高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书文北师大版.doc

1第十节第十节 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算考纲传真 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，y ，的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式1 x和导数的四则运算法则求简单函数的导数1有关导数的基本概念(1)函数yf (x)在xx0处的导数称函数yf (x)在x0点的瞬时变化率为函数yf (x)在点x0处的导数，用f (x0)表示，记作f (x0) .limx0f x0xf x0 x(2)导数的几何意义函数f (x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线yf (x)上点(x0，f (x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf (x0)f (x0)(xx0)(3)函数f (x)的导函数如果一个函数f (x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f (x)：f (x) ，则f (x)是关于x的函数，称f (x)为limx0f x0xf x0 xf (x)的导函数，通常也简称为导数2导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)23.导数运算法则(1)f (x)±g(x)f (x)±g(x)；(2)f (x)·g(x)f (x)g(x)f (x)g(x)；(3)(g(x)0)f x gxf xgxf xgx g2x1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)f (x0)与(f (x0)表示的意义相同( )(2)求f (x0)时，可先求f (x0)再求f (x0)( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点( )(4)若f (a)a32axx2，则f (a)3a22x.( )答案 (1)× (2)× (3) (4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2 (t是时间，s是位移)，则该机3 t器人在时刻t2 时的瞬时速度为( )A. B 19 417 4C D15 413 4D D 由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2 时，机器人3 t2的瞬时速度为v(2)2×2. 3 2213 43(2016·天津高考)已知函数f (x)(2x1)ex，f (x)为f (x)的导函数，则f (0)的值为_3 因为f (x)(2x1)ex，所以f (x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f (0)3e03.4(2016·豫北名校期末联考)曲线f (x)5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_.【导学号：66482098】5xy20 f (x)5ex，所求曲线的切线斜率kf (0)5e05，切线方程为y(2)5(x0)，即 5xy20.5(2015·全国卷)已知函数f (x)ax3x1 的图像在点(1，f (1)处的切线过点(2,7)，则a_.31 f (x)3ax21，f (1)3a1.又f (1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(x21 x1 x3)(3)yxsin cos ；x 2x 2(4)y.cos x ex解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex· ex.1 x(ln x1 x)(2)yx31，y3x2.1 x22 x3(3)yx sinx，y1 cosx.1 21 2(4)y(cos x ex)cos xexcos xex ex2.sin xcos x ex规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导变式训练 1 (1)f (x)x(2 017ln x)，若f (x0)2 018，则x0等于( )【导学号：66482099】Ae2 B1 Cln 2 De4(2)(2015·天津高考)已知函数f (x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f (x)为f (x)的导函数若f (1)3，则a的值为_(1)B B (2)3 (1)f (x)2 017ln xx× 2 018ln x，故由f (x0)2 1 x018，得 2 018ln x02 018，则 ln x00，解得x01.(2)f (x)aa(1ln x)(ln xx·1 x)由于f (1)a(1ln 1)a，又f (1)3，所以a3.导数的几何意义角度 1 求切线方程已知曲线f (x)x3 .1 34 3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解 (1)根据已知得点P(2,4)是切点且f (x)x2，在点P(2,4)处的切线的斜率为f (2)4，3 分曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即 4xy40. 5 分(2)设曲线f (x)x3 与过点P(2,4)的切线相切于点A，1 34 3(x0，1 3x3 04 3)则切线的斜率为f (x0)x，2 0切线方程为yx(xx0)，(1 3x3 04 3)2 0即yx·xx . 7 分2 02 3 3 04 3点P(2,4)在切线上，42xx ，2 02 3 3 04 3即x3x40，9 分3 02 0xx4x40，3 02 02 0x(x01)4(x01)(x01)0，2 0(x01)(x02)20，解得x01 或x02，故所求的切线方程为xy20 或 4xy40. 12 分角度 2 求切点坐标若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_5【导学号：66482100】(e，e) 由题意得yln xx· 1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.设1 xP(m，n)，则 1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度 3 求参数的值(1)已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为( )1 21 2A2 B1 C D11 2(2)(2017·西宁复习检测(一)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线x1 x1axy10 垂直，则a( )A2 B2 C D1 21 2(1)B B (2 2)A A (1)设切点坐标为(x0，y0)，y ，1 21 x则y|xx0 ，由 得x01，切点坐标为，又切点1 21 x01 21 x01 2(1，1 2)在直线yxb上，故 b，得b1.(1，1 2)1 21 21 2(2)由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为 ，又切线与直线2 x121 2axy10 垂直，则a2，故选 A.规律方法 1.导数f (x0)的几何意义就是函数yf (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点2曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标易错警示：当曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.思想与方法1f (x0)是函数f (x)在xx0处的导数值；(f (x0)是函数值f (x0)的导数，而函数值f (x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f (x0)0.62对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意变换的等价性易错与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2曲线yf (x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点