Error!13 / 16解得 B、C 两点坐标为B，C，又 F(c,0)，则，又由BFC90°，可得·0，代入坐标可得：c2a20，又因为 b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为 e.8(2016·淮北一中高三最后一卷)P 为椭圆1 上的任意一点，AB 为圆 C：(x1)2y21 的任一条直径，则·的取值范围是_答案 3,15解析 圆心 C(1,0)为椭圆的右焦点，·()·()PA()·()22|21，显然|ac，ac2,4，所以·|213,159设椭圆的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，上顶点为 A(0,2)，离心率为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设 B1(2,0)，B2(2,0)，过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB2，求直线 l 的方程解 (1)设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，14 / 16，1，即，又b24，a220，椭圆的标准方程为1.(2)由题意知直线 l 的倾斜角不为 0，故可设直线 l 的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1y2，y1·y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由 PB2QB2 得·0，即 16m2640，解得 m±2，直线 l 的方程为 x±2y2，即 x±2y20.10(2016·课标全国乙)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过点 B作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过点 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解 (1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，15 / 16故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：1(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则 x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：y(x1)，点 A 到 m 的距离为，所以|PQ|24.故四边形 MPNQ 的面积S|MN|PQ|12.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8)11(2015·安徽)设椭圆 E 的方程为1(a>b>0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为.(1)求椭圆 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB.16 / 16(1)解 由题设条件知，点 M 的坐标为，又 kOM，从而.进而 ab，c2b，故 e.(2)证明 由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为，可得，又(a，b)，从而有·a2b2(5b2a2)由(1)的计算结果可知 a25b2，所以·0，故 MNAB.