高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用热点探究课1导数应用中的高考热点问题教师用书文北师大版.doc

1热点探究课热点探究课( (一一) ) 导数应用中的高考热点问题导数应用中的高考热点问题命题解读 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有热点 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围(本小题满分 12 分)(2015·全国卷)已知函数f (x)ln xa(1x)(1)讨论f (x)的单调性；(2)当f (x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求a的取值范围思路点拨 (1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围规范解答 (1)f (x)的定义域为(0，)，f (x) a. 2 分1 x若a0，则f (x)>0，所以f (x)在(0，)上递增. 3 分若a>0，则当x时，f (x)>0；(0，1 a)当x时，f (x)0 时，f (x)在x 取得最大值，最大值为1 af lnaln aa1. 9 分(1 a)(1 a)(11 a)因此f >2a2 等价于 ln aa11 时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1). 12 分2答题模板 讨论含参函数f (x)的单调性的一般步骤第一步：求函数f (x)的定义域(根据已知函数解析式确定)第二步：求函数f (x)的导数f (x)第三步：根据f (x)0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论第四步：求解(令f (x)>0 或令f (x)0)a x当a0 时，f (x)>0，f (x)没有零点；当a>0 时，设u(x)e2x，v(x) ，3 分a x因为u(x)e2x在(0，)上递增，v(x) 在(0，)上递增，a x所以f (x)在(0，)上递增又f (a)>0，当b满足 00 时，f (x)存在唯一零点. 5 分(2)证明：由(1)，可设f (x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f (x)0.故f (x)在(0，x0)上递减，在(x0，)上递增，所以当xx0时，f (x)取得最小值，最小值为f (x0). 9 分由于 2e2x00，a x0所以f (x0)2ax0aln 2aaln .a 2x02 a2 a6故当a>0 时，f (x)2aaln . 12 分2 a角度 2 不等式恒成立问题(2016·全国卷)已知函数f (x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4 时，求曲线yf (x)在(1，f (1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f (x)>0，求a的取值范围解 (1)f (x)的定义域为(0，). 1 分当a4 时，f (x)(x1)ln x4(x1)，f (1)0，f (x)ln x 3，f (1)2. 3 分1 x故曲线yf (x)在(1，f (1)处的切线方程为 2xy20. 5 分(2)当x(1，)时，f (x)0 等价于 ln x0.ax1 x1设g(x)ln x，ax1 x1则g(x) ，g(1)0. 9 分1 x2a x12x221ax1 xx12当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)递增，因此g(x)0；当a2 时，令g(x)0 得x1a1，x2a1.a121a121由x21 和x1x21 得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)递减，因此g(x)0.综上，a的取值范围是(，2. 12 分角度 3 存在型不等式成立问题(2014·全国卷)设函数f (x)aln xx2bx(a1)，1a 2曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线斜率为 0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f (x0)0，f (x)在(1，)递增1 2a 1a所以，存在x01，使得f (x0)1，故当x时，f (x)0，f (x)在上递减，在上递增. 9 分(1，a 1a)(a 1a，)所以存在x01，使得f (x0)，所以不合题意(a 1a)a 1aa2 21aa a1a a1若a>1，则f (1)1<恒成立，所以a1.1a 2a1 2a a1综上，a的取值范围是(1，1)(1，). 12 分22规律方法 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题2不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论3 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x)g(a)对于xD恒成立，应求f (x)的最小值；若存在xD，使得f (x)g(a)成立，应求f (x)的最大值应特别关注等号是否成立问题